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1、专题：抛物线及圆综合探究题抛物线及圆综合探究题，综合性强，难度较大，通常都作为“压轴题，解此类题通常需要熟练掌握抛物线及圆相关的根本知识和根本技能，求解时注意运用有关性质，进展综合、分析、探究解题思路。例1、抛物线交轴于、两点，交轴于点,抛物线的对称轴为，,， 1求二次函数的解析式；2在抛物线对称轴上是否存在一点，使点到、两点距离之差最大？假设存在，求出点坐标；假设不存在，请说明理由； 3平行于轴的一条直线交抛物线于两点，假设以为直径的圆恰好及轴相切，求此圆的半径解：1将代入，得 将，代入，得 是对称轴，因此，可得，二次函数得解析式是2及对称轴的交点即为到的距离之差最大的点点的坐标为，点的坐标
2、为， 直线的解析式是，又对称轴为， 点的坐标 3设、，所求圆的半径为r，那么 ， 对称轴为， 。 由得：。 将代入解析式，得 。整理得： 由于圆及x轴相切，即有 r=y。 当时，解得， ， 舍去；当时，解得， ， 舍去所以圆的半径是或 例2、：在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx-4k的图象及x轴交于点A，抛物线经过O、A两点。 1试用含a的代数式表示b； 2设抛物线的顶点为D，以D为圆心，DA为半径的圆被x轴分为劣弧和优弧两局部。假设将劣弧沿x轴翻折，翻折后的劣弧落在D内，它所在的圆恰及OD相切，求D半径的长及抛物线的解析式； 3设点B是满足2中条件的优弧上的一个动点，抛物线在x轴上方
3、的局部上是否存在这样的点P，使得？假设存在，求出点P的坐标；假设不存在，请说明理由。1解法一： 一次函数的图象及x轴交于点A，点A的坐标为4，0。 又抛物线经过O、A两点， 解法二： 一次函数的图象及x轴交于点A， 点A的坐标为4，0。又抛物线经过O、A两点， 抛物线的对称轴为直线， b = 4a 。2解：由抛物线的对称性可知，DODA，点O在D上，且DOADAO。 又由1知抛物线的解析式为 点D的坐标为 当时， 如图1，设D被x轴分得的劣弧为，它沿x轴翻折后所得劣弧为，显然所在的圆及D关于x轴对称，设它的圆心为D。 点D及点D也关于x轴对称， 点O在D上，且OD及D相切， 点O为切点，DOO
4、D DOADOA45ADO为等腰直角三角形点D的纵坐标为 抛物线的解析式为； 当时， 同理可得： ，抛物线的解析式为 ； 综上，D半径的长为，抛物线的解析式为或。3解：抛物线在x轴上方的局部上存在点P，使得 。 设点P的坐标为x，y，且y0。 当点P在抛物线上时如图2，点B是D的优弧上的一点 过点P作PEx轴于点E 由解得：舍去 点P的坐标为 ；当点P在抛物线上时如图3 同理可得，。由解得：舍去 点P的坐标为 ； 综上，存在满足条件的点P，点P的坐标为 或 。 注意：动点B的变化不影响OBA的大小。例3、如图，在直角坐标系中，C过原点O，交x轴于点A2，0，交y轴于点B0，。 1求圆心的坐标；
5、 2抛物线yax2bxc过O、A两点，且顶点在正比例函数yx的图象上，求抛物线的解析式； 3过圆心C作平行于x轴的直线DE，交C于D、E两点，试判断D、E两点是否在2中的抛物线上； 4假设2中的抛物线上存在点Px0，y0，满足APB为钝角，求x0的取值范围。解：1C经过原点O， AB为C的直径。 C为AB的中点。ABCDEFOHxy过点C作CH垂直x轴于点H，那么有CHOB，OHOA1。圆心C的坐标为1，。2抛物线过O、A两点，抛物线的对称轴为x1。抛物线的顶点在直线yx上， 顶点坐标为1，把这三点的坐标代入抛物线抛物线yax2bxc，得解得抛物线的解析式为。 3OA2，OB2，.即C的半径r
6、2。D3，E1，代入检验，知点D、E均在抛物线上。4AB为直径，当抛物线上的点P在C的内部时，满足APB为钝角。1x00或2x03。例4、如图，抛物线的顶点坐标为M(1,4)，且经过点N(2,3)，及x轴交于A、B两点(点A在点B左侧)，及y轴交于点C。 1求抛物线的解析式及点A、B、C的坐标； 2假设直线y=kx+t经过C、M两点，且及x轴交于点D，试证明四边形CDAN是平行四边形； 3点P在抛物线的对称轴x=1上运动，请探索：在x轴上方是否存在这样的P点，使以P为圆心的圆经过A、B两点，并且及直线CD相切，假设存在，请求出点P的坐标；假设不存在，请说明理由。解：1由抛物线的顶点是M1，4，
