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1、第3章 MATLAB数值计算数值计算10/29/2022第第3章章 MATLAB数值计算数值计算3 3.1 .1 多项式多项式3 3.2 .2 插值和拟合插值和拟合3 3.3 .3 数值微积分数值微积分3 3.4 .4 线性方程组的数值解线性方程组的数值解3 3.5 .5 稀疏矩阵稀疏矩阵3 3.6 .6 常微分方程的常微分方程的数值数值解解 3 3.1.1.1.1 多项式多项式的的表达和创建表达和创建3 3.1.1 多项式多项式表示成向量的形式，系数按降序排列例如 x=1 3-15-2 9 y=1 0 0 0 1 3.1.2 多项式多项式的的四则运算四则运算n多项式相加减没有专门的函数，可以
2、自己定义。n多项式相乘函数 conv 的语法为 c=conv(a,b)，其中 a,b 代表两个多项式的系数向量【例 3.1】完成两个同阶次多项式：的相乘运算。a=1 2 3 4;b=1 4 9 16;e=conv(a,b)e=1 6 20 50 75 84 64 n多项式相除函数 deconv 的语法为 q,r=deconv(a,b)，其中 q，r分别代表整除多项式及余数多项式【例 3.2】利用例 3.4 中的数据。f,r=deconv(e,b)f=1 2 3 4 r=0 0 0 0 0 0 0 3.1.3 多项式求值和求根运算多项式求值和求根运算1.多项式求值 语法格式为 y=polyval
3、(p,x)其中 p 代表多项式各阶系数向量，x 为要求值的点。当 x 表示矩阵时，需用 y=polyvalm(p,x)来计算相应的值。【例 3.3】利用 polyval 函数找出 在 s=3 处的值：p=1 2-12-1 7;z=polyval(p,3)z=31【例 3.4】利用 polyval找出多项式 在-1,4间均匀分布的 5个离散点的值。x=linspace(-1,4,5)%在-1,4区间产生5个离散点 p=1 4 7-8;v=polyval(p,x)x=-1.0000 0.2500 1.5000 2.7500 4.0000 v=-12.0000 -5.9844 14.8750 62.
4、2969 148.0000 v 即为多项式在各个离散点上对应的函数值。【例 3.5】估计矩阵多项式 P(X)=X3 2X I在已知矩阵 X 处的值，其中 X=1 2 1;-1 0 2;4 1 2。X=1 2 1;-1 0 2;4 1 2;P=1-2-1;Y=polyvalm(P,X)Y=0 -1 5 9 -1 -1 3 8 5 2.多项式求根 语法为：x=roots(P)，其中 P 为多项式的系数向量，x 也为向量，即 x(1),x(2),x(n)分别代表多项式的 n 个根。MATLAB规定：多项式是行向量，根是列向量。【例 3.6】求解多项式 的根。roots(1 3-12-2 8)ans=
5、-0.83694739215044 0.84958196911772 注意：在上面的程序中，数字格式都设为长(long)型，若改为短(short)型，结果会有差别，根据需要可执行 MATLAB 窗口的 Fle|Preferences命令进行修改。3.1.4 多项式的构造多项式的构造n函数 poly2sym来构造多项式n函数 poly来求根对应的多项式的各阶系数【例 3.7】利用函数 poly2sym构造多项式 。T=1 3-15-2 9;poly2sym(T);ans=x4+3*x3-15*x2-2*x+9【例 3.8】用多项式的根构造上例多项式。T=1 3-15-2 9;%多项式的系数向量
6、r=roots(T);%求得多项式的根 poly(r)%利用根构造出多项式 ans=1.0000 3.0000 -15.0000 -2.0000 9.0000 3 3.2 2 插值和拟合插值和拟合3.2.1 多项式插值和拟合已知 节点构造函数插值使得拟合拟合就是要找出一个曲线方程式（多项式拟合就是设法找一个多项式），使得它与观测数据最为接近，这时不要求拟合多项式通过全部已知的观测节点。1多项式插值函数(interp1)yi=interp1(x,y,xi,method)对应于插值函数 ，其中 x 和 y是原已知数据的 x、y 值，xi 是要内插的数据点，method是插值方法。【例 3.9】取余
7、弦曲线上 11 个点的自变量和函数值点作为已知数据，再选取 41 个自变量点，分别用分段线性插值、三次方程式插值和样条插值3 种方法计算确定插值函数的值。x=0:10;y=cos(x);xi=0:.25:10;y0=cos(xi);%精确值 y1=interp1(x,y,xi);%线性插值结果 y2=interp1(x,y,xi,cubic);%三次方程式插值结果 y3=interp1(x,y,xi,spline);%样条插值结果%plot(xi,y0,o,xi,y1,-,xi,y2,-.,xi,y3,-)subplot(2,2,1);plot(xi,y0,o)subplot(2,2,2);p
