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1、 第七章第七章山东交通学院高等数学教研室山东交通学院高等数学教研室第二第二节节 数量数量积积 向量向量积积一、两向量的数量一、两向量的数量积积二、两向量的向量二、两向量的向量积积 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 行列式：一、二阶行列式解方程组记则类似地消 得 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 二、三阶行列式按第一行展开如 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 一、两向量的数量一、两向量的数量积积沿与力的夹角为的直线移动,1 定定义义设向量的夹角为,称 记作数量积(点积).引例引例位移为 s,则力F 所做的功为设一物体在常力 F 作用下,目录 上页 下页 返回
2、结束高等数学高等数学 记作故2 性性质质 注：注：目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 3 运算律运算律(1)交换律(3)结合律(2)分配律证明：当时,显然成立;目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 例例1 利用向量证明三角形余弦定理证证明明:则设如图,目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 4 数量数量积积的坐的坐标标表示表示设则当为非零向量时,由于两向量的夹角公式,得 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 例例2 已知三点 AMB.解解:则求故 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 为 ).求单位时间内流过该平面域的流体的质量P(流体密度例例3 设均匀
3、流速为的流体流过一个面积为 A 的平面域,与该平面域的单位垂直向量解解:单位时间内流过的流体体积:的夹角为且为单位向量 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 二、两向量的向量二、两向量的向量积积引例引例有一个与杠杆夹角为符合右手规则矩是一个向量 M:的力 F 作用在杠杆的 P点上,则力 F 作用在杠杆上的力设O 为杠杆L 的支点,目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 1 定定义义定义向量方向:(叉积)记作且符合右手规则大小:向量积,称引例中的力矩几何意几何意义义:右图平行四边形面积S 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 2 性性质质证证明明:结论显然成立（3）（2）（
4、1）若或 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 4 向量向量积积的坐的坐标标表示式表示式设则按第一行展开3 运算律运算律(2)分配律(3)结合律 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 例例4 已知三点角形 ABC 的面积.解解:如图所示,求三 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 内容小内容小结结设1.向量运算加减:数乘:点积:叉积:目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 2 向量关系:目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 思考与思考与练习练习1 设计算并求夹角 的正弦与余弦.答案答案:2.用向量方法证明正弦定理:目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 证证明明:所以由三角形面积公式 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 备备用用题题1 已知向量的夹角且解：解：目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 在顶点为三角形中,求 AC 边上的高 BD.解：解：三角形 ABC 的面积为 2 而故有