7、设解析式为 ，又抛物线经过点N2，3，所以 解得a1。 所以所求抛物线的解析式为y令y0，得解得： 得A1，0， B3，0；令x0，得y3，所以 C0，3。2直线y=kx+t经过C、M两点，所以即k1，t3。 直线解析式为yx3. 令y0，得x3，故D3，0，CD 。 连接AN，过N做x轴的垂线，垂足为F. 设过A、N两点的直线的解析式为ymxn， 那么解得m1，n1， 所以过A、N两点的直线的解析式为yx1。所以DCAN. 在RtANF中，AN3，NF3，所以AN 所以DCAN。 因此四边形CDAN是平行四边形。另：也可以证明 CNAD。3假设在x轴上方存在这样的P点，使以P为圆心的圆经过A
8、、B两点，并且及直线CD相切，设P1，u 其中u0，那么PA是圆的半径，且过P做直线CD的垂线，垂足为Q，那么PQPA时以P为圆心的圆及直线CD相切。由第2小题易得：MDE为等腰直角三角形，故PQM也是等腰直角三角形， 由P1，u得PEu， PM|4-u|， PQ由得方程：，解得，舍去负值u ，符合题意的u，所以，满足题意的点P存在，其坐标为1，。例5、：如图，抛物线及x轴交于A、B两点，及y轴交于C点，ACB90， 1求m的值及抛物线顶点坐标； 2过A、B、C的三点的M交y轴于另一点D，连结DM并延长交M于点E，过E点的M的切线分别交x轴、y轴于点F、G，求直线FG的解析式； 3在条件2下，
9、设P为上的动点P不及C、D重合，连结PA交y轴于点H，问是否存在一个常数k，始终满足AHAPk，如果存在，请写出求解过程；如果不存在，请说明理由.解：1由抛物线可知，点C的坐标为0，m，且m0.设Ax1，0，Bx2，0.那么有x1x23m；又OC是RtABC的斜边上的高，AOCCOB，即x1x2m2m23m，解得m0或m3，而m0，故只能取m 3。 这时，因此，抛物线的顶点坐标为，4。另外，由ACBC，也可以用AC2BC2 = AB2来求m。2解法一：由可得：M，0，A，0，B3，0，C0,3，D0， 3抛物线的对称轴是x，也是M的对称轴，连结CE，DE是M的直径，DCE90，直线x，垂直平分
10、CE，E点的坐标为2，3。，AOCDOM90，ACOMDO30，ACDE； ACCB，CBDE又FGDE，FGCB；由B3，0、C0，3两点的坐标易求直线CB的解析式为：y3可设直线FG的解析式为yn，把2，3代入求得n5故直线FG的解析式为y5解法二：由抛物线解析式可求得：A3，0，B33，0，D0,3，M(3，0)，那么有E23，3。再由AO、CO、MO、DO的长度可得：AC0 = MDO = 30,结合DE = 43，DEFG可得：DG = 8，G点坐标为0，5。OG = 5，OF = OG3 = 53，F点的坐标为53，0，再由E、G两点坐标可得直线FG的解析式为y33x5。自解3解法
11、一：存在常数k12，满足AHAP12连结CP由垂径定理可知，PACH或利用PABCACO又CAHPAC，ACHAPC，即AC2AHAP在RtAOC中，AC2AO2OC2323212或利用AC2AOAB412，AHAP12。解法二：存在常数k12，满足AHAP12设AHx，APy由相交弦定理得HDHCAHHP即3-x2-33+x2-3=xy-x，化简得：xy12，即AHAP12。例6、抛物线()交x轴于点A(-1,0)、B3,0,交y轴于点C,顶点为D,以BD为直径的M恰好过点C. (1)求顶点D的坐标 (用的代数式表示) ；(2)求抛物线的解析式； (3)抛物线上是否存在点P使PBD为直角三角
12、形？假设存在,求出点P的坐标；假设不存在,说明理由.解：1方法一由题意：设抛物线的解析式为点C0，3a，D1,4a；方法二由题意：，解得下同方法一2 方法一过点D作DEy轴于点E，易证DECCOB， ，又故抛物线的解析式为：方法二过点D作DEy轴于点E，过M作MGy轴于点G，设M交x轴于另一点H，交y轴于另一点F，可先证四边形OHDE为矩形，那么OHDE1，再证OFCEa，由OHOBOFOC得：， 下同法一方法三用勾股定理，CD2CB2 = BD2，也可得a2 = 1. 自解3符合条件的点P存在，共3个：假设BPD90，P点及C点重合，那么P10，3P1表示第一个P点，下同假设DBP90，过点
