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1、2.2.2 对数函数及其性质 第1课时 对数函数的图象及性质 我们研究指数函数时，曾讨论过细胞分裂问题，我们研究指数函数时，曾讨论过细胞分裂问题，某种细胞分裂时，由某种细胞分裂时，由1 1个分裂成个分裂成2 2个，个，2 2个分裂成个分裂成4 4个个,1,1个这样的细胞分裂个这样的细胞分裂x次后，得到细胞的个数次后，得到细胞的个数y是分裂次数是分裂次数x的函数，这个函数可以用指数函数的函数，这个函数可以用指数函数_表示表示.124y=2xy=2y=2x x,xN,xN*根据指数式和对数式的关系可将指数式根据指数式和对数式的关系可将指数式y=2y=2x x,xN,xN转化为对数式转化为对数式x=
2、x=，输入细胞个数，输入细胞个数y y可以计算出分裂次数可以计算出分裂次数x x，那么这个关系可不可以，那么这个关系可不可以看成一个新的函数关系呢？看成一个新的函数关系呢？现在就让我们一起进入本节的学习来解决这些现在就让我们一起进入本节的学习来解决这些问题吧！问题吧！一般地，我们把函数一般地，我们把函数 叫叫做对数函数，其中做对数函数，其中x x是自变量，函数的定义域是是自变量，函数的定义域是探究探究1 1：对数函数的定义：对数函数的定义注意注意:（1 1）对数函数定义的严格形式）对数函数定义的严格形式;（2 2）对数函数对底数的限制条件：）对数函数对底数的限制条件：y=logy=loga a
3、x(a0,x(a0,且且a1)a1)（0 0，+）与指数函数对底与指数函数对底数的要求一样数的要求一样思考思考.对数函数的解析式具有什么样的结构特征呢？对数函数的解析式具有什么样的结构特征呢？提示：提示：对数函数的解析式具有以下三个特征对数函数的解析式具有以下三个特征 ：(1)(1)底数底数a a为大于为大于0 0且不等于且不等于1 1的常数，不含有自变量的常数，不含有自变量x x；(2)(2)真数位置是自变量真数位置是自变量x x，且，且x x的系数是的系数是1 1；(3)log(3)loga ax x的系数是的系数是1.1.探究探究2 2：对数函数的图象和性质：对数函数的图象和性质（1 1
4、）作）作y=logy=log2 2x x的图象的图象列表列表作图步骤作图步骤:列表列表,描点描点,用平滑曲线连接用平滑曲线连接.作函数图象的通法作函数图象的通法描描点点连连线线2 21 1-1-1-2-22 24 4O Oy yx x3 31同样的方法在同坐标系中作出函数同样的方法在同坐标系中作出函数 的图的图象，并指出二者的关系象，并指出二者的关系描描点点连连线线2 21 1-1-1-2-21 12 24 4O Oy yx x3 3x124 2 1 0 -1 -2 -2 -1 0 1 2 14这两个函数的图这两个函数的图象关于象关于x x轴对称轴对称,知道其中一个函知道其中一个函数图象能否作
5、出数图象能否作出另一个函数图象另一个函数图象？观察函数观察函数y=logy=log2 2x x 的图象填写下表的图象填写下表2 21 1-1-1-2-21 12 24 4O Oy yx x3 3图象特征图象特征代数表述代数表述定义域定义域:(0,+)(0,+)值值 域域:R R增函数增函数在在(0,+)(0,+)上是上是图象位于图象位于y y轴右方轴右方图象向上、向下无限延伸图象向上、向下无限延伸自左向右看图象逐渐上升自左向右看图象逐渐上升图象特征图象特征代数表述代数表述定义域定义域:(0,+)(0,+)值值 域域:R R减函数减函数在在(0,+)(0,+)上是上是图象位于图象位于y y轴右方
6、轴右方图象向上、向下无限延伸图象向上、向下无限延伸自左向右看图象逐渐下降自左向右看图象逐渐下降观察函数观察函数 的图象填写下表的图象填写下表2 21 1-1-1-2-21 12 24 4O Oy yx x3 3对数函数对数函数 的图象的图象.猜一猜猜一猜:2 21 1-1-1-2-21 12 24 4O Oy yx x3 3由这些函数的图象可以总结出对数函数的图象与性质由这些函数的图象可以总结出对数函数的图象与性质图图 象象 性性 质质a a 1 1 0 0 a a 1 1定义域定义域:值值 域域:过定点过定点:在在(0,+)(0,+)上是上是在在(0,+)(0,+)上是上是对数函数对数函数y
