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1、思楷教育学生辅导讲义期末复习专题：反比例函数教师： 学生： 时间： 一般地，形如 (k为常数，k不等于零)的函数称为反比例函数，其中x是自变量，y是函数或叫因变量，也可以写成:,.要点诠释：1、中分母x的指数为1，如，就不是反比例函数；2、 ()可以写成()的形式，自变量x的指数是-1，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一条件；3、 ()也可以写成的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k，从而得到反比例函数的解析式。两个变量的积均是一个常数（或定值），这也是识别两个量是否成反比例函数关系的关键。例1 下列哪个等式中的y是x的反比例函数？举一反三：下列函数中，是的反比例函数的是
2、( )A. B. C. D. 例2 .若函数是反比例函数，则的值是 ( ) A. 1 B. -1 C. 1 D. 2举一反三：1.已知函数是反比例函数,你知道的值是多少吗？2.已知函数.请你探求当取何值时:(1)该函数是正比例函数? (2)该函数是反比例函数?反比例函数 (k0) k的符号 k0 k0时，函数图象的两个分支分别在第一、第三象限。在每个象限内，y随x的增大而减小。 x的取值范围是x0， y的取值范围是y0. 当k0时，函数图象的两个分以分别在第二、第四象限。在每个象限内，y随x的增大而增大。 叙述反比例函数的性质时，一定要加上“在每一个象限内”，如当时，双曲线的两支分别在一、三象
3、限，在每一个象限内，随的增大而减小这是由于，即或的缘故 如果笼统地叙述为时，随的增大而增大就是错误的例3、点（3，4）在反比例函数的图像上，则此函数还过点（ ）A（2，6） B（2，-6） C（4，-3） D（3，-4）举一反三、已知反比例函数的图象经过点和，则的值为 要点诠释：（1）反比例函数的图象是一条双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限；（2）若点()在反比例函数 的图象上，则点(a,b)也在此图象上，故反比例函数的图象关于原点对称；（3）在反比例函数中由于x0，k0，所以y0，函数图象永远不会及x轴、y轴相交，只是无限靠近两坐标轴例4 如果反比例函数（m为
4、常数）的图象在第二、四象限内，则m的取值范围（ ） A B C D举一反三、已知一次函数y = + b（）的图象经过第一、二、四象限，则函数 的图象过（ ） A第一、三象限 B第二、四象限 C第三、四象限 D第一、二象限例5. 函数的图象过点P（1，2），则该函数图象在其所在的每个象限内，y随x的增加而 举一反三1反比例函数，当x0时，y随x 而增大。2反比例函数，当x0时，y随x的增大而增大，则m的值是 例6. 反比例函数（k0）的图象上的三个点（x1，-1）（x2，2）（x3，3），则下列成立的是（ ） Ax1x2x3 Bx2x1x3 Cx1x3x2 Dx3x2x1举一反三：1. 若点(x
5、1，y1)、（x2，y2）、（x3，y3）都是反比例函数的图象上的点，并且x10x2x3，则下列各式中正确的是（ ）1y2y3 2y3 y2y3 1y3y2y3 2y13 C3y1y2 3y2y1 3已知函数（a为常数）的图象上有三点（-4，y1）（-1，y2）（2，y3）则函数值y1，y2，y3的大小关系是（ ） Ay2y3y1 By3y2y1 Cy1y2y3 Dy3y1y24. 在函数(为常数，且)的图象的一支在第四象限.(1)图象的另一支在第几象限? 你能求出符合题意的k的取值范围吗?(2)图象上有三点(-11)、,你会比较y1、y2、y3的大小吗?例7点A（x1，y1），B（x2，y2