13、P2作P2Rx轴于点R，设点P2，由BP2RDBH得，即，解得或舍去，故假设BDP90，设DP3的延长线交y轴于点N，可证EDN HDB，求得EN，N0，求得DN的解析式为求抛物线及直线DN的交点得P3，综上所述：符合条件的点P为0，3、。例7、抛物线y=ax2+bx+c(a0)及x轴交于不同的两点A和B4，0，及y轴交于点C0，8，其对称轴为x=1. 求此抛物线的解析式； 过A、B、C三点作O及y轴的负半轴交于点D,求经过原点O且及直线AD垂直垂足为E的直线OE的方程； 设O及抛物线的另一个交点为P，直线OE及直线BC的交点为Q，直线x=m及抛物线的交点为R，直线x=m及直线OE的交点为S。
14、是否存在整数m，使得以点P、Q、R、S为顶点的四边形为平行四边形？假设存在，求出m的值；假设不存在，请说明理由。解：(1)由，有解得 抛物线的解析式是 y=-x2+2x+8. 2令y=0，得方程-x2+2x+80，解得x1=-2，x2=4. 点A的坐标为(-2，0). 在O中，由相交弦定理，得|OA|OB|=|OC|OD|， 即24=8|OD|，|OD|=1. 点D在y轴的负半轴上，点D的坐标为(0，-1). 在RtAOD中，|OA|=2，|OD|=1，OEAD，由勾股定理，有AD=. 又|OA|OD|=|AD|OE|，|OE|=. |OA|2=|AE|AD|，即22=|AE|，|AE|=.同
15、理，由|OD|2=|DE|AD|，得|DE|=.设点E(x，y)，且x0，y0. 在RtAOE中，|AE|OE|=|y|OA|， |y|=，y=-. 在RtDOE中，|DE|OE|=|x|OD|，|x|=，x=-.点E的坐标是(-，-). 设直线OE的方程为y=kx (k0). 直线OE经过点E(-，-)，-=-k，k=2. 直线OE的方程为y = 2x. (3)在O中，对称轴x=1垂直平分弦AB，由垂径定理的推论知直线x=1经过圆心O.C(0，8)，由对称当得点P的坐标为(2，8).设直线BC的方程为y=kx+b (k0). 那么有 解得直线BC的方程为y=-2x+8. 联立方程组 解得 点
16、Q的坐标为(2，4). 点P(2，8)，点Q(2，4)， PQRS因此，只有一种情况. 设点R的坐标为(m，-m2+2m+8)，点S的坐标的(m，2m). 要使四边形PQRS为平行四边形，PQRS，尚需条件|RS|=|PQ|. 由|(-m2+2m+8)-2m|=|8-4|=4， 得|-m2+8|=4，解得m=2，或m=.而m=2, 不合题意，应舍去. 存在整数m = -2，使得以P、Q、R、S为顶点的四边形为平行四边形. 例8、如图3，抛物线 y= x2+bx+c，经过点A(0，5)和点B3，2 1求抛物线的解析式：2现有一半径为1，圆心P在抛物线上运动的动圆，问P在运动过程中，是否存在P及坐
17、标轴相切的情况？假设存在，请求出圆心P的坐标：假设不存在，请说明理由；3假设Q的半径为r，点Q 在抛物线上、Q及两坐轴都相切时求半径r的值解： 1由题意，得； 抛物线的解析式为 2当P在运动过程中，存在P及坐标轴相切的情况设点P坐标为()，那么有：当P及y轴相切时，有|x0|=1，x0=1由，得， 由，得当P及x轴相切时有 抛物线开口向上，且顶点在x轴的上方 由，得，解得y0=2，P3 (2，1). 综上所述，符合要求的圆心P有三个，其坐标分别为：3设点Q坐标为(x，y)，那么当Q及两条坐标轴都相切时，有y=由y=x得，解得 ； 由，得，此方程无解； O的半径为。例9、：如图，抛物线的图象及轴
18、分别交于两点，及轴交于点，M经过原点及点，点是劣弧O A上一动点点及不重合1求抛物线的顶点的坐标；2求M的面积；3连交于点，延长至，使，试探究当点运动到何处时，直线及M相切，并请说明理由解： 1抛物线 ，的坐标为。2连；M过，为M的直径可求得A点坐标为3，0，B点坐标为1， 0， ， AC = 23，3当点运动到O A的中点时，直线及M相切。理由：在中，点是O A的中点， A D = D O，在中，为等边三角形。，又为直径， GA及M相切。综上，当为O A的中点时，是M的切线。3正面推：可得A3， 0，B1， 0，C3，0，易得CAO = BCO = 30， BCAC. 又GA及M相切，GAA