7、=logy=loga ax (ax (a0,0,且且a1)a1)的图象与性质的图象与性质(0,+)(0,+)R R(1,0),(1,0),即当即当x x1 1时时,y,y0 0增函数增函数减函数减函数y X O x=1(1,0)y X O x=1(1,0)例例1 1：求下列函数的定义域：求下列函数的定义域：（1 1）y=logy=loga ax x2 2;（2 2）y=logy=loga a(4-x).(4-x).解题关键：解题关键：利用对数函数利用对数函数y=logy=loga ax x的定义的定义 域为（域为（0 0，+）求解）求解.（1 1）因为）因为x x2 20,0,所以函数所以函数
8、y=logy=loga a(4-x)(4-x)的定义域是的定义域是所以函数所以函数y=logy=loga ax x2 2的定义域是的定义域是（2 2）因为）因为4-x0,4-x0,xx4.xx4.即即x4x0 x0且且 ,解：解：（1 1）因为）因为1-x0,1-x0,即即x1,x1,所以函数所以函数y=logy=log5 5(1-x)(1-x)的定义域为的定义域为x|x1.x|x0,x|x0,且且x1.x1.即即x0 x0且且x1,x1,所以函数所以函数 的定义域为的定义域为 .所以函数所以函数 的定义域为的定义域为（3 3）因为）因为 ，即，即 ,（4 4）因为）因为x0 x0且且 ,即即
9、 由具体函数式求定义域由具体函数式求定义域,考虑以下几个方面：考虑以下几个方面：（1 1）分母不等于）分母不等于0 0；（2 2）偶次方根被开方数非负；）偶次方根被开方数非负；（3 3）零指数幂底数不为）零指数幂底数不为0 0；（4 4）对数式考虑真数大于）对数式考虑真数大于0 0；（5 5）实际问题要有实际意义）实际问题要有实际意义.【总结提升】【总结提升】1.1.判断下列函数是对数函数的是判断下列函数是对数函数的是_.4 42.2.函数函数y=logy=log2 2（x-ax-a）的定义域为（）的定义域为（1 1，+），），则（）则（）A Aa a1 1 B B0 0a a1 1C Ca
10、a0 0D Da=1a=1【解析【解析】要使函数要使函数y=logy=log2 2（x-ax-a）的解析式有意义）的解析式有意义,则则x-ax-a0 0，即，即x xa a，又因为函数，又因为函数y=logy=log2 2（x-ax-a）的定）的定义域为（义域为（1 1，+），故），故a=1.a=1.D D3.3.已知全集已知全集U=RU=R，集合，集合A=y|yA=y|y=log=log0.5x x，x x22，B=y|yB=y|y=2x=2x，x x22，则，则 U（ABAB）等于（）等于（）A.A.（-，44 B.-1 B.-1，44C.C.（-1-1，4 4）D.1D.1，+）【解析【
11、解析】因为因为A=y|yA=y|y=log=log0.50.5x x，x x2=y|y2=y|y-1-1，B=y|yB=y|y=2x=2x，x x2=y|y2=y|y44，所以所以AB=y|yAB=y|y-1-1或或y y44所以所以 U U（ABAB）=y|-1y4=-1=y|-1y4=-1，4.4.B B4.4.函数函数y ylogloga(x1)1)2(2(a a0,0,a a1)1)的图象恒过定点的图象恒过定点 .5.5.在在y=logy=log（a-2 a-2）（5-a5-a）中，实数）中，实数a a的取值范围的取值范围是是_ 2 2a a3 3或或3 3a a5 56.6.求函数求
12、函数的定义域。的定义域。所以函数所以函数的定义域为的定义域为对数函数对数函数数形结合数形结合图图 象象性性 质质概概 念念解析式具有解析式具有严格形式严格形式注意底数与注意底数与1的大小关系的大小关系2.2.22.2.2 对数函数及其性质对数函数及其性质(二二)第二章基本初等函数（第二章基本初等函数（）叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域为 .一般地，我们把函数复习复习：a10a0且且a1）(2)（a0且且a1）(3)（3）要使函数有意义，则）要使函数有意义，则 函数的定义域为函数的定义域为 例例1 1.比较下列各组数中两个值的大小比较下列各组数中两个值的大小：(1)log 25 和 l
