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1、第三节一、一、变力沿直线所作的功变力沿直线所作的功二、二、液体的侧压力液体的侧压力三、三、引力问题引力问题四、四、转动惯量转动惯量(补充补充)机动 目录 上页 下页 返回 结束 定积分在物理学上的应用 第六六章 10/29/2022一、一、变力沿直线所作的功变力沿直线所作的功设物体在连续变力 F(x)作用下沿 x 轴从 xa 移动到力的方向与运动方向平行,求变力所做的功.在其上所作的功元素为因此变力F(x)在区间 上所作的功为机动 目录 上页 下页 返回 结束 10/29/2022例例1.一个单求电场力所作的功.解解:当单位正电荷距离原点 r 时,由库仑定律库仑定律电场力为则功的元素为所求功为
2、说明说明:机动 目录 上页 下页 返回 结束 位正电荷沿直线从距离点电荷 a 处移动到 b 处(a b),在一个带+q 电荷所产生的电场作用下,10/29/2022例例2.体,求移动过程中气体压力所解解:由于气体的膨胀,把容器中的一个面积为S 的活塞从点 a 处移动到点 b 处(如图),作的功.建立坐标系如图.由波义耳马略特定律知压强 p 与体积 V 成反比,即功元素为故作用在活塞上的所求功为机动 目录 上页 下页 返回 结束 力为在底面积为 S 的圆柱形容器中盛有一定量的气 10/29/2022例例3.试问要把桶中的水全部吸出需作多少功?解解:建立坐标系如图.在任一小区间上的一薄层水的重力为
3、这薄层水吸出桶外所作的功(功元素功元素)为故所求功为(KJ)设水的密度为机动 目录 上页 下页 返回 结束(KN)一蓄满水的圆柱形水桶高为 5 m,底圆半径为3m,10/29/2022面积为 A 的平板二、液体侧压力二、液体侧压力设液体密度为 深为 h 处的压强:当平板与水面平行时,当平板不与水面平行时,所受侧压力问题就需用积分解决.机动 目录 上页 下页 返回 结束 平板一侧所受的压力为10/29/2022小窄条上各点的压强例例4.的液体,求桶的一个端面所受的侧压力.解解:建立坐标系如图.所论半圆的利用对称性,侧压力元素端面所受侧压力为机动 目录 上页 下页 返回 结束 方程为一水平横放的半
4、径为R 的圆桶,内盛半桶密度为 10/29/2022说明说明:当桶内充满液体时,小窄条上的压强为侧压力元素故端面所受侧压力为奇函数奇函数(P350 公式67)机动 目录 上页 下页 返回 结束 10/29/2022三、三、引力问题引力问题质量分别为的质点,相距 r,二者间的引力:大小:方向:沿两质点的连线若考虑物体物体对质点的引力,则需用积分解决.机动 目录 上页 下页 返回 结束 10/29/2022例例5.设有一长度为 l,线密度为 的均匀细直棒,其中垂线上距 a 单位处有一质量为 m 的质点 M,该棒对质点的引力.解解:建立坐标系如图.细棒上小段对质点的引力大小为故垂直分力元素为机动 目
5、录 上页 下页 返回 结束 在试计算10/29/2022利用对称性利用对称性棒对质点引力的水平分力机动 目录 上页 下页 返回 结束 故棒对质点的引力大小为棒对质点的引力的垂直分力为 10/29/2022说明说明:2)若考虑质点克服引力沿 y 轴从 a 处1)当细棒很长时,可视 l 为无穷大,此时引力大小为方向与细棒垂直且指向细棒.移到 b(a b)处时克服引力作的功,机动 目录 上页 下页 返回 结束 则有10/29/2022引力大小为机动 目录 上页 下页 返回 结束 注意正负号3)当质点位于棒的左端点垂线上时,10/29/2022四、转动惯量四、转动惯量(补充补充)质量为 m 的质点关于
6、轴 l 的转动惯量为的质点系若考虑物体物体的转动惯量,则需用积分解决.机动 目录 上页 下页 返回 结束 关于轴 l 的转动惯量为10/29/2022例例6.求圆盘对通过中心与其垂直的轴的转动惯量;求圆盘对直径所在轴的转动惯量.解解:建立坐标系如图.设圆盘面密度为.小圆环质量对应于的小圆环对轴 l 的转动惯量为故圆盘对轴 l 的转动惯量为机动 目录 上页 下页 返回 结束 设有一个半径为 R,质量为 M 的均匀圆盘,10/29/2022平行 y 轴的细条关于 y 轴的转动惯量元素为细条质量:故圆盘对y 轴的转动惯量为机动 目录 上页 下页 返回 结束 取旋转轴为 y 轴,建立坐标系如图.10/
7、29/2022内容小结内容小结(1)先用微元分析法求出它的微分表达式 dQ一般微元的几何形状有:扇扇、片片、壳壳 等.(2)然后用定积分来表示整体量 Q,并计算之.1.用定积分求一个分布在某区间上的整体量 Q 的步骤:2.定积分的物理应用:变力作功,侧压力,引力,转动惯量等.机动 目录 上页 下页 返回 结束 条条、段段、环环、带带、10/29/2022(99考研)思考与练习思考与练习提示提示:作 x 轴如图.1.为清除井底污泥,用缆绳将抓斗放入井底,泥后提出井口,缆绳每在提升过程中污泥以20N/s 的速度从抓斗缝隙中漏掉,现将抓起污泥的抓斗提升到井口,抓斗抓起的污泥重2000N,提升速度为3
8、m/s,问克服重力需作多少焦耳(J)功?已知井深30 m,抓斗自重400N,将抓起污泥的抓斗由机动 目录 上页 下页 返回 结束 抓起污x 提升 dx 所作的功为 米重50N,10/29/2022提升抓斗中的污泥:井深 30 m,抓斗自重 400 N,缆绳每米重50N,抓斗抓起的污泥重 2000N,提升速度为3ms,污泥以 20Ns 的速度从抓斗缝隙中漏掉克服缆绳重:抓斗升至 x 处所需时间:机动 目录 上页 下页 返回 结束 克服抓斗自重:10/29/20222.设星形线上每一点处线密度的大小等于该点到原点距离的立方,提示提示:如图.在点O 处有一单 位质点,求星形线在第一象限的弧段对这质点的引力.机动 目录 上页 下页 返回 结束 10/29/2022同理故星形线在第一象限的弧段对该质点的习题课 目录 上页 下页 返回 结束 引力大小为作业作业:P287 2,3,5,9,1210/29/2022锐角 取多大时,薄板所受的压力 P 最大.备用题备用题斜边为定长的直角三角形薄板,垂直放置于解解:选取坐标系如图.设斜边长为 l,水中,并使一直角边与水面相齐,则其方程为问斜边与水面交成的机动 目录 上页 下页 返回 结束 10/29/2022机动 目录 上页 下页 返回 结束 故得唯一驻点 故此唯一驻点即为所求.由实际意义可知最大值存在,即10/29/2022