6、）在反比例函数的图象上，若x1x2，则y1及y2的大小关系为（ ） Ay1y2 By1y2 Cy1 = y2 Dy1及y2的大小关系不能确定举一反三：已知反比例函数的图象上有两点A(x1，y1)和B(x2，y2)，且x1y2 12 C1S2 12 C1S2 1S2举一反三：1、B是函数的图象上关于原点对称的任意两点，y轴，交x轴于点C，y轴，交x轴于点D，设四边形的面积为S，则（ ）1 2C.1S2 22. 如图，A、B是函数的图象上关于原点O对称的任意两点，平行于y轴，平行于x轴，的面积为S，则（ ） AS = 1 B1S2 CS = 2 DS23. 函数及的图象交于A、B两点，过点A作垂直
7、于y轴，垂足为点C，则的面积为。例10 A是函数的图象上任意一点，过A作y轴的垂线交y轴于B，点P在x轴上，的面积为S1，则反比例函数的解析式为 举一反三：如图，A是函数的图象上一点，过点A作x轴交函数及点B，连接、,则的面积为 。例11 如图，已知双曲线（）经过矩形的边的中点，且四边形的面积为2，则 举一反三：两个反比例函数和在第一象限内的图象如图所示，点P在的图象上，x轴于点C，交的图象于点A，y轴于点D，交的图象于点B，当点P在的图象上运动时，以下结论：及的面积相等；四边形的面积不会发生变化；及始终相等；当点A是的中点时，点B一定是的中点其中一定正确的是 例12. 函数及1(k0)在同一
8、坐标系内的大致图象是（）【解析】列表分析如下：举一反三：1. 已知关于x的函数和（k0），它们在同一坐标系内的图象大致是2.在同一坐标系中，正比例函数(1)x及反比例函数的图象大致位置不可能是（）【点拨】没有明确告诉系数符号，而要求选择确定函数图象的大致位置的问题，在中考试题中经常出现不少同学对解答这类题感到困难以上两例介绍一种简便易行的方法列表分析法，即通过对所供选择的图象中代表的函数系数的符号列表分析，排除某些结论，进而得到正确答案例15. 已知一次函数2的图象及反比例函数的图象相交，其中有一个交点的纵坐标为-4，求这两个函数的解析式举一反三：1. 已知反比例函数及直线相交于A、B两点，A
9、点的横坐标为-1，则两函数图象另一个交点B的坐标为（ ）2. 已知反比例函数及一次函数y = 2x + k的图象的一个交点的纵坐标是，则k的值为 3已知一次函数y3及反比例函数y的图像有两个交点.(1)当m为何值时，有一个交点的纵坐标为6?(2)在(1)条件下，求两个交点的坐标.点拨：这是关于一次函数和反比例函数的综合题，解本题的关键是要抓住两图象交点这个主要矛盾，它既在一次函数图象上，又在反比例函数图象上，从而转化为解二元一次方程组，问题得以解决(1)两个函数图像如果有交点，那么它们的交点坐标就是两个函数解析式联立方程组的解.(2)要求函数图像的交点坐标，解方程组即可.例16.如图，一次函数
10、的图象及反比例函数的图象交于、两点.(1)求两个函数的解析式；(2)根据图象写出使一次函数值大于反比例函数值的自变量的取值范围.举一反三：1. 如图14，已知，是一次函数的图象和反比例函数的图象的两个交点(1)求反比例函数和一次函数的解析式(2)求直线及轴的交点的坐标及的面积；(3)求方程的解（请直接写出答案）；(4)求不等式的解集（请直接写出答案）.2.函数及（k1，k2为非零常数）的图象的如图所示，由图象可知：关于x的不等式的解集是（ ） A B C或 D或3.已知反比例函数和一次函数的图象都经过点.(1)求点P的坐标和两个函数的解析式；(2)若点、是反比例函数图象上的点，请比较y1及y2
11、.4. 已知一次函数的图象及反比例函数 ()的图象交于第四象限的一点.(1)求这个反比例函数的解析式.(2)当-6x-2时，求y的取值范围是多少?例17如图，已知一次函数y = + b的图象及反比例函数的图象交于A、B两点，且A的横坐标和点B的纵坐标都是-2，则阴影部分的面积是（ ） A2 B4 C6 D8举一反三：1已知一次函数和反比例函数的图象在第一象限内有两个不同公共点A、B，且的面积S = 24，则该反比例函数的图象必过点（ ） A（2，4） B（-1，-7） C（1，6） D（-1，7）2已知直线及坐标轴交于A、B两点，反比例函数的图象及该直线交于C点，x轴于点D，若，则k值为（ ）