13、og 27(2)log 0.35 和 log 0.37(3)log a5 和 log a7(a0且且a1)解解：考察对数函数考察对数函数 y=log y=log 2 2x,x,xy01 15 57 7（1）log 25 与与log 27得到：得到：log 25log 27log 27log 25底数底数2 21,1,所以在所以在(0,+)(0,+)上是增函数上是增函数,由图象观察：由图象观察：（2）log 0.35 与与 log 0.37解：解：考察对数函数考察对数函数 y=log y=log 0.30.3 x,x,底数为底数为0.3,0.3,即即0 00.30.31,1,所以在所以在(0,+
14、)(0,+)上是减函数上是减函数,由图由图象观察象观察：5 57 7yx01 1y=log 0.3 xlog 0.37log 0.35得到：得到：log 0.35log 0.37 对数函数的增减性决定于对数的底数是大于对数函数的增减性决定于对数的底数是大于1 1还是还是小于小于1.1.而已知条件中并未指出底数而已知条件中并未指出底数a a与与1 1哪个大哪个大?（3）log a5 与与log a7 (a0 且且 a1)因此需要对底数因此需要对底数a a进行讨论进行讨论:当当0a1时时,函数函数y=log ax在在(0,+)上是减函数上是减函数,故故 log a5log a7 当当a1时时,函数
15、函数y=log ax在在(0,+)上是增函数上是增函数,故故 log a5log a7yx01xy012.2.当底数不确定时当底数不确定时,要对底数要对底数a a与与1 1的大小的大小进行分类进行分类讨论讨论.总总结结1.1.当底数相同时当底数相同时,利用对数函数的利用对数函数的增减性增减性比较大小比较大小.例例2:2:比较下列各组数中两个值的大小比较下列各组数中两个值的大小：log 7 6 log 7 7 log 6 7 log 7 6 log 3 2 log 2 0.8总总结结当底数不相同，真数也不相同时，利用当底数不相同，真数也不相同时，利用“介值法介值法”常需引入中间值常需引入中间值常
16、需引入中间值常需引入中间值0 0或或或或1 1(各种变形式各种变形式).).log 6 7 log 6 6 log 3 2 log 3 1 log 2 0.8 log 2 1=1=1=0=0例例3 3：比较下列各组数中两个值的大小：比较下列各组数中两个值的大小：log 2 7 与与 log 5 7解解:1 log 7 5 log 7 2 0 log 2 7 log 5 7总总结结1.1.1.1.利用利用利用利用换底公式换底公式换底公式换底公式的运算，取倒数后转化为同底的运算，取倒数后转化为同底的运算，取倒数后转化为同底的运算，取倒数后转化为同底问题问题问题问题.xoy17log 5 7log
17、2 72.2.2.2.当底数不相同，真数相同时，利用图象判断大小当底数不相同，真数相同时，利用图象判断大小当底数不相同，真数相同时，利用图象判断大小当底数不相同，真数相同时，利用图象判断大小.（一）（一）同底数比较大小同底数比较大小 1.当底数确定时，则可由函数的当底数确定时，则可由函数的 单调性直接进行判断；单调性直接进行判断；2.当底数不确定时，应对底数进当底数不确定时，应对底数进 行分类讨论。行分类讨论。（三）若底数、真数都不相同（三）若底数、真数都不相同,则常借则常借 助助1、0等中间量进行比较。等中间量进行比较。小结：小结：两个对数比较大小两个对数比较大小（二）（二）同真数比较大小同
18、真数比较大小 1.通过换底公式；通过换底公式；2.利用函数图象。利用函数图象。你能口答吗？你能口答吗？变一变还能口答吗？变一变还能口答吗？练习练习1:1:比较下列各题中两个值的大小比较下列各题中两个值的大小:例例4：函数函数yloga(x1)2(a0,a1)的图象恒过定点的图象恒过定点 .例例5：求下列函数的值域：求下列函数的值域：（1）（2）（3）y=loga(a-ax)(a1).【分析【分析】复合函数的值域问题，要先求函数的定义域，复合函数的值域问题，要先求函数的定义域，再由单调性求解再由单调性求解.【解析【解析】（1）-x2-4x+12=-(x2+4x)+12 =-(x+2)2+1616
19、,又又-x2-4x+120,00,且且y=log x在在(0,+)上是减函数上是减函数,yR,函数的值域为实数集函数的值域为实数集R.（3）令）令u=a-ax,u0,a1,axa,x1,y=loga(a-ax)的定义域为的定义域为x|x1,ax0,u=a-axa,y=loga(a-ax)logaa=1,函数的值域为函数的值域为y|y1.【评析】求函数的值域一定要注意定义域对它的影响，【评析】求函数的值域一定要注意定义域对它的影响，然后利用函数的单调性求之，当函数中含有参数时，有然后利用函数的单调性求之，当函数中含有参数时，有时需要讨论参数的取值时需要讨论参数的取值.求值域：求值域：（1）y=l
