概率论第一章习题解答.doc

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1、|概率论第一章习题解3 （1）设 A，B，C 是三个事件，且 ，1()()4PABC， ，求 A，B，C 至少有一个发生的概率。()()0P18（2） ， ， ， ，123()5()10P1()5AC， ，求 ； ； ； ； ；()0BC()0ABB的概率。A（3）已知 ， （）若 A，B 互不相容，求 ，1()2P()PA（）若 ，求1()8PB解 因为 事件“A，B，C 至少有一个发生” C而 ， ，所以 ()0()0故 (PA()()()()BPBPA115048（2） () ()()()PAA；23105() ；14()()()5BPB() (PACAC()()PAB；11172350

2、230() ； ()()()PABCPAC2() 因为 ()sBB且 ()()C()152076|() 因为 ()()()PABCPABC已知 ， ，故4(15760)()()；21（3） ， （）若 A，B 互不相容，求 ，1()2PA()PAB（）若 ，求()8（）因为若 A，B 互不相容，所以 ， ， ；1()(2PA（）因为 ，且 ，()AB所以 ，代入已知条件，得)()()PP，即 。1(28AB384 设 A，B 是两个事件。（1）已知 ，验证 ；（2）验证 A 与 B 恰有一个发生的概率为 。()2()PAB解 （1）因为 ， SB，()已知 ，AB所以 ()ABB（2）因为事件

3、“A 与 B 恰有一个发生” A所以 “A 与 B 恰有一个发生”的概率为 ()PB而 ，()SABA且 ，B故 ()()()PP|()()PABPAB25 10 片药片中有 5 片是安慰剂，（1）从中任意取 5 片，其中至少有 2 片是安慰剂的概率。（2）从中每次取 1 片，作不放回抽样，求前 3 次都取到安慰剂的概率。解 （1）设 “所取的 5 片药片中至少有 2 片安慰剂”B设 Ai“5 片中有 i 片是安慰剂” ， （i=1 ，2，3，4，5） ，则样本空间所饮食的基本事件数： 510!9876251C含有的基本事件数： ；05415A10001011()()()()PBAPPPA。2

4、6352（2）设 C“前 3 次取到的都是安慰剂 ” 样本空间所饮食的基本事件数：1098720事件 C 所包含的基本事件数为：5436041()0982P6 在房间里有 10 个人，分别佩带从 1 号到 10 号的徽章，任选 3 人记录其徽章的号码。（1）求最小号码为 5 的概率；（2）求最大号码为 5 的概率。解 A“最小号码为 5”，B“最大号码为 5”样本空间所包含的基本事件数： ；31098120C事件 A 所包含基本事件数（即 5 固定，再从 6，7，8，9，10 这 5 个数中任选 2 个）：254C事件 B 所包含的基本事件数（即 5 固定，再从 1,2，3,4 这 4 个数中

5、任选 2 个）：2436故 ；10()PA1()20PB7 某油漆公司发出 17 桶油漆，其中白漆 10 桶，黑漆 4 桶，红漆 3 桶，在搬运的过程中所有标签脱落，交货人随意将这些油漆发给顾客，问一个订货为 4 桶白漆，3 桶黑漆，2 桶红漆的顾客，能按所订颜色得到订货的概率是多少？解 设 A“顾客能按所订的颜色如数拿到订货” ，则样本空间所包含的基本事件数： 917651108C|事件 A 所包含的基本事件数： 43210987432501C所以 。25()P8 在 1500 件产品中有 400 件次品，1100 件正品，任取 200 件：（1）求恰有 90 件次品的概率；（2）至少有 2

6、 件次品的概率。解 设 A“所取的 200 件产品中有 90 件次品” ，B“所取的 200 件产品中恰有 2 件次品”样本空间包含的基本事件数： ，015C事件 A 所包含的基本事件数： ，940事件 所包含的基本事件数：B2190（1） 901425()CP（2） 2019405()()CB9 从 5 双不同的鞋中任取 4 只，问这 4 只鞋至少能配成一双的概率是多少？解 设 A“4 只鞋不能配成双” ，则 “4 只鞋至少能配成一双”A样本空间所包含的基本事件数： 4102C事件 A 包含的基本事件数： 15280（即：先从 5 双鞋中任取 4 双，然后从所取的 4 双鞋中各任取一只，这样