8、lot(xi,y1,-)subplot(2,2,3);plot(xi,y2,-.)subplot(2,2,4);plot(xi,y3,-)2多项式拟合函数 polyfit p=polyfit(x,y,n)p,s=polyfit(x,y,n)l 其中x,y为已知的数据组，n 为要拟合的多项式的阶次，向量p 为返回的要拟合的多项式的系数，向量s 为调用函数polyval 获得的错误预估计值。l 一般来说，多项式拟合中阶数n 越大，拟合的精度就越高。l 函数 polyfit 常和函数 polyval(见 3.1.3 节)结合起来使用，由 polyfit 计算出多项式的各个系数 后，再利用polyva
9、l 对输入向量决定的多项式求值。【例 3.10】对向量X=-2.8-1 0.2 2.1 5.2 6.8和Y=3.1 4.6 2.3 1.2 2.3-1.1分别进行阶数为3、4、5 的多项式拟合，并画出图形进行比较。x=-2.8-1 0.2 2.1 5.2 6.8;y=3.1 4.6 2.3 1.2 2.3-1.1;p3=polyfit(x,y,3);%用不同阶数的多项式拟合x和y p4=polyfit(x,y,4);p5=polyfit(x,y,5);xcurve=-3.5:0.1:7.2;%生成x值 p3curve=polyval(p3,xcurve);%计算在这些x点的多项式值 p4cur
10、ve=polyval(p4,xcurve);p5curve=polyval(p5,xcurve);plot(xcurve,p3curve,-,xcurve,p4curve,-.,xcurve,p5curve,-,x,y,*);3 3.3 3 数值微积分数值微积分3.3.1 微分和差分 函数diff:计算两个相邻点的差值.语法diff(x)返回x 对预设独立变量的一次微分；diff(x,t)返回x 对独立变量t 的一次微分值；diff(x,n)返回x 对预设独立变量的n 次微分值；diff(x,t,n)返回x 对独立变量t 的n 次微分值。其中x代表一组离散点 。计算 的数值微分为dy=diff
11、(y)./diff(x)。【例 3.11】计算多项式 在-4,5 区间的微分。x=linspace(-4,5);%产生100个x的离散点 p=1 -3 -8 7 3 -5;f=polyval(p,x);%多项式在100个离散x点上对应的值 plot(x,f)%将多项式函数绘图 title(多项式方程);【例 3.12】对 3 个方程式 利用diff 的4 种语法格式计算微分的示例。S1=6*x3-4*x2+b*x-5;%符号表达式(见第5章)S2=sin(a);S3=(1-t3)/(1+t4);diff(S1)%对预设独立变量x的一次微分值 ans=18*x2-8*x+b diff(S1,2)
12、%对预设独立变量x的二次微分值 ans=36*x-8 diff(S1,b)%对独立变量b的一次微分值 ans=x diff(S2)%对预设独立变量a的一次微分值 ans=cos(a)diff(S3)%对预设独立变量t的一次微分值 ans=-3*t2/(1+t4)-4*(1-t3)/(1+t4)2*t3【例 3.13】利用矩形法计算积分 (该积分的精确值为2)。x=linspace(0,pi,100);%在0，之间取100个离散点 y=sin(x);T=cumsum(y)*pi/(100-1);%pi/(100-1)表示两个离散点之间的距离 I=T(100)%函数在0，之间的矩形积分 I=1.9
13、998 3.3.2 牛顿-科茨系列数值积分公式 1.矩形法数值积分 函数cumsumcumsum(x)*h，其中h 为子区间步长，cumsum(x)对应 。【例 3.14】利用梯形法计算积分 。x=linspace(0,pi,100);y=sin(x);t=trapz(x,y)t=1.9998 z=trapz(x,y)表示通过梯形积分法计算 y 对 x 的数值积分。函数trapz2.梯形法数值积分【例 3.15】用辛普森积分公式求 的积分。解：方法1 quad(1./(x.3-2*x-5),0,2)ans=-0.4605 方法2 F=1./(x.3-2*x-5);quad(F,0,2)ans=
14、-0.4605 3.辛普森数值积分 q=quad(f,a,b)【例 3.16】用科茨积分公式求 的积分。quadl(1./(x.3-2*x-5),0,2)ans=-0.4605 4.科茨数值积分 函数quadl q=quadl(fun,a,b)3.4 线性方程组的数值解 1.矩阵相除法对线性方程组 AX=B X=AB2.消去法 方程的个数和未知数个数不相等，用消去法。将增广矩阵(由A B构成)化为简化阶梯形，若系数矩阵的秩不等于增广矩阵的秩，则方程组无解；若两者的秩相等，则方程组有解，方程组的解就是行简化阶梯形所对应的方程组的解。【例 3.17】解方程组：a=1-1 1-1 1;1-1-1 1 0;1-1-2 2-0.5;%为增广矩阵，由A B构成 rref(a)ans=1.0000 -1.0000 0 0 0.5000 0 0 1.0000 -1.0000 0.5000 0 0 0 0 0 由结果看出，x2、x4 为自由未知量，方程组的通解为：，。