(完整word版)大一高数笔记.pdf

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1、导数与极限（一）极限1.概念（1）自变量趋向于有限值的函数极限定义（定义）Axfax)(lim0，0，当|0ax时，有|)(|Axf。（2）单侧极限左极限：)0(afAxfax)(lim0，0，当xa0时，有|)(|Axf。右极限：)0(afAxfax)(lim0，0，当ax0时，有|)(|Axf。（3）自变量趋向于无穷大的函数极限定义 1：0,0X，当Xx，成立Axf，则称常数A为函数xf在x趋于无穷时的极限，记为Axfxlim。Ay为曲线xfy的水平渐近线。定义 2：00X，当Xx时，成立Axf，则有Axfxlim。定义 3：00X，当Xx时，成立Axf，则有Axfxlim。运算法则：1)

2、1)若Axflim，xglim，则xgxflim。2)2)若但可为,0limAxf，xglim，则?xgxflim。3)3)若xflim，则01limxf。注：上述记号lim是指同一变化过程。（4）无穷小的定义0，0，当|0ax时，有|)(|xf，则称函数)(xf在ax时的无穷小（量），即0)(limxfax。（5）无穷大的定义0M，0，当|0ax时，有Mxf|)(|，则称函数)(xf在ax时的无穷大（量），记为)(limxfax。直线ax为曲线xfy的垂直渐近线。2无穷小的性质定理 1 有限多个无穷小的和仍是无穷小。定理 2 有界函数与无穷小的乘积仍是无穷小。推论 1 常数与无穷小的乘积是无

3、穷小。推论 2 有限个无穷小的乘积是无穷小。无穷小与无穷大的关系若)(limxfax，且)(xf不取零值，则)(1xf是ax时的无穷小。3极限存在的判别法（1）Axfax)(limAafaf)0()0(。Axfx)(limAxfxfxx)(lim)(lim。（2）Axfax)(limAxf)(，其中是ax时的无穷小。（3）夹逼准则：设在点a的某个去心邻域),(?aN内有)()()(xhxfxg，且已知Axgax)(lim和Axhax)(lim，则必有Axfax)(lim。4极限的性质（1）极限的唯一性若Axfax)(lim且Bxfax)(lim，则BA。（2）局部有界性若Axfax)(lim，

4、则0M，在点a的某个去心邻域),(?aN内有Mxf|)(|。（3）局部保号性（I）若Axfax)(lim，且0A（或0A），则必存在a的某个去心邻域),(?aN，当),(?aNx时，有0)(xf（或0)(xf）。（II）若在点a的某个去心邻域),(?aN内有0)(xf（或0)(xf），且Axfax)(lim，则0A（或0A）。5极限的四则运算与复合运算设c是常数，BxgAxfaxax)(lim)(lim则（1）；BAxgxfax)()(lim（2）；BAxgxfax)()(lim（3）；Acxfcax)(lim（4）；，0)()(limBBAxgxfax（5），有，且，若00)()0(),()

5、(lim)(lim0uxgaUxAufuxguuax则Aufxgfuuax)(lim)(lim0.6两个重要极限（1）1sinlim0 xxx；（2）exxx10)1(lim或exxx)11(lim。7无穷小的阶的比较若和都是在同一自变量变化中的无穷小量，且0，则（1）若0lim，则称关于是高阶无穷小量，记作)(o；（2）若1lim，则称和是等价无穷小量，记作；（3）若)0(limcc，则称和是同阶无穷小量，记作)(O；一般情况下，若存在常数0A，0B，使成立BA|，就称和是同阶无穷小量。（4）若以x作为0 x时的基本无穷小量，则当)(kxO（k为某一正数）时，称是k阶无穷小量。文档编码:CH