7、取得的 4 只鞋，都不能配成双。 ）于是，11522408() 0CP83A说明：本题有多种解法，总的思路是从 5 双鞋中任取一只后，再取时不考虑与已经取了的那一只能配成双的哪一只。如考虑 4 只鞋了是有次序的一只一只取出的：从 10 只鞋中任取 4 只共有种取法，即样本空间所包含的基本事件数： ；现在来求10987 ()10987Ns：第一只鞋可以从 10 只鞋中任意取，有 10 种不同的取法，第二只鞋只能从剩下的()NA9 只中且除去与已取的第一只配对的 8 只鞋中去取，有 8 种取法，同理，第三只、第四只各有 6 种取法、4 种取法。从而 。()1064NA|于是 ； 。10864()9

8、721PA813()2PA10 在 11 张卡片上写有 probability 这 11 个字母，从中任意抽 7 张，求其排列结果为 ability 概率。解 设 A“抽到 7 张卡片能排列成 ability”， 则样本空间所包含的基本事件数： 7109865事件 A 所包含的基本事件数： 1124CC（即在 11 个字母中只有 1 个 a，2 个 b，2 个 i,1 个 l，已经取了一个 i，只剩下 1 个 i，同样 t、y 也只有 1 个可取。 ）于是 。714()0.4P11 将 3 只球随机地放入 4 个杯子中去，求杯子中球的最大个数分别为 1,2，3 的概率。解 设 “放入杯子中球的

9、最大个数” ， （ ）iA1,23i由于每个球可以任意地放入 4 个杯子中的任何 1 个中，且每个杯子可以放入的球的个数没有限制，于是“将 3 只球随机地放入 4 个杯子中去”共有 种放法，即 。343()4NS：只有 3 个球都放入一个杯子中才能发生，且有 4 全杯子可任意选择，则3；()4NA341()6PA：只有当每个杯子最多放入 1 个球时才能发生，因而1 1()432NA132()4又 ，且 ， （ ）123ASijAij故 ()P从而 。216912 50 只铆钉随机地取来用在 10 个部件上，其中有 3 只铆钉强度太弱，每个部件用3 只铆钉。若将 3 只强度太弱有铆钉都装在一个部

10、件上，则这个部件的强度就太弱。问发生一个部件强度太弱的概率是多少？解 将 10 部件自 1 至 10 编号。则随机试验 E：随机地取铆钉，各部件都装 3 个铆钉。“第 号部件强度太弱” ， （ ）iAi 1,23,0i|由题设知，只有当 3 只强度太弱的铆钉同时装在第 号部件上时， 才能发生。由于iiA从 50 只铆钉中任取 3 只装在第 号部件上共有 种取法，强度太弱的铆钉仅有 3 只，它i350C们都装在第 号部件上，只有 种取法。i31故 ， （ ） 。350()96iPAC,23,10i又 两两互不相容，因此，10 个部件中有一个强度太弱的概率为121,。0() 1210()()PAP

11、A 196013 一个俱乐部有 5 名一年级的学生，2 名二年级的学生，3 名三年级的学生，2 名四年级的学生。（1）在其中任选 4 名学生，求一、二、三、四年级各有一名学生的概率；（2）在其中任选 5 名学生，求一、二、三、四年级的学生都包含在内的概率。解 （1）设 A“4 名学生中，一、二、三、四年级各有一名学生” ；样本空间所包含的基本事件数： 41209453C事件 A 所包含的基本事件数为： 15615234604()93CP（2）设 B“5 名学生中，一、二、三、四年级的学生都包含在内” 。样本空间所包含的基本事件数： 5120987243C事件 A 所包含的基本事件数为： ，15

12、3()（即先从每个年级任选一人，再从 4 个年级中 1 个，就可保证 5 名学生中包括每个年级的学生在内）。115234()0)7923CPB14 （1）已知 ， ， ，求条件概率 。().A().PB()0.5A(|)PBA（2）已知 ， ， ，求 。1()41(|)31(|)2B()解 （1）因为 ， ， ，0.30.40.5所以 ， ，()7PA()6|()ABA0.2()PP故 (|)()BA()PAB0.2.576（2）因为， ，由乘法公式得，1()4PA(|)3B|142又 ， ，得(|)2()(|)PAB，即 1B6所以 ()()()PA。142315 掷两颗骰子，已知两颗骰子的