12、3. 如图,直线及双曲线交于点A，及轴、轴分别交于点B、C，轴于点D，如果S,那么.4. 已知点A（0，2）和B（0，），点P在函数的图象上，如果的面积是6，则P点的坐标是 5如图所示，如果函数及的图象交于A、B两点，过点A作垂直于y轴，垂足为点C，则的面积为 6. 如图，已知双曲线经过直角三角形斜边的中点D，且及直角边相交于点C若点A的坐标为（，4），则的面积为（ ）A12 B9 C6 D47. 如图，的锐角顶点是直线及双曲线在第一象限的交点，且 （1）求m的值（2）求的值8. 如图，已知反比例函数的图象经过点，过点A作x轴的垂线，垂足为B，的面积是.(1)求k和b的值；(2)若一次函数的图
13、象经过点A，且及x轴交于点C，求的面积.9. 双曲线在第一象限的一支上有一点，过点C的直线()及x轴交于点.（1）求点A的横坐标a及k之间的函数关系式；（2）当该直线及双曲线在第一象限内的另一交点D的横坐标是9时，求的面积.10. 已知：如图，一次函数的图象及两坐标轴交于A、B两点，及函数的图象交于C、D两点，由点C向x轴做垂线，垂足为E.（1）若的面积是的面积的一半，求C点的坐标；（2）证明：不论b取任何不为零的实数，为定值；（3）延长交函数的图象于M点，试判断的形状.要点诠释：(1)、待定系数法，由于在反比例函数关系式中，只有一个待定系数k，只要确定了k的值，也就确定了反比例函数，因此只需
14、给出一组x、y的对应值或图象上点的坐标，代入中即可求出k的值，从而确定反比例函数的关系式。(2)用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是： 设所求的反比例函数为： (k0)； 根据已知条件，列出含k的方程； 解出待定系数k的值； 把k值代入函数关系式中。典型例题： 例18一个反比例函数的图象经过点，则其函数关系式是 .例19. 若函数是反比例函数，求其函数解析式。 点拨：反比例函数可写成，在具体解题时应注意这种表达形式，应特别注意对这一条件的讨论。例20. 已知：及成反比例，且当时，那么当时，等于 ( ).A. 0.5 B.2 C. -2 1举一反三：1. 已知：，及成反比例，及成正比例，且
15、当时；当时，求时的值.2. （1）已知，而及成反比例，及成正比例，并且时，；时，求y及x的函数关系式；（2）直线：及平行且过点（3，4），求的解析式。例21 某市的一处道路因受强降雨而造成12003的塌方，某部队受命来重新修建好 （1）重新修好所需的时间t（天）及每天完成的土石方V（m2）有怎样的关系？ （2）部队共有官兵60人，每天最多完成土石方300 m3，预计部队最快可在几日内完成？ （3）部队连续工作了两天后，天气预报说未来的几天还可能会有强降雨，市里要求次日完成余下的任务，需要增加多少人才能按时完成？例22、制作一种产品，需先将材料加热达到60后，再进行操作，设该材料温度为y（），从
16、加热开始计算的时间为x（分钟），据了解，该材料加热时，温度y及时间x成一次函数关系；停止加热进行操作时，y及时间x成反比例关系（如图），已知该材料操作加工前温度为15，加热5分钟后温度达到60 （1）分别求出将材料加热和停止加热进行操作时，y及x的函数关系式 （2）根据工艺要求，当材料的温度低于15时，须停止操作，那么开始加热到停止操作，共经历了多长时间？例23、为了预防流感，某学校在休息天用药熏消毒法对教室进行消毒。已知药物释放过程中，室内每立方米空气中含药量y（毫克）及时间t（小时）成正比；药物释放完毕后，y及t的函数关系为（为常数）。如图所示，据图中提供的信息，解答下列问题：（1）写出从药物释放开始，y及t之间的两个函数关系式及相应的自变量取值范围；（2）据测定，当空气中每立方米和含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进入教室，那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能进入教室？第 9 页