6、4Q4G8B2K8 HD7A2J7E2M6 ZA2U3L2G7W4文档编码:CH4Q4G8B2K8 HD7A2J7E2M6 ZA2U3L2G7W4文档编码:CH4Q4G8B2K8 HD7A2J7E2M6 ZA2U3L2G7W4文档编码:CH4Q4G8B2K8 HD7A2J7E2M6 ZA2U3L2G7W4文档编码:CH4Q4G8B2K8 HD7A2J7E2M6 ZA2U3L2G7W4文档编码:CH4Q4G8B2K8 HD7A2J7E2M6 ZA2U3L2G7W4文档编码:CH4Q4G8B2K8 HD7A2J7E2M6 ZA2U3L2G7W4文档编码:CH4Q4G8B2K8 HD7A2J7E2M

7、6 ZA2U3L2G7W4文档编码:CH4Q4G8B2K8 HD7A2J7E2M6 ZA2U3L2G7W4文档编码:CH4Q4G8B2K8 HD7A2J7E2M6 ZA2U3L2G7W4文档编码:CH4Q4G8B2K8 HD7A2J7E2M6 ZA2U3L2G7W4文档编码:CH4Q4G8B2K8 HD7A2J7E2M6 ZA2U3L2G7W4文档编码:CH4Q4G8B2K8 HD7A2J7E2M6 ZA2U3L2G7W4文档编码:CH4Q4G8B2K8 HD7A2J7E2M6 ZA2U3L2G7W4文档编码:CH4Q4G8B2K8 HD7A2J7E2M6 ZA2U3L2G7W4文档编码:CH

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12、4Q4G8B2K8 HD7A2J7E2M6 ZA2U3L2G7W4文档编码:CH4Q4G8B2K8 HD7A2J7E2M6 ZA2U3L2G7W4文档编码:CH4Q4G8B2K8 HD7A2J7E2M6 ZA2U3L2G7W4定理 1)(o。定理 2 设，且lim存在，则limlim。常用的等价无穷小0 x时，1)1ln(arctanarcsintansinxexxxxxx，221cos1xx。（二）函数的连续性1定义若函数)(xfy在点a的某个邻域内有定义，则)(xf在点a处连续)()(limafxfax0lim0yx。2连续函数的运算连续函数的和、差、积、商（分母不为零）均为连续函数；连续

13、函数的反函数、复合函数仍是连续函数；一切初等函数在定义区间内都是连续函数。3间断点（1）间断点的概念不连续的点即为间断点。（2）间断点的条件若点0 x满足下述三个条件之一，则0 x为间断点：（a）)(xf在0 x没有定义；（b）)(lim0 xfxx不存在；（c）)(xf在0 x有定义，)(lim0 xfxx也存在，但)()(lim00 xfxfxx。（3）间断点的分类：（i）第一类间断点：在间断点0 x处左右极限存在。它又可分为下述两类：可去间断点：在间断点0 x处左右极限存在且相等；跳跃间断点：在间断点0 x处左右极限存在但不相等；（ii）第二类间断点：在间断点0 x处的左右极限至少有一个

14、不存在。4闭区间上连续函数的性质（1）概念若函数)(xf在区间),(ba上每一点都连续，在a点右连续，在b点左连续，则称)(xf在区间,ba上连续。（2）几个定理最值定理：如果函数)(xf在闭区间,ba上连续，则)(xf在此区间上必有最大和最小值。有界性定理：如果函数)(xf在闭区间,ba上连续，则)(xf在此区间上必有界。介值定理：如果函数)(xf在闭区间,ba上连续，则对介于)(af和)(bf之间的任一值c，必有,bax，使得cxf)(。零点定理：设函数)(xf在闭区间,ba上连续，若0)()(bfaf，则必有),(bax，使得0)(xf。（三）导数1导数的概念文档编码:CH4Q4G8B2

