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1、关于期中考试关于期中考试时间：下周周四晚，四个班一块。时间：下周周四晚，四个班一块。内容：开学以来学习的高数、概率、线代知识。内容：开学以来学习的高数、概率、线代知识。命题比例：概率统计命题比例：概率统计4050分，高数、线代分，高数、线代5060分。分。期末线代至少期末线代至少60分。分。高数考察：高数考察：幂级数收敛域求法，函数展开成幂级数方法；幂级数收敛域求法，函数展开成幂级数方法；以以2为周期的函数的傅里叶级数展开式求法；为周期的函数的傅里叶级数展开式求法；一阶、可降阶的二阶、高阶线性常系数齐次微分方程通解、特解；一阶、可降阶的二阶、高阶线性常系数齐次微分方程通解、特解；特殊特殊f(x
2、)的二阶线性常系数非齐次微分方程的通解、特解。的二阶线性常系数非齐次微分方程的通解、特解。线性代数考察：行列式理论、方法。线性代数考察：行列式理论、方法。特殊行列式特殊行列式 一般地一般地对角形、三角形对角形、三角形行列式行列式每行每行(列列)之和相等之和相等的对称行列式的对称行列式利用性质、展开定理降阶利用性质、展开定理降阶建立递推公式、建立递推公式、数学归纳法数学归纳法数字行列式数字行列式低阶字母行列式低阶字母行列式 n 阶数字或字母行列式阶数字或字母行列式范德蒙行列式范德蒙行列式复习行列式计算方法复习行列式计算方法练习练习P27.7.按第按第n+1列展开列展开证明证明(P27.6(5)按
3、第按第1列列展开展开对展开定理进一步理解对展开定理进一步理解写出展开式，落实到写出展开式，落实到写出每个元素的余子式写出每个元素的余子式及确定其前面的符号！及确定其前面的符号！按某行（列）展开按某行（列）展开时，确定第一，确定第一项余子式前面的符号是关余子式前面的符号是关键；后面的，正、后面的，正、负相相间或或负、正相、正相间。反之反之:D的某的某(s)行的行的n 个个代数余子式的代数和代数余子式的代数和表示一个表示一个n 阶阶行列式行列式 中第中第s行的元素换为行的元素换为必要时利用必要时利用D 的第的第S行的行的代数余子式代数余子式.求：求：设设5.（P21例例13）D的按第的按第i行行的
4、展开式的展开式可以：可以：写出写出 计算。计算。求：求：及及解解将将D中第一行元素换为中第一行元素换为1，1，1，1.将将D中第一列元素换为中第一列元素换为1，-1，1，-1.进一步讨论：进一步讨论：一重要题型！一重要题型！这是一个行列式这是一个行列式,D中第中第s行的元素换为第行的元素换为第i行行的元素的元素 行列式中任意行行列式中任意行(列列)的元素与另一行的元素与另一行(列列)对应元素对应元素 的代数余子式的乘积之和的代数余子式的乘积之和 第第i 行元素行元素?第第 s 行元素行元素?等于零等于零.定理与推论结合定理与推论结合 或或推论推论 中第中第s行的元素换为行的元素换为D中第中第s
5、行的元素换为第行的元素换为第i行的元素行的元素 余子式、代数余子式与行列式的关系！余子式、代数余子式与行列式的关系！重要！重要！=0回顾回顾 二元一次方程组的解二元一次方程组的解7 7 克莱姆法则克莱姆法则考虑方程组考虑方程组与二元方程组类似与二元方程组类似 ,n 元方程组的解也可用行列式表示元方程组的解也可用行列式表示或或其中其中克莱姆法则克莱姆法则第第 j 列列可以直接证明！可以直接证明！若若(1)的系数行列式的系数行列式1)方程组方程组(1)有解有解(存在性存在性);2)解惟一解惟一(惟一性惟一性);则则(1)有唯一解有唯一解略去不写，重点看其应用！略去不写，重点看其应用！需证明两点需证