19、C，GAC = 90，且GABC，因此，怎么推？例10、如图，在平面直角坐标系中，点，以为边在轴下方作正方形，点是线段及正方形的外接圆除点以外的另一个交点，连结及相交于点1求证：；2设直线是的边的垂直平分线，且及相交于点假设是的外心，试求经过三点的抛物线的解析表达式；3在2的条件下，在抛物线上是否存在点，使该点关于直线的对称点在轴上？假设存在，求出所有这样的点的坐标；假设不存在，请说明理由AEODCBGFxyl解：1在和中，四边形是正方形，又，2由1，有，点是的外心，点在的垂直平分线上又BD是直径，可得BEDO，点也在的垂直平分线上为等腰三角形，而，设经过三点的抛物线的解析表达式为抛物线过点，
20、把点，点的坐标代入中，得即解得抛物线的解析表达式为3假定在抛物线上存在一点，使点关于直线的对称点在轴上是的平分线，轴上的点关于直线的对称点必在直线上，即点是抛物线及直线的交点AEODCBGFxylQ设直线的解析表达式为，并设直线及轴交于点，那么由是等腰直角三角形把点，点代入中，得直线的解析表达式为设点，那么有把代入，得，即解得或当时，；当时，在抛物线上存在点，它们关于直线的对称点都在轴上例11、假设抛物线y=x2-(m+3)x+m+1及x轴交于A、B两点(A在B的左侧)，以OA、OB为直径分别作O1、O2。(1)试证：无论m取何实数，抛物线及x轴总有两个交点；(2)当两圆相等时，求m的值；(3
21、)如果两圆外切，求m的范围；(4)点B能否在原点的左侧？请说明理由；(5)两圆内切时，求m的范围；(6)假设两圆内切时，当M点的坐标为(1，0)，试证：OAOMOB；(7)如果两圆外切,且O1、O2的周长之比为2:1，求m的值；(8)假设两圆面积之和为，求m的值；(9)假设两圆外切时，外公切线长为3，求m之值。解：设y=x2-(m+3)x+m+1及x轴交于A(x1，0)、B(x2,0)，显然x1x2。(1) 因为抛物线y=x2-(m+3)x+m+1及x轴交点的横坐标，即为所对应的一元二次方程x2-(m+3)x+m+1=0的两根。所以，要证明抛物线及x轴总有两个交点，就是要证明方程x2-(m+3
22、)x+m+1=0的根的判别式0 = -(m+3)2-4(m+1) = m2+2m+5 = (m+1)2+40显然，问题可证。(2)由(1)可知，点A、点B是两个不同的点，假设两圆相等，那么OA=OB，且点A，点B分布在原点的两侧，又因为x1x2 ，x10，x20那么OA=|x1|=-x1 OB=|x2|=x2 ，-x1=x2，即x1+x2=0。所以，m+3=0，m=-3。 另：由OA = OB可得抛物线顶点在y轴上，可知-(m+3) = 0.(3) 以OA、OB为直径的两圆，假设外切，那么A点和B点必然分布在原点O的两侧。所以有x1x20,即m+10,那么m-1.(4) 这是一道开放题。该命题
23、可转化成：要确定点B能否在原点的左侧，就是要确定x2能否取负数？假设x2能取负数的话，那么以下不等式组必有解集。显然上述不等式组的解集为空集，故x2不可能取负数，即点B不可能在x轴的左侧。(5) 两圆内切时，其切点必为原点O，且点A、点B必在原点的同侧。故要分点A、点B都在原点的左侧或都在原点的右侧两种情况进展讨论。假设点A、点B都在原点的左侧,由(4)可知,该种情况不存在。假设点A、点B都在原点的右侧，显然有x10，x20，那么m-1.(6) 由(5)知，假设两圆内切,那么点A、点B必在原点O的右侧，x10，x20那么有OA=|x1|=x1；OB=|x2|=x2；OM=1.要证明OAOMOB
24、， 即证x11x2；就是要证明：x11且x21；即证：x1-10且x2-10；即证：(x1-1)(x2-1)0；而 (x1-1)(x2-1) = x1x2-(x1+x2)+1 = m+1-(m+3)+1 = -10故本小问可证。(7)因为两圆外切时，CO= OA = |x1| = -x1；CO= OB =|x2| = x2；所以；即x1+2x2=0.那么可由方程组求出参数m的值。(8)当两圆面积之和为时，那么S；S；那么； OA2+OB2=7；即x12+x22=7 .那么根据根及系数的关系，此时的m值可求。(9)因为相切两圆的外公切线的长为：2(其中R、r分别为O1、O2的半径)所以 2；即；OAOB=9；-x1x2=9；那么-(m+1)=9；即有；m= -10.第 11 页