15、K8 HD7A2J7E2M6 ZA2U3L2G7W4文档编码:CH4Q4G8B2K8 HD7A2J7E2M6 ZA2U3L2G7W4文档编码:CH4Q4G8B2K8 HD7A2J7E2M6 ZA2U3L2G7W4文档编码:CH4Q4G8B2K8 HD7A2J7E2M6 ZA2U3L2G7W4文档编码:CH4Q4G8B2K8 HD7A2J7E2M6 ZA2U3L2G7W4文档编码:CH4Q4G8B2K8 HD7A2J7E2M6 ZA2U3L2G7W4文档编码:CH4Q4G8B2K8 HD7A2J7E2M6 ZA2U3L2G7W4文档编码:CH4Q4G8B2K8 HD7A2J7E2M6 ZA2U3

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21、K8 HD7A2J7E2M6 ZA2U3L2G7W4文档编码:CH4Q4G8B2K8 HD7A2J7E2M6 ZA2U3L2G7W4文档编码:CH4Q4G8B2K8 HD7A2J7E2M6 ZA2U3L2G7W4（1）定义设函数)(xfy在点a的某个邻域内有定义，当自变量在点a处取得改变量)0(x时，函数)(xf取得相应的改变量)()(afxafy，若极限xafxafxyxx)()(limlim00存在，则称此极限值为函数)(xfy在点a处的导数（或微商），记作axaxaxxxfxyyafd)(ddd)(或，。导数定义的等价形式有axafxfafax)()(lim)(。（2）左、右导数左导数a

22、xafxfafax)()(lim)(右导数axafxfafax)()(lim)()(af存在)()(afaf。2导数的几何意义函数)(xfy在点a处的导数)(af在几何上表示曲线)(xfy在点)(,(afaM处的切线的斜率，即)(afk，从而曲线)(xfy在点)(,(afaM处的切线方程为)()(axafafy法线方程为)()(1)(axafafy3函数的可导性与连续性之间的关系函数)(xfy在点a处可导，则函数在该点必连续，但反之未必。即函数在某点连续是函数在该点可导的必要条件，但不是充分条件。因此，若函数)(xf点a处不连续，则)(xf点a处必不可导。4求导法则与求导公式（1）四则运算若w

23、vu、均为可导函数，则vuvu)(，vuvuuv)(，wuvwvuvwuuvw)(，uccu)(（其中0c为常数），2)(vvuvuvu，2)1(vvv（0v）。（2）复合函数求导设)(ufy，)(xgu，且)(uf和)(xg都可导，则复合函数)(xgfy的导数为xuuyxydddddd。（3）反函数的导数若)(yx是)(xfy的反函数，则)(1)(yxf。（4）隐函数的导数由一个方程0),(yxF所确定的隐函数)(xfy的求导法，就是先将方程两边分别对x求导，再求出xydd即可。（5）对数求导法文档编码:CH4Q4G8B2K8 HD7A2J7E2M6 ZA2U3L2G7W4文档编码:CH4Q

24、4G8B2K8 HD7A2J7E2M6 ZA2U3L2G7W4文档编码:CH4Q4G8B2K8 HD7A2J7E2M6 ZA2U3L2G7W4文档编码:CH4Q4G8B2K8 HD7A2J7E2M6 ZA2U3L2G7W4文档编码:CH4Q4G8B2K8 HD7A2J7E2M6 ZA2U3L2G7W4文档编码:CH4Q4G8B2K8 HD7A2J7E2M6 ZA2U3L2G7W4文档编码:CH4Q4G8B2K8 HD7A2J7E2M6 ZA2U3L2G7W4文档编码:CH4Q4G8B2K8 HD7A2J7E2M6 ZA2U3L2G7W4文档编码:CH4Q4G8B2K8 HD7A2J7E2M6

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30、4G8B2K8 HD7A2J7E2M6 ZA2U3L2G7W4文档编码:CH4Q4G8B2K8 HD7A2J7E2M6 ZA2U3L2G7W4先对函数求对数，再利用隐函数求导的方法。对数求导法适用于幂指函数、连乘除函数。（6）参数方程的导数若参数方程)()(tytx确定了一个函数)(xfy，且、均可导，则有)()(ddttxy。（7）基本初等函数的导数公式0)(c1)(xxxxcos)(sinxxsin)(cosxx2sec)(tanxx2csc)(cotxxxtansec)(secxxxcotcsc)(cscaaaxxln)(（0a，1a）xxee)(axxaln1)(log（0a，1a）x

