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1、河海大学理学院高等数学高高 等等 数数 学学(下下)河海大学理学院高等数学第七章 常微分方程 高等数学（上）高等数学（上）河海大学理学院高等数学第五节第五节 常系数线性微分方程常系数线性微分方程河海大学理学院高等数学一、定义n n 阶常系数线性微分方程的标准形式阶常系数线性微分方程的标准形式二阶常系数齐次线性方程的标准形式二阶常系数齐次线性方程的标准形式二阶常系数非齐次线性方程的标准形式二阶常系数非齐次线性方程的标准形式河海大学理学院高等数学二、二阶常系数齐次线性方程解法-特征方程法特征方程法将其代入上方程将其代入上方程,得得故有故有特征方程特征方程特征根特征根河海大学理学院高等数学 有两个不
2、相等的实根有两个不相等的实根此时，方程两个线性无关的特解此时，方程两个线性无关的特解得齐次方程的通解为得齐次方程的通解为特征根为特征根为例例河海大学理学院高等数学 有两个相等的实根有两个相等的实根一特解为一特解为得齐次方程的通解为得齐次方程的通解为特征根为特征根为例例河海大学理学院高等数学 有一对共轭复根有一对共轭复根重新组合重新组合得齐次方程的通解为得齐次方程的通解为特征根为特征根为河海大学理学院高等数学特征方程特征方程河海大学理学院高等数学解解特征方程为特征方程为解得解得故所求通解为故所求通解为例例1 1例例2 2解解特征方程为特征方程为解得解得故所求通解为故所求通解为河海大学理学院高等数学解解特征方程为特征方程为解得解得故所求通解为故所求通解为例例3 3河海大学理学院高等数学解解 特征根为特征根为故所求方程为故所求方程为例例于是于是,特征方程为特征方程为河海大学理学院高等数学三、n 阶常系数齐次线性方程解法特征方程为特征方程为河海大学理学院高等数学特征方程的根特征方程的根通解中的对应项通解中的对应项河海大学理学院高等数学特征根为特征根为故所求通解为故所求通解为解解 特征方程为特征方程为例例4 4河海大学理学院高等数学特征根为特征根为故所求通解为故所求通解为解解特征方程为特征方程为例例5 5例例6 6特征方程为特征方程为解解所求方程为所求方程为