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1、第一部分 实验指导书 科学出版社科学出版社南通大学理学院计算科学与统计学系2022/10/2913.1 函数的简单函数表示函数的简单函数表示一、实验目的一、实验目的 1理解理解Taylor公式的意义；公式的意义；2认识认识Taylor公式的地位和作用；公式的地位和作用；3了解较复杂函数的简单函数表示。了解较复杂函数的简单函数表示。二、实验使用的软件二、实验使用的软件 或以上版本或以上版本.科学出版社科学出版社南通大学理学院计算科学与统计学系2022/10/292三、实验的基本理论及方法三、实验的基本理论及方法1Taylor公式公式11带皮亚诺余项的带皮亚诺余项的Taylor公式公式设函数在处阶
2、可导,则.特别地，即得Maclaurin公式.科学出版社科学出版社南通大学理学院计算科学与统计学系2022/10/29312带拉格朗日余项的带拉格朗日余项的Taylor公式公式设函数且,则 其中介于与之间.特别地，即得Maclaurin公式其中介于与之间.科学出版社科学出版社南通大学理学院计算科学与统计学系2022/10/2942幂级数展开幂级数展开 给定函数f(x)及任意一点x0是否能找到一个幂级数 ，在其收敛区间内的和函数恰好就是给定的函数f(x)呢？如果能找到这样的幂级数，我们就说f(x)在x0能展开成幂级数，而该幂级数就称为f(x)的在该点处的幂级数展开式。科学出版社科学出版社南通大学
3、理学院计算科学与统计学系2022/10/2953傅里叶级数展开傅里叶级数展开 对波的研究在物理学和工程技术中显得非常重要，它反映了物质作周期运动的运动规律，我们常常用一个以T为周期的周期函数f(t)=f(t+T)来描述它。而简谐振动是最简单的一种周期运动，其运动规律为y=Asin(t+)，其中y表示动点的位置，t表示时间，A表示振幅，是初相，为角频率.那么其它的波能否用无穷多个简谐波的叠加来表示是傅里叶级数所要解决的问题。若函数f(x)是以2 为周期的周期函数，且在区间-,上连续或只有有限个第一类间断点，而且只有有限个极值点（上述条件称为狄里克雷充分条件），则有科学出版社科学出版社南通大学理学
4、院计算科学与统计学系2022/10/296（1）当是的连续点时，(1)其中的系数 由式（2）确定(2)其中，式(1)的右端称为函数f(x)的傅立叶级数；式（2）称为傅立叶系数公式。（2）当x是f(x)的间断点时，傅立叶级数收敛于 科学出版社科学出版社南通大学理学院计算科学与统计学系2022/10/297四、实验四、实验材料材料1.1.编写编写Mathematica程序，从图象上观察多项式与程序，从图象上观察多项式与函数的接近或逼近函数的接近或逼近在同一坐在同一坐标系里分系里分别作出各次多作出各次多项式函数与函式函数与函数数y=sinx的的图象。象。观察察这些多些多项式函数的式函数的图象向象向y
5、=sinx的的图象逼近的情况。象逼近的情况。2.2.构造多项式与函数逼近构造多项式与函数逼近设多多项式函数式函数与函数与函数f(x)逼近，逼近，则 对f(x)分分别构造各构造各阶（例如一（例如一阶、二、二阶、十五十五阶）Maclaurin或或Taylor多多项式，并从式，并从图象象观察逼近程度与范察逼近程度与范围。科学出版社科学出版社南通大学理学院计算科学与统计学系2022/10/2983.3.傅立叶级数傅立叶级数分分别取取n=20,30,画出函数画出函数在区在区间-3,3上的上的图象，象，观察正弦波的叠加。察正弦波的叠加。Mathematica没有没有专门的命令将一个周期函数的命令将一个周期
6、函数进行傅里叶行傅里叶级数展开，但我数展开，但我们可以通可以通过下列的程序下列的程序将一个以将一个以2为周期的周期函数展开成有限周期的周期函数展开成有限阶不不带任何余任何余项的傅里叶的傅里叶级数数 n=Input“n=”;fx_=Inputfx=L=(1.0/Pi*NIntegratefx,x,-Pi,Pi;Fori=1,i RGBColor1,0,0,RGBColor0,1,0科学出版社科学出版社南通大学理学院计算科学与统计学系2022/10/291312实验思路实验思路 例 在同一坐标系里分别作出多项式函数 ，和函数 的图象观察这些多项式函数的图象向 的图象逼近的情况思思考考：哪些多项式函
7、数能与 逼近？在什么范围内逼近？科学出版社科学出版社南通大学理学院计算科学与统计学系2022/10/2914 思考：哪些多项式函数能与 逼近？在什么范围内逼近？一般地，观察一类多项式能与哪一个函数在什么范围内逼近。例在同一坐标系里分别作出多项式函数 和函数 的图象观察这些多项式函数的图象向 的图象逼近的情况 科学出版社科学出版社南通大学理学院计算科学与统计学系2022/10/29152、Maclaurin(Taylor)级级数的整体表示数的整体表示21程序程序函函 数数 的的 阶阶 Maclaurin公公 式式 构构 造造 的的Mathematica计算程序如下计算程序如下n=n0;fx_=e