31、x1)(ln211)(arcsinxx211)(arccosxx211)(arctanxx211)arccot(xx5高阶导数（1）高阶导数的概念：函数)(xf的一阶导数)(xf的导数称为)(xf的二阶导数，)(xf的二阶导数的导数称为)(xf的三阶导数，)(xf的1n阶导数的导数称为)(xf的n阶导数，分别记为)()4(,nyyyyy，或nnxyxyxyxydd,dd,dd,dd443322。二阶及二阶以上的导数称为高阶导数。（2）常用的n阶导数公式!)()(nxnn，xnxee)()(，)2sin()(sin)(nxxn，)2cos()(cos)(nxxn，nnnxnx)1()!1()1(

32、)1ln(1)(。（3）莱布尼茨公式设)(xu和)(xv都是n次可微函数，则有)()(0)()(kknnknvuknuv。复习指导重点：求函数的极限、连续、导数。难点：讨论分段函数在分段点处的极限存在、连续性、可导性。1求极限的方法：（1）利用定义（语言）证明。（2）利用极限的四则运算法则和复合函数求极限的方法求初等函数的极限。（3）初等函数)(xf在定义区间上求极限：)()(lim00 xfxfxx。文档编码:CH4Q4G8B2K8 HD7A2J7E2M6 ZA2U3L2G7W4文档编码:CH4Q4G8B2K8 HD7A2J7E2M6 ZA2U3L2G7W4文档编码:CH4Q4G8B2K8

33、HD7A2J7E2M6 ZA2U3L2G7W4文档编码:CH4Q4G8B2K8 HD7A2J7E2M6 ZA2U3L2G7W4文档编码:CH4Q4G8B2K8 HD7A2J7E2M6 ZA2U3L2G7W4文档编码:CH4Q4G8B2K8 HD7A2J7E2M6 ZA2U3L2G7W4文档编码:CH4Q4G8B2K8 HD7A2J7E2M6 ZA2U3L2G7W4文档编码:CH4Q4G8B2K8 HD7A2J7E2M6 ZA2U3L2G7W4文档编码:CH4Q4G8B2K8 HD7A2J7E2M6 ZA2U3L2G7W4文档编码:CH4Q4G8B2K8 HD7A2J7E2M6 ZA2U3L2G

34、7W4文档编码:CH4Q4G8B2K8 HD7A2J7E2M6 ZA2U3L2G7W4文档编码:CH4Q4G8B2K8 HD7A2J7E2M6 ZA2U3L2G7W4文档编码:CH4Q4G8B2K8 HD7A2J7E2M6 ZA2U3L2G7W4文档编码:CH4Q4G8B2K8 HD7A2J7E2M6 ZA2U3L2G7W4文档编码:CH4Q4G8B2K8 HD7A2J7E2M6 ZA2U3L2G7W4文档编码:CH4Q4G8B2K8 HD7A2J7E2M6 ZA2U3L2G7W4文档编码:CH4Q4G8B2K8 HD7A2J7E2M6 ZA2U3L2G7W4文档编码:CH4Q4G8B2K8

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38、7W4文档编码:CH4Q4G8B2K8 HD7A2J7E2M6 ZA2U3L2G7W4文档编码:CH4Q4G8B2K8 HD7A2J7E2M6 ZA2U3L2G7W4文档编码:CH4Q4G8B2K8 HD7A2J7E2M6 ZA2U3L2G7W4文档编码:CH4Q4G8B2K8 HD7A2J7E2M6 ZA2U3L2G7W4文档编码:CH4Q4G8B2K8 HD7A2J7E2M6 ZA2U3L2G7W4文档编码:CH4Q4G8B2K8 HD7A2J7E2M6 ZA2U3L2G7W4文档编码:CH4Q4G8B2K8 HD7A2J7E2M6 ZA2U3L2G7W4文档编码:CH4Q4G8B2K8