13、点数之和为 7，求其中有一颗为 1 点的概率（用两种方法） 。解 设 A“两颗骰子的点数之和为 7”，B“一颗点数为 1”解 方法一（用条件概率公式计算）样本空间所包含的基本事件数：36事件 A 所包含的基本事件数： 6，即（1,6） ， （6,1） ， （5，2） ， （5,2） ， （3,4） （4,3） 事件 AB 所包含的基本事件数：2 即（1,6） ， （6,1） 则 ，6()3P2()3B故 。631|()AB方法二（在缩减的样本空间计算）以 A 为缩减的样本空间，则 A 所包含的基本事件数： 6事件 B 在缩减的样本空间所包含的基本事件数： 2故 。21()63P16 据以往资料

14、表明，某 3 口之家，患有某种传染病的概率有以下规律：P孩子得病 0.5，P母亲得病孩子得病0.5，P父亲得病母亲及孩子得病0.4|求母亲及孩子得病而父亲未得病的概率。解 设 A“孩子得病” ，B“母亲得病” ，C“父亲得病” ，则“母亲及孩子得病而父亲未得病”C已知 ， ，()0.6P(|)0.5A(|)0.4PAB由乘法公式： |.63B()(|)(.12C又 ，且AABACB所以， 。()()()0.3.8PBP。|()CA17 已知在 10 件产品中有 2 件次品，在其中取两次，每次任取一件，作不放回抽样，求下列事件的概率：（1）两件都是正品；（2）两件都是次品；（3）1 件正品，1

15、件次品；（4）第二次取出的是次品。解 设 “第 次取得的是正品” （ ） 。iAi 1,2i因为是不放回抽样，故样本空间所包含的基本事件数： ，109（1）事件 所包含的基本事件数 ： ，1 87；872()0945PA（2）事件 所包含的基本事件数 ：2 1；1()（3）事件 “1 件正品，1 件次品”所包含的基本事件数 ：12A（可能是第一次取得正品，也可能是第二次取得正品） ，12(8)C112360945P解法二： 因为 ， ，312A312()PAA又 ，所以，由乘法公式，得12|31212()()PAPA1| |)(PA。8691045解法三：利用（1）与（2）的结果，因为 ，且

16、，12122AS12A， ， 两两互不相容，故A122A。1212()()()PPA8645（4）因为，事件 “第二次取出的是次品” ，221()()A2121()2PA211(|)(|)(PA。890518 某人忘记电话号码的最后一位数字，因而他随意地拨号，求他拨号不超过 3 次而接通所需电话的概率；若已知最后一位数字是奇数，那么此概率是多少？解 “第 次所能电话” ， （ ） ， “电话所能”iA1,23i则 123A（1）第一次拨通电话： ；1()0P第 2 次拨通电话，即是 ，由乘法公式，得21191()(|)(PApA第 3 次拨通电话，即是 ，由乘法公式231211133()(|)

17、(|)(PA890121213()()()PA。|或 123()()PA31|(|PA78910（2）当已知最后一个数字是奇数时，与（1）有同样的思路和解法：；1()5PA2121133(|)(|)(ApP45112()(|)(5P2213)AAP135或 13()()321|(|P4519 （1）设甲袋中装有 只白球， 只红球；乙袋中装有 N 只白球，M 只红球，今从甲nm袋中任意取一球放入乙袋中，再从乙袋中任意取一球，问取到白球的概率是多少？（2）设第一只盒子中装有 5 只红球，4 只白球；第二个盒子中装有 4 只红球，5 只白球，先从第一个盒子中任意取 2 球放入第二个盒子中，然后从第二个盒子中任意取一只球，求取到白球的概率是多少？解 （1）R“从甲袋中取到红球 ”，W “从乙袋中取到白球” ，则，且 ，()WSRR()PP(|)(|)P ；11NmNnMn（2）设 “从第一个盒子中取得的球中有 只红球。 ”（ ）iRi0,12i“从第二个盒子中取得一只白球。 ”则W012012()SRWR由乘法公式，得