8、xpr;ax,k_=Dfx,x,k/k!;Tablea0,k,k,0,n;px_,n=Suma0,k*xk,k,0,n 阶Maclaurin公公式式当当 时时的的Mathematica程程序序gx_:=Suma0,k*xk,k,0,Infinity科学出版社科学出版社南通大学理学院计算科学与统计学系2022/10/2916 阶阶 Maclaurin公公 式式 当当 时时 的的 近近 似似 函函 数数(取取 )与对应函数比较的与对应函数比较的Mathematica程序程序 hx_:=Suma0,k*xk,k,0,1001；Plotfx,hx，x，a，b,PlotStyle-RGBColor1,0
9、,0,RGBColor0,1,0科学出版社科学出版社南通大学理学院计算科学与统计学系2022/10/2917函函数数 关关于于 的的 阶阶Taylor公公式式构构造造的的Mathematica计算程序如下计算程序如下n=n0;x0=x0;fx_=expr;ax,k_=Dfx,x,k/k!;Tableax0,k,k,0,n;px_,n=Sumax0,k*(x-x0)k,k,0,n 科学出版社科学出版社南通大学理学院计算科学与统计学系2022/10/291822实验思路实验思路 例 构造函数sinx的5、7、9、11、13、15阶Maclaurin公式，观察函数sinx的各阶Maclaurin公式
10、与sinx的逼近程度；观察n阶Maclaurin公式当n时的近似函数；此近似函数与函数sinx的比较。取x0=1对sinx分别构造一阶、二阶、十五阶Taylor多项式，并从图象观察逼近程度与范围；观察n阶Taylor公式当n时的近似函数；此近似函数与函数sinx的比较。再取x0=/3对sinx分别构造一阶、二阶、十五阶Taylor多项式，并从图象观察逼近程度与范围；观察n阶Taylor公式当n时的近似函数；此近似函数与函数sinx的比较。科学出版社科学出版社南通大学理学院计算科学与统计学系2022/10/2919 例例 设设 ，构构造造Maclaurin公公式；观察阶数；从图象观察逼近程度与范
11、围。式；观察阶数；从图象观察逼近程度与范围。例例2.4 设设 ，构构造造Maclaurin公公式式；观观察察阶数；从图象观察逼近程度与范围。阶数；从图象观察逼近程度与范围。科学出版社科学出版社南通大学理学院计算科学与统计学系2022/10/29203、周期函数的傅里叶级数、周期函数的傅里叶级数31程序程序下下列列的的程程序序将将一一个个以以2 2 为为周周期期的的周周期期函函数数展展开开成有限阶不带任何余项的傅里叶级数成有限阶不带任何余项的傅里叶级数 n=Input“n=”;fx_=Inputfx=L=(1.0/Pi*NIntegratefx,x,-Pi,Pi;Fori=1,iRGBColor
12、1,0,0,RGBColor0,1,0运行结果为运行结果为科学出版社科学出版社南通大学理学院计算科学与统计学系2022/10/2928 在程序中把多项式在程序中把多项式x分别替换其它多项式运行分别替换其它多项式运行程序，有如下结果程序，有如下结果(结果省略结果省略).科学出版社科学出版社南通大学理学院计算科学与统计学系2022/10/2929实验观察实验观察：由奇次幂构成的多项式函数才可能与函数由奇次幂构成的多项式函数才可能与函数y=sinx逼近，其中逼近，其中 这类多项式与函数这类多项式与函数y=sinx逼近效果最好；随逼近效果最好；随着多项式次数升高，逼近范围渐进扩大。着多项式次数升高，逼
13、近范围渐进扩大。科学出版社科学出版社南通大学理学院计算科学与统计学系2022/10/2930 四、实验总结四、实验总结 1.1.如果函数在如果函数在x=x0(x=0)处具有处具有n阶导数，多阶导数，多项式函数可能与函数局部逼近，其中某一函数项式函数可能与函数局部逼近，其中某一函数的的Maclaurin（Taylor）多项式与此函数逼近效）多项式与此函数逼近效果最好，而且随多项式次数升高果最好，而且随多项式次数升高(不超过不超过n次次)，逼近范围渐进扩大。逼近范围渐进扩大。科学出版社科学出版社南通大学理学院计算科学与统计学系2022/10/29312022/10/2932南通大学理学院计算科学与统计学系科学出版社科学出版社2022/10/29南通大学理学院计算科学与统计学系33I want to thank you for being a part of my life.科学出版社科学出版社