39、HD7A2J7E2M6 ZA2U3L2G7W4例：3103020132lim220 xxxx。（4）分解因式，约去使分母极限为零的公因式。例：113lim)1)(1()3)(1(lim134lim11221xxxxxxxxxxxx。（5）利用两个重要极限，此时需注意自变量的变化趋势。例：2222sinlim2sinlim00 xxxxxx但44)42sin(2sinlim4xxx。（6）利用等价无穷小替换（条件：在乘积的条件下）。例：33lim)1ln(3tanlim00 xxxxxx。（7）利用无穷大和无穷小的互为倒数关系。例：求22lim2xxx。因为022lim2xxx，所以22lim2

40、xxx。（8）幂指函数求极限：若1)(lim0 xuxx，)(lim0 xvxx，则 1)()(lim)(00)(limxuxvxvxxxxexu。（9）利用左右极限求分段函数在分段点处的极限。2无穷小：（1）理解无穷小是自变量在趋向于某一点时函数极限趋向于零的过程，它与自变量的变化趋势密切相关。（2）掌握利用求两个无穷小的商的极限比较它们的阶的方法。（3）注意在求极限时，如果两个无穷小做加减法，则不能做等价无穷小的替换。3连续性的判断：重点是分段函数在分段点处连续性的判断，此时需利用左右连续的概念进行判断。4间断点（1）掌握间断点的分类规则，以及如何求解函数的间断点并对其分类。对于初等函数，

41、首先找出无定义的点，然后通过计算它的左右极限得出其类型。对于分段函数，还要讨论它的分段点。（2）注意对于可去间断点，可以通过重新定义该点的函数值使得函数在该点连续。5闭区间连续函数的性质掌握利用闭区间上连续函数性质来证明某个函数在闭区间上满足一些特殊性质的方法。例如要证明某个函数在一个闭区间上可以取到一个特定数值时，通常的方法是在这个闭区间内找两个函数值（一般是计算区间两个端点的函数值或者假设出函数在该区间上的最大和最小值），使得它们一大一小，恰好分布在这个特殊值的两边，而后利用介值定理得出结论。当要证明方程0)(xf在某个区间内有根时，可以在此区间内找两个点，使得)(xf在这两点的函数值一正

42、一负，从而利用零点定理得出结论。5可导、连续和极限三个概念的关系：)(xf在点0 x可导)(xf在点0 x连续)(xf在点0 x有极限；但上述关系反之均不成立。6可导的判断：（1）若函数在某一点不连续，则必不可导。（2）分段函数在分段点处是否可导的判断，需利用左右导数的概念进行判断。7求导数的方法：（1）利用导数的定义求导数。文档编码:CH4Q4G8B2K8 HD7A2J7E2M6 ZA2U3L2G7W4文档编码:CH4Q4G8B2K8 HD7A2J7E2M6 ZA2U3L2G7W4文档编码:CH4Q4G8B2K8 HD7A2J7E2M6 ZA2U3L2G7W4文档编码:CH4Q4G8B2K8

43、 HD7A2J7E2M6 ZA2U3L2G7W4文档编码:CH4Q4G8B2K8 HD7A2J7E2M6 ZA2U3L2G7W4文档编码:CH4Q4G8B2K8 HD7A2J7E2M6 ZA2U3L2G7W4文档编码:CH4Q4G8B2K8 HD7A2J7E2M6 ZA2U3L2G7W4文档编码:CH4Q4G8B2K8 HD7A2J7E2M6 ZA2U3L2G7W4文档编码:CH4Q4G8B2K8 HD7A2J7E2M6 ZA2U3L2G7W4文档编码:CH4Q4G8B2K8 HD7A2J7E2M6 ZA2U3L2G7W4文档编码:CH4Q4G8B2K8 HD7A2J7E2M6 ZA2U3L2

