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1、上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出一、线性科学和非线性科学一、线性科学和非线性科学 牛顿建立的经典力学属于线性科学范畴牛顿建立的经典力学属于线性科学范畴.所谓线所谓线性是指量与量之间成正比关系，用直角坐标形象地性是指量与量之间成正比关系，用直角坐标形象地画出来，是一根直线画出来，是一根直线 在线性系统中，部分之和等于整体，描述线性系在线性系统中，部分之和等于整体，描述线性系统的方程遵从叠加原理，即方程的不同解相加仍然统的方程遵从叠加原理，即方程的不同解相加仍然是个解是个解非线性则指整体不等于部分之和，叠加原理失效，非线性则指整体不等于部分之和，叠加原理
2、失效，非线性方程两个解之和不再是方程的解非线性方程两个解之和不再是方程的解1.1.线性科学线性科学2.非线性科学非线性科学*3-7 牛顿力学的内在随机性牛顿力学的内在随机性 混沌混沌上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出3.线性和非线性物理现象的区分线性和非线性物理现象的区分 第一，线性现象一般表现为时空中的平滑运动，第一，线性现象一般表现为时空中的平滑运动，并可用性能良好的函数表示；而非线性现象则表现为并可用性能良好的函数表示；而非线性现象则表现为从规则运动向不规则运动的转化和跃变从规则运动向不规则运动的转化和跃变 第二，线性系统往往表现为对外界的影响成
3、比例第二，线性系统往往表现为对外界的影响成比例地变化；而非线性系统中参量在一些关节点上的极微地变化；而非线性系统中参量在一些关节点上的极微小变化，可引起系统运动形式的决定性改变。小变化，可引起系统运动形式的决定性改变。第三，反映在连续介质中的波动上，线性行为表第三，反映在连续介质中的波动上，线性行为表现为色散引起波包的弥散，导致结构的消失，而非线现为色散引起波包的弥散，导致结构的消失，而非线性作用却可促使空间规整性结构的形成和维持性作用却可促使空间规整性结构的形成和维持 自然界大量存在的相互作用是非线性的，线性作用自然界大量存在的相互作用是非线性的，线性作用只不过是非线性作用在一定条件下的近似
4、只不过是非线性作用在一定条件下的近似上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出二、混沌和牛顿力学的内在随机性二、混沌和牛顿力学的内在随机性 由确定性方程描述的简单系统可以出现极为复杂由确定性方程描述的简单系统可以出现极为复杂的貌似随机的无规运动，这就是混沌的貌似随机的无规运动，这就是混沌1.1.混沌混沌常见的混沌想象常见的混沌想象(1)天体力学中的地球上流星的起源问题天体力学中的地球上流星的起源问题 太阳系的小行星大部分存在与火星与木星之间，太阳系的小行星大部分存在与火星与木星之间，因此地球上的因此地球上的 流星也只能起源于这个小行星带。但流星也只能起源于这个
5、小行星带。但是这个小行星带离地球很远，只有偏心率达到是这个小行星带离地球很远，只有偏心率达到57%的小行星的轨道才能与地球轨道相交。的小行星的轨道才能与地球轨道相交。上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出考虑非共面效应和木星轨道平面相对于行星带的缓慢考虑非共面效应和木星轨道平面相对于行星带的缓慢变化，发现混沌运动确实可以使偏心率达到变化，发现混沌运动确实可以使偏心率达到60%。Wisdom通过具体计算，能够给出与观察一致的流通过具体计算，能够给出与观察一致的流星轨道与丰度，特别是所谓的星轨道与丰度，特别是所谓的“下午效应下午效应”(即下即下午观察到的流星是