20、og2(x2-4x+6);（2）.(1)x2-4x+6=(x-2)2+22,又又y=log2x在在(0,+)上是增上是增函数函数,log2(x2-4x+6)log22=1.函数的值域是函数的值域是1,+).(2)-x2+2x+2=-(x-1)2+33,0知知-x0得得(2x+1)(x-3)0，得，得x3.易知易知y=log0.1是减函数，是减函数，=2x2-5x-3在在 上为减函上为减函数，即数，即x越大，越大，越小，越小，y=log0.1u越大；在越大；在(3,+)上函上函数数为增函数，即为增函数，即x越大，越大，越大，越大，y=log0.1越小越小.原函数的单调增区间为原函数的单调增区间为
21、 ，单调减区间为，单调减区间为(3,+).【评析】复合函数单调区间的求法应注意三点：一是抓【评析】复合函数单调区间的求法应注意三点：一是抓住变化状态；二是掌握复合函数的单调性规律；三是注住变化状态；二是掌握复合函数的单调性规律；三是注意复合函数的定义域意复合函数的定义域.已知已知f(x)=loga(ax-1)(a0,且且a1).（1）求）求f(x)的定义域；的定义域；（2）讨论函数）讨论函数f(x)的单调性的单调性.（1）由由ax-10得得ax1，当，当a1时，时，x0;当当0a1时，时，x1时，时，f(x)的定义域为的定义域为(0,+);当当0a1时，设时，设0 x1x2，则，则1 ,故故0
22、 -1 -1,即即loga(-1)loga(-1).f(x1)1时，时，f(x)在在(0,+)上是增函数上是增函数.同理，当同理，当0a0 =4-4a0，（2）若）若f(x)的值域为的值域为R，则要求，则要求(x)=ax2+2x+1的值域包的值域包含含(0,+).当当a0时，时，(x)=ax2+2x+1要包含要包含(0,+)，需，需 a0 =4-4a0综上所述，综上所述，0 a1.【评析】本题两小题的函数的定义域与值域正好错位【评析】本题两小题的函数的定义域与值域正好错位.（1）中函数的定义域为）中函数的定义域为R,由判别式小于零确定；由判别式小于零确定；（2）中函数的值域为）中函数的值域为R
23、，由判别式不小于零确定，由判别式不小于零确定.函数函数y=logax在在x2,+)上总有上总有|y|1，求，求a的取值范围的取值范围.依题意得依题意得|logax|1对一切对一切x2,+)都成立，都成立，当当a1时，因为时，因为x2,所以所以|y|=logax1，即，即logaxlog22.所以所以1a2.当当0a1,所以所以logax-1，即，即logaxlog 2对对x2恒成立恒成立.所以所以 a1.综上，可知综上，可知a的取值范围为的取值范围为a（,1）(1,2).例例9：解方程解方程(2)32)32x+12x+1-13-133 3x x-10=0-10=0(1)log1)log2 2(
24、2-x)=log(2-x)=log2 2(x-1)+1(x-1)+1X=4/3X=log35利用对数的性质，注意函数的定义域利用对数的性质，注意函数的定义域利用指数的性质换元转化为二次方程来求利用指数的性质换元转化为二次方程来求化归思想化归思想：转化为熟悉的方程来解转化为熟悉的方程来解利用函数的单调性，利用函数的单调性，结合函数的图象考虑结合函数的图象考虑先将数字用对数形式表示，再利用函数的单调性求解先将数字用对数形式表示，再利用函数的单调性求解(1/2,1)1/3a1要注意数形结合要注意数形结合(1)1ab (2)0ab1(3)0b10)例例11：对数的综合应用：对数的综合应用已知函数已知函
25、数f(x)=.（1）判断）判断f(x)的奇偶性；的奇偶性；（2）证明：）证明：f(x)在在(1,+)上是增函数上是增函数.【分析【分析】由函数的奇偶性、单调性的证明方法作出证明由函数的奇偶性、单调性的证明方法作出证明.【解析【解析】（1）由）由 0解得解得f(x)的定义域是的定义域是(-,-1)(1,+),f(-x)=-f(x),f(x)是奇函数是奇函数.（2）证明）证明:设设x1,x2(1,+)，且，且x1x11,x2-x10,x1-10,x2-10,u(x1)-u(x2)0,即即u(x1)u(x2)0,y=log u在在(0,+)上是减函数上是减函数,log u(x1)log u(x2),
