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1、东城区2021-2021学年度第一学期期末教学统一检测高三数学理科 本试卷共4页，共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试完毕后，将答题卡一并交回。第一局部选择题共40分一、选择题共8小题，每题5分，共40分。在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。(1)集合，那么(A) (B) (C) (D)(2)以下复数为纯虚数的是(A) (B) (C) (D)(3)以下函数中，是奇函数且存在零点的是(A) (B) (C) (D)(4)执行如下图的程序框图，假设输入的，那么输出的值为(A) (B) (C) (D)(5)“是“函数的图象关于直线对称的 (A)
2、 充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件 (C) 充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件(6) 某三棱锥的三视图如下图，在此三棱锥的六条棱中，最长棱的 长度为(A) 2 (B)(C) (D) 3(7)在极坐标系中，以下方程为圆的切线方程的是(A) (B) (C) D (单位：焦耳)及地震里氏震级之间的关系为.两次地震的里氏震级分别为级和级，假设它们释放的能量分别为和，那么的值所在的区间为(A) (B) (C) (D)第二局部非选择题 共110分二、 填空题共6小题，每题5分，共30分。9假设满足 那么的最小值为 .(11)假设等差数列和等比数列满足，试写出一组满足条件的数列和的通项公式：
3、 ， .(12)在菱形中，假设，那么的值为 .(13)函数在区间上的最大值为 .(14)函数定义域为，设 假设，那么；假设，且对任意，那么实数的取值范围为_ .三、解答题共6小题，共80分。解容许写出文字说明，演算步骤或证明过程。(15)本小题13分在ABC中，求的大小；(16)本小题13分某中学有学生500人，学校为了解学生的课外阅读时间，从中随机抽取了50名学生，获得了他们某一个月课外阅读时间的数据单位：小时，将数据分为5组：，整理得到如下图的频率分布直方图.求频率分布直方图中的的值；试估计该校所有学生中，课外阅读时间不小于16小时的学生人数；课外阅读时间在的样本学生中有3名女生，现从阅读
4、时间在的样本学生中随机抽取3人，记为抽到女生的人数，求的分布列及数学期望.(17)本小题14分如图1，在四边形中，,分别为的中点，.将四边形沿折起，使平面平面(如图2)，是的中点.()证明：；()在线段上是否存在一点，使得面？假设存在，求的值；假设不存在，说明理由；()求二面角的大小.(18)本小题13分函数() 当时，求曲线在点处的切线方程；() 当时，假设曲线在直线的上方，求实数的取值范围(19)本小题13分椭圆过点.求椭圆的方程，并求其离心率；过点作轴的垂线，设点为第四象限内一点且在椭圆上点不在直线上，点关于的对称点为，直线及交于另一点.设为原点，判断直线及直线的位置关系，并说明理由.(
5、20)本小题14分对给定的记由数列构成的集合.假设数列，写出的所有可能取值；对于集合，假设. 求证：存在整数，使得对中的任意数列，整数不是数列中的项；数列，记的前项和分别为.假设求证：.东城区2021-2021学年度第一学期期末教学统一检测 高三数学理科参考答案及评分标准 一、选择题共8小题，每题5分，共40分1C 2D 3A 4B 5A 6D 7C 8B 二、填空题共6小题，每题5分，共30分9 1011 答案不唯一 1213 14 三、解答题共6小题，共80分15共13分解: .5分 .13分16共13分解：由，可得. .3分 即课外阅读时间不小于16个小时的学生样本的频率为. 所以可估计
6、该校所有学生中，课外阅读时间不小于16个小时的学生人数为150. .6分 课外阅读时间在的学生样本的频率为， ,即阅读时间在的学生样本人数为8， 8名学生为3名女生，5名男生，随机变量的所有可能取值为0，1，2，3， 所以的分布列为：0123 故的期望. .13分 17共14分解：()在图1中， 可得为等腰直角三角形，.因为所以因为平面平面，所以.又，故；由为中点，可知四边形为正方形，；又， .4分II由()知：，两两垂直，设，那么 .9分 III由(I)可得, 设平面的法向量为，由所以二面角 .14分18共13分解：() 当时，所以，.又因为，所以曲线在点处的切线方程为 .4分()当 时，“
7、曲线在直线的上方等价于“恒成立，即时恒成立，由于，所以等价于当时，恒成立.令，那么.当时，有所以g(x)在区间单调递减.综上，实数的取值范围为. .13分19共13分解：由椭圆方程，可得.所以椭圆的方程为，离心率. .4分直线及直线平行.证明如下：设直线，由得同理，所以因为在第四象限，所以，且不在直线上.所以直线及直线平行. .13分20共14分解：由于数列，即，由有，所以，将代入得的所有可能取值为 .4分先应用数学归纳法证明数列:当时，因此时结论成立.假设当时结论成立，即存在整数，使得成立.当时，或所以当时结论也成立. 由可知，假设数列具有的形式. 由于具有的形式，以及，可得不是的整数倍.故取整数，那么整数均不是数列中的项. .9分由可得：所以有以上各式相加可得，即当时，有由于所以，于是 .14分第 10 页