6、明两点:其中其中克莱姆法则克莱姆法则第第 j 列列若若(1)的系数行列式的系数行列式则则(1)有唯一解有唯一解法则的应用：法则的应用：D0时，判定方程组有唯一解；时，判定方程组有唯一解；通过计算行列式，求出方程组的解。通过计算行列式，求出方程组的解。P.22 例例14，自读自读;P.23 例例15设曲线设曲线通过四点通过四点:只需求出系数只需求出系数解解把四个点的坐标代入曲线方程，把四个点的坐标代入曲线方程，是未知数是未知数,由克莱姆法则，方程组有唯一解由克莱姆法则，方程组有唯一解求该曲线方程求该曲线方程.分析分析求解线性方程组求解线性方程组把四个点的坐标代入曲线方程，把四个点的坐标代入曲线方
7、程，得线性方程组得线性方程组.系数行列式系数行列式解解是未知数是未知数,由克莱姆法则，方程组有唯一解由克莱姆法则，方程组有唯一解把四个点的坐标代入曲线方程，把四个点的坐标代入曲线方程，得线性方程组得线性方程组.系数矩阵系数矩阵由克莱姆法则由克莱姆法则即曲线方程为即曲线方程为由上述例题可体会到，由上述例题可体会到，求解求解n n 线性方程组线性方程组要计算要计算n+1 个个 n 阶行列式！阶行列式！但它仍具有极为重要的理论价值：但它仍具有极为重要的理论价值：解决了解决了 nn 方程方程组解的存在性和唯一性解的存在性和唯一性进一步探讨，即有下述结论：进一步探讨，即有下述结论：用克莱姆法则解方程组并
8、不实用。用克莱姆法则解方程组并不实用。定理定理4 若方程组若方程组(1)的系数行列式不为零的系数行列式不为零,则它有唯一解则它有唯一解.定理定理4 若方程组若方程组(1)无解或有两个不同的解无解或有两个不同的解,则它的系数则它的系数 行列式必为零。行列式必为零。逆否命逆否命题不考虑求解公式不考虑求解公式一个判定行列式为零一个判定行列式为零的充分条件的充分条件零解零解 则它只有则它只有 零解零解(没有非零解）没有非零解）.定义定义 称方程组称方程组为为齐次线性方程组齐次线性方程组.一定有一定有 解解是否有非零解？是否有非零解？定理定理5 若齐次方程组若齐次方程组(2)的系数行列式的系数行列式 D
9、0,定理定理5 若齐次方程组若齐次方程组(2)有非零解有非零解 满足方程组满足方程组(2)零解零解(2)行列式为零的充要条件！行列式为零的充要条件！行列式不为零的充要条件！行列式不为零的充要条件！齐次方程组齐次方程组(2)只有零解只有零解 故当故当 =2,5,8 时，方程组有非零解时，方程组有非零解.解解 由方程组有非零解等价于其系数行列式为零由方程组有非零解等价于其系数行列式为零,即即 例例1(P25.例例16)这是一是一类重要的重要的题目！要原理清楚，目！要原理清楚，计算准确。算准确。练习（练习（p28.11）问问 为何值时，为何值时，齐次线性方程组有非零解齐次线性方程组有非零解解解齐次线
10、性方程组有非零解齐次线性方程组有非零解所以，当所以，当 或或 时，齐次线性方程组有非零解时，齐次线性方程组有非零解只有零解只有零解.补例补例 证明方程组证明方程组证证 因为系数行列式为因为系数行列式为按定义按定义,n!项中仅主对角线上元素的项中仅主对角线上元素的乘积为奇数乘积为奇数,其余的乘积均为偶数其余的乘积均为偶数奇数与偶数的和非零！奇数与偶数的和非零！故方程组只有零解。故方程组只有零解。小结小结 nn 线性方程组的解线性方程组的解若若(1)无解或有两个不同的解无解或有两个不同的解,则它的系数行列式则它的系数行列式 D 必为零必为零若方程组若方程组(2)的系数的系数行列式行列式 D0,则它只有零解则它只有零解若若(1)的系数行列式的系数行列式 D0,则它有惟一解则它有惟一解(i=1,2,n)(1)(2)(i=1,2,n)非齐次线性组非齐次线性组齐次线性组齐次线性组方程组方程组(2)有非零解有非零解 系数行列式系数行列式 D=0