26、即即log log ,f(x1)0 x-10 p-x0当当p1时，函数时，函数f(x)的定义域为的定义域为(1,p)(p1).探探 究究:在指数函数 中，为自变量，为因变量。如果把 当成自变量，当成因变量，那么 是 的函数吗？如果是，那么对应关系是什么？如果不是，请说明理由。y=2x 指数函数指数函数y=2y=2x x(x R)(x R)与对数函数与对数函数y=logy=log2 2x x (x(0,+)(x(0,+)互为反函数互为反函数一般地，一般地，指数函数指数函数y=ax(x R)与对数函数与对数函数y=logax(x(0,+)互为反函数互为反函数 XYO112233445567Y=lo
27、g2xY=XY=2x-1-1-2同底指数函数与对数函数的关系同底指数函数与对数函数的关系与 的图象关于对称。直线直线函数与其反函数的关系函数与其反函数的关系?(1)(1)函数与其反函数的对应法则是互逆即互反的。函数与其反函数的对应法则是互逆即互反的。(2)(2)函数与其反函数的定义域，值域互换。函数与其反函数的定义域，值域互换。(4)(4)反函数也是函数，因为它是符合函数定义的反函数也是函数，因为它是符合函数定义的,不是任意函数都有反函数不是任意函数都有反函数 的的.(3)(3)函数与其反函数的图象函数与其反函数的图象关于关于y=xy=x轴轴对称。对称。反函数反函数已知已知a0,且且a1，函数
28、，函数y=ax与与y=loga(-x)的图象只能是（的图象只能是（）【分析【分析】分分a1,0a1两种情况，分别作出两函数的图象，两种情况，分别作出两函数的图象，根据图象判定关系根据图象判定关系.B【解析【解析】解法一：首先，曲线解法一：首先，曲线y=ax只可能在上半平面，只可能在上半平面，y=loga(-x)只可能在左半平面，从而排除只可能在左半平面，从而排除A，C.其次，从单调性着手，其次，从单调性着手，y=ax与与y=loga(-x)的增减性正好相反，的增减性正好相反，又可排除又可排除D，故只能选，故只能选B.解法二：若解法二：若0a1，则曲线，则曲线y=ax上升且过点上升且过点(0,1
29、)，而曲线，而曲线y=loga(-x)下降且过下降且过(-1,0)，只有，只有B满足条件满足条件.解法三：如果注意到解法三：如果注意到y=loga(-x)的图象关于的图象关于y轴的对称图象轴的对称图象为为y=logax的图象，因为的图象，因为y=logax与与y=ax互为反函数（图象关互为反函数（图象关于直线于直线y=x对称），则可直接选对称），则可直接选B.【评析】本题可以从图象所在的位置及单调性来判别，也可【评析】本题可以从图象所在的位置及单调性来判别，也可利用函数的性质识别图象，特别注意底数利用函数的性质识别图象，特别注意底数a对图象的影响对图象的影响.要要养成从多角度分析问题、解决问题
30、的习惯，培养思维的灵活养成从多角度分析问题、解决问题的习惯，培养思维的灵活性性.原函数原函数y=f(x)与其反函数的图象关于与其反函数的图象关于y=x对称是其重要性对称是其重要性质质.若函数若函数f(x)=ax (a0，且，且a1)的反函数的图象过点的反函数的图象过点(2,-1),则则a=.反函数的图象过点反函数的图象过点(2,-1)，则，则f(x)=ax的图象过的图象过(-1,2),得得a-1=2,a=.例例6 溶液酸碱度的测量溶液酸碱度的测量溶液酸碱度是通过溶液酸碱度是通过pH刻画的。刻画的。pH的计算公式的计算公式 pH=-lgH+，其中其中H+表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔表示溶液
31、中氢离子的浓度，单位是摩尔/升。升。(1)根据对数函数性质及上述根据对数函数性质及上述pH的计算公式，说明溶液酸碱度的计算公式，说明溶液酸碱度 与溶液中氢离子的浓度之间的变化关系与溶液中氢离子的浓度之间的变化关系?(2)已知纯净水中氢离子的浓度已知纯净水中氢离子的浓度H+=10-7为摩尔为摩尔/升，计算纯净水升，计算纯净水 的的pH值值.解：解：(1)根据对数函数的运算性质，有根据对数函数的运算性质，有 pH=-lgH+=lgH+1=lg在在(0,+)上，随着上，随着H+的增大，的增大，减小，相应地，减小，相应地，lg 也减小，即也减小，即pH减小。所以，随着减小。所以，随着H+的增大，的增大，pH减小减小,即溶液中氢离子的浓度越大，溶液的碱性越即溶液中氢离子的浓度越大，溶液的碱性越小小。(2)当当H+=10-7时，时，pH=-lg10-7=7，所以，所以，纯净水的纯净水的pH是是7。