6、上午的两倍午观察到的流星是上午的两倍)。(2)地磁场的混沌运动地磁场的混沌运动 地球的磁场不断地改换极性，而且每种极性维地球的磁场不断地改换极性，而且每种极性维持的时间间隔是无规则的，这可能是由于地球内部持的时间间隔是无规则的，这可能是由于地球内部物质与电荷的经向与纬向的两种运动耦合产生的。物质与电荷的经向与纬向的两种运动耦合产生的。两个方向的运动及两个方向磁场的相互作用会产生两个方向的运动及两个方向磁场的相互作用会产生混沌运动。混沌运动。上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出(3)生理学中的生理学中的“反反”混沌混沌-动态病动态病 传统生理学认为，健康人
7、的心率是规则的，具传统生理学认为，健康人的心率是规则的，具有周期性。然而更为精确的测量与研究发现，心律有周期性。然而更为精确的测量与研究发现，心律节奏与时间的变化是极不规则的，即心率在时间上节奏与时间的变化是极不规则的，即心率在时间上是是混沌混沌的。的。并不指混乱不堪无规可循，而是确定性系统的内并不指混乱不堪无规可循，而是确定性系统的内在随机性的表现，是一种无周期的有序。在随机性的表现，是一种无周期的有序。动态病动态病-以异常时间组织结构为特征的疾病以异常时间组织结构为特征的疾病动态病的出现不在于人体中的动态病的出现不在于人体中的“混沌混沌”，而恰恰在，而恰恰在于出现了于出现了“周期性周期性”
8、。-“反混反混沌沌”上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出 正常个体身上各个主要系统中的各种节律之间正常个体身上各个主要系统中的各种节律之间有着错综复杂的相互关系，这些节律极少表现出绝有着错综复杂的相互关系，这些节律极少表现出绝对的周期性。对的周期性。结论结论体内功能的混沌标志着健康，体内功能的混沌标志着健康，而周期性行为却可能预示着疾病。而周期性行为却可能预示着疾病。正是由于混沌系统可在范围十分广泛的各种正是由于混沌系统可在范围十分广泛的各种条件下工作，它们具有高度的适应性和灵活性，条件下工作，它们具有高度的适应性和灵活性，可使系统应付多变环境中出现的种
9、种突变。可使系统应付多变环境中出现的种种突变。若系统表现为周期运动，那么系统就只有很若系统表现为周期运动，那么系统就只有很少的运动模式，无法应付多变的环境中所出现的少的运动模式，无法应付多变的环境中所出现的种种突变，这会导致系统损伤和功能失调。种种突变，这会导致系统损伤和功能失调。上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出2.内随机性内随机性随机性：在一定条件下，如果系统的某个状态随机性：在一定条件下，如果系统的某个状态 既可能出现，也可能不出现。既可能出现，也可能不出现。系统自身不会出现随机性，随机性来系统自身不会出现随机性，随机性来自系统外部或某些尚不清楚
10、的原因的自系统外部或某些尚不清楚的原因的干扰作用。干扰作用。外随机性外随机性内随机性内随机性看来完全确定的系统看来完全确定的系统(用确定的微用确定的微分方程描述分方程描述)内部产生的随机性。内部产生的随机性。混沌现象产生的根源在系统自身，而不在外部的影响。混沌现象产生的根源在系统自身，而不在外部的影响。上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出 我们把混沌说成是在确定性动力学系统中出我们把混沌说成是在确定性动力学系统中出现的一种貌似随机的运动现的一种貌似随机的运动“确定性确定性”是指描述是指描述动力学系统的微分方程中的系数都是确定的，没动力学系统的微分方程中的