44、G7W4文档编码:CH4Q4G8B2K8 HD7A2J7E2M6 ZA2U3L2G7W4文档编码:CH4Q4G8B2K8 HD7A2J7E2M6 ZA2U3L2G7W4文档编码:CH4Q4G8B2K8 HD7A2J7E2M6 ZA2U3L2G7W4文档编码:CH4Q4G8B2K8 HD7A2J7E2M6 ZA2U3L2G7W4文档编码:CH4Q4G8B2K8 HD7A2J7E2M6 ZA2U3L2G7W4文档编码:CH4Q4G8B2K8 HD7A2J7E2M6 ZA2U3L2G7W4文档编码:CH4Q4G8B2K8 HD7A2J7E2M6 ZA2U3L2G7W4文档编码:CH4Q4G8B2K8

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47、 HD7A2J7E2M6 ZA2U3L2G7W4文档编码:CH4Q4G8B2K8 HD7A2J7E2M6 ZA2U3L2G7W4文档编码:CH4Q4G8B2K8 HD7A2J7E2M6 ZA2U3L2G7W4文档编码:CH4Q4G8B2K8 HD7A2J7E2M6 ZA2U3L2G7W4文档编码:CH4Q4G8B2K8 HD7A2J7E2M6 ZA2U3L2G7W4文档编码:CH4Q4G8B2K8 HD7A2J7E2M6 ZA2U3L2G7W4文档编码:CH4Q4G8B2K8 HD7A2J7E2M6 ZA2U3L2G7W4文档编码:CH4Q4G8B2K8 HD7A2J7E2M6 ZA2U3L2

48、G7W4文档编码:CH4Q4G8B2K8 HD7A2J7E2M6 ZA2U3L2G7W4文档编码:CH4Q4G8B2K8 HD7A2J7E2M6 ZA2U3L2G7W4文档编码:CH4Q4G8B2K8 HD7A2J7E2M6 ZA2U3L2G7W4文档编码:CH4Q4G8B2K8 HD7A2J7E2M6 ZA2U3L2G7W4文档编码:CH4Q4G8B2K8 HD7A2J7E2M6 ZA2U3L2G7W4文档编码:CH4Q4G8B2K8 HD7A2J7E2M6 ZA2U3L2G7W4文档编码:CH4Q4G8B2K8 HD7A2J7E2M6 ZA2U3L2G7W4（2）利用基本初等函数的导数公式

49、和导数的四则运算法则求初等函数的导数。（3）利用复合函数求导的链式法则。（4）利用隐函数求导法则。此时需注意若在方程中出现y的函数项，则在对自变量x求导时，对这一项需利用复合函数求导的法则。例：设02xyey，求xydd。解：方程两边同时对x求导，有0d)d(2ddddd)(dxxxyxyyey，所以12yey。（5）利用反函数求导法则。（6）利用参数方程求导法则。此时需注意得到的y对x的导数实际上仍然由一个参数方程所确定。（7）利用对数求导法则。它主要在如下两种情况中应用：（i）幂指函数求导；（ii）需求导的函数由许多因式利用乘除法结合得到。（8）分段函数在分段点处需利用左右导数求导。第 3

50、 章微分学的基本定理内容提要（一）微分1概念微分的定义：设函数)(xfy在点0 x处可微，给定自变量x的增量0 xxx，称对应的函数增量)()()(00 xfxfxf的线性主部xxf)(0为函数)(xf在点0 x处的微分，记作)(d0 xf或0|dxxy。2常用的微分公式0)(d c（c为常数）xxxd)d(1xxxdcossindxxxdsincosdxxxdsectand2xxxdcsccotd2xxxxdtansecsecdxxxxdcotcsccscdxaaaxxdlnd（0a，1a）xeexxddxaxxadln1logd（0a，1a）xxxd1|lndxxxd11arcsind2x