11、系数都是确定的，没有概率性因素有概率性因素对确定的初始值，确定性方程应对确定的初始值，确定性方程应给出确定的解，描述着系统确定的行为但在某给出确定的解，描述着系统确定的行为但在某些非线性系统中，这种过程会因初始值极微小的些非线性系统中，这种过程会因初始值极微小的扰动而产生很大变化由于系统的这种初值敏感扰动而产生很大变化由于系统的这种初值敏感性，从物理上看，这过程似乎是随机的，但这种性，从物理上看，这过程似乎是随机的，但这种随机性是确定性系统内部所固有的，所以被叫做随机性是确定性系统内部所固有的，所以被叫做内存随机性具有内在随机性的动力学系统，通内存随机性具有内在随机性的动力学系统，通常兼有规则
12、运动和随机运动的两种不同区域随常兼有规则运动和随机运动的两种不同区域随着某种参数变化，随机区域可能逐渐扩大，甚至着某种参数变化，随机区域可能逐渐扩大，甚至吞掉规则运动的区域吞掉规则运动的区域 上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出我们以湍流的形成为例进行说明我们以湍流的形成为例进行说明 湍流现象是种混沌，它普遍存在于行星和地球大湍流现象是种混沌，它普遍存在于行星和地球大气、海洋与江河、火箭尾流乃至血液流动等自然现象气、海洋与江河、火箭尾流乃至血液流动等自然现象之中之中.流体的运动一般用确定性的流体力学方程描述流体的运动一般用确定性的流体力学方程描述.当流体
13、绕过圆柱体流动当流体绕过圆柱体流动时，随着表征流体中外力与时，随着表征流体中外力与黏性力竞争的雷诺数的不断黏性力竞争的雷诺数的不断增大，当雷诺数达到某个临增大，当雷诺数达到某个临界值时，流动中就出现湍流界值时，流动中就出现湍流.当雷诺数当雷诺数Re1时，流动情时，流动情形如图形如图(a)所示所示.增大流速，增大流速，使雷诺数使雷诺数Re20时时,可看到可看到圆柱体后面出现两个对称的圆柱体后面出现两个对称的涡旋，如图涡旋，如图(b)上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出所示所示.当雷诺数达到当雷诺数达到40左右，又发生另一次突变左右，又发生另一次突变:一个一
14、个涡旋被拉长后摆脱柱体，漂向下游；柱后另一侧的流涡旋被拉长后摆脱柱体，漂向下游；柱后另一侧的流体转了一个弯，形成新的涡旋体转了一个弯，形成新的涡旋.这些涡旋交替产生、这些涡旋交替产生、脱落，向下游移去，如图脱落，向下游移去，如图(c)所示所示.当雷诺数当雷诺数Re104，出现图出现图(d)所示的另一次转变，湍流形成了所示的另一次转变，湍流形成了.由边界层由边界层里产生的小涡旋中充满着一条条细带，其流动是紊乱里产生的小涡旋中充满着一条条细带，其流动是紊乱无规的，这就是湍流状态无规的，这就是湍流状态.在流体力学中就这么一个在流体力学中就这么一个没有单位的雷诺数，它的数值的增减竞能引起如此多没有单位
15、的雷诺数，它的数值的增减竞能引起如此多样的转折，实在令人惊异不止样的转折，实在令人惊异不止!如果事情只局限于流如果事情只局限于流体宏观运动的能量，经过大、中、小、微等等许多尺体宏观运动的能量，经过大、中、小、微等等许多尺度上的旋涡，最后转化成分子尺度上的热运动，那么度上的旋涡，最后转化成分子尺度上的热运动，那么统计描述仍可能奏效问题还在于以紊乱无规的湍流统计描述仍可能奏效问题还在于以紊乱无规的湍流为背景，流动中还会出现大尺度的、颇为规则的结构为背景，流动中还会出现大尺度的、颇为规则的结构和纹样，出现协调一致的运动，真令人不可思议和纹样，出现协调一致的运动，真令人不可思议!上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出 选择进入下一节选择进入下一节3-0 教学基本要求教学基本要求3-1 刚体模型及其运动刚体模型及其运动3-2 力矩力矩 转动惯量转动惯量 定轴转动定律定轴转动定律3-3 定轴转动中的功能关系定轴转动中的功能关系3-4 定轴转动刚体的角动量定律和角动量守恒定律定轴转动刚体的角动量定律和角动量守恒定律3-5 进动进动3-6 理想流体模型理想流体模型 定常流动定常流动 伯努利方程伯努利方程3-7 牛顿力学的内在随机性牛顿力学的内在随机性 混沌混沌