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1、高中数学必修+选修知识点归纳引言1.课程内容：必修课程由 5 个模块组成：必修 1：集合、函数概念与基本初等函数（指、对、幂函数）必修 2：立体几何初步、平面解析几何初步。必修 3：算法初步、统计、概率。必修 4：基本初等函数（三角函数）、平面向量、三角恒等变换。必修 5：解三角形、数列、不等式。以上是每一个高中学生所必须学习的。上述内容覆盖了高中阶段传统的数学基础知识和基本技能的主要部分，其中包括集合、函数、数列、不等式、解三角形、立体几何初步、平面解析几何初步等。不同的是在保证打好基础的同时，进一步强调了这些知识的发生、发展过程和实际应用，而不在技巧与难度上做过高的要求。此外，基础内容还增
2、加了向量、算法、概率、统计等内容。选修课程有 4 个系列：系列 1：由 2 个模块组成。选修 11：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、导数及其应用。选修 12：统计案例、推理与证明、数系的扩充与复数、框图系列 2：由 3 个模块组成。选修 21：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、空间向量与立体几何。选修 22：导数及其应用，推理与证明、数系的扩充与复数选修 23：计数原理、随机变量及其分布列，统计案例。系列 3：由 6 个专题组成。选修 31：数学史选讲。选修 32：信息安全与密码。选修 33：球面上的几何。选修 34：对称与群。选修 35：欧拉公式与闭曲面分类。选修 36：三等分角与数域扩充。系列
3、4：由 10 个专题组成。选修 41：几何证明选讲。选修 42：矩阵与变换。选修 43：数列与差分。选修 44：坐标系与参数方程。选修 45：不等式选讲。选修 46：初等数论初步。选修 47：优选法与试验设计初步。选修 48：统筹法与图论初步。选修 49：风险与决策。选修 410：开关电路与布尔代数。2重难点及考点：重点：函数，数列，三角函数，平面向量，圆锥曲线，立体几何，导数难点：函数、圆锥曲线高考相关考点：集合与简易逻辑:集合的概念与运算、简易逻辑、充要条件函数：映射与函数、函数解析式与定义域、值域与最值、反函数、三大性质、函数图象、指数与指数函数、对数与对数函数、函数的应用数列：数列的有
4、关概念、等差数列、等比数列、数列求和、数列的应用三角函数：有关概念、同角关系与诱导公式、和、差、倍、半公式、求值、化简、证明、三角函数的图象与性质、三角函数的应用平面向量：有关概念与初等运算、坐标运算、数量积及其应用不等式：概念与性质、均值不等式、不等式的证明、不等式的解法、绝对值不等式、不等式的应用直线和圆的方程：直线的方程、两直线的位置关系、线性规划、圆、直线与圆的位置关系圆锥曲线方程：椭圆、双曲线、抛物线、直线与圆锥曲线的位置关系、轨迹问题、圆锥曲线的应用直线、平面、简单几何体：空间直线、直线与平面、平面与平面、棱柱、棱锥、球、空间向量排列、组合和概率：排列、组合应用题、二项式定理及其应
5、用概率与统计：概率、分布列、期望、方差、抽样、正态分布导数：导数的概念、求导、导数的应用复数：复数的概念与运算必修 1 数学知识点第一章：集合与函数概念1.1.1、集合1、把研究的对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。集合三要素：确定性、互异性、无序性。2、只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合相等。3、常见集合：正整数集合：N*或N，整数集合：Z，有理数集合：Q，实数集合：R.4、集合的表示方法：列举法、描述法.1.1.2、集合间的基本关系1、一般地，对于两个集合 A、B，如果集合 A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，则称集合 A 是集合 B 的子集。记作A B.2、如果
6、集合A B，但存在元素xB，且x A，则称集合A 是集合 B的真子集.记作：A B.3、把不含任何元素的集合叫做空集.记作：.并规定：空集合是任何集合的子集.4、如果集合 A 中含有 n 个元素，则集合 A 有2n个子集，2n1个真子集.1.1.3、集合间的基本运算1、一般地，由所有属于集合 A 或集合 B 的元素组成的集合，称为集合A 与 B 的并集.记作：A B.2、一般地，由属于集合 A 且属于集合 B 的所有元素组成的集合，称为A 与 B 的交集.记作：A B.3、全集、补集？CUA x|xU,且xU1.2.1、函数的概念1、设 A、B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对
7、于集合 A 中的任意一个数x，在集合 B 中都有惟一确定的数fx和它对应，那么就称f:A B为集合 A 到集合 B 的一个函数，记作：y fx,x A.2、一个函数的构成要素为：定义域、对应关系、值域.如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则称这两个函数相等.1.2.2、函数的表示法1、函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法.1.3.1、单调性与最大（小）值1、注意函数单调性的证明方法：(1)定义法：设x1、x2a,b,x1 x2那么f(x1)f(x2)0 f(x)在a,b上是增函数；f(x1)f(x2)0 f(x)在a,b上是减函数.步骤：取值作差变形定号判断格式：解：设x1,
8、x2a,b且x1 x2，则：fx1 fx2=(2)导数法：设函数y f(x)在某个区间内可导，若f(x)0，则f(x)为增函数；若f(x)0，则f(x)为减函数.1.3.2、奇偶性1、一般地，如果对于函数fx的定义域内任意一个x，都有f x fx，那么就称函数fx为偶函数.偶函数图象关于y轴对称.2、一般地，如果对于函数fx的定义域内任意一个x，都有f x fx，那么就称函数fx为奇函数.奇函数图象关于原点对称.知识链接：函数与导数1、函数y f(x)在点x0处的导数的几何意义：函数y f(x)在点x0处的导数是曲线y f(x)在P(x0,f(x0)处的切线的斜率f(x0)，相应的切线方程是y
9、 y0 f(x0)(x x0).2、几种常见函数的导数C 0；(xn)nxn1；(sin x)cos x；(cos x)sin x；(ax)axlna；(ex)ex；(logax)3、导数的运算法则（1）(u v)uv.（2）(uv)uvuv.uuvuv(v 0).（3）()2vv11；(ln x)xlnax4、复合函数求导法则复合函数y f(g(x)的导数和函数y f(u),u g(x)的导数间的关系为yx yuux，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.解题步骤:分层层层求导作积还原.5、函数的极值(1)极值定义：极值是在x0附近所有的点，都有f(x)f(x0)，则f(x0)
10、是函数f(x)的极大值；极值是在x0附近所有的点，都有f(x)f(x0)，则f(x0)是函数f(x)的极小值.(2)判别方法：如果在x0附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，那么f(x0)是极大值；如果在x0附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，那么a 10 a 1f(x0)是极小值.6、求函数的最值(1)求y f(x)在(a,b)内的极值（极大或者极小值）(2)将y f(x)的各极值点与f(a),f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为极小值。注：极值是在局部对函数值进行比较（局部性质）；最值是在整体区间上对函数值进行比较(整体性质)。第二章：基本初等函数（）2.1.1、指数与指数
11、幂的运算00(1)定义域：R（2）值域：（0，+）（3）过定点（0，1），即x=0时，y=1（4）在R 上是增函数(5)x 0,a 1;x（4）在 R上是减函数(5)x 0,0 ax1xx 0,0 a 1;x 0,a 1x1、一般地，如果xna，那么x叫做a的n次方根。其中n 1,n N.2、当n为奇数时，nana；当n为偶数时，nana.3、我们规定：anmman*a 0,m,n Nan,m 1；1n 0；an4、运算性质：arasarsa 0,r,sQ；ar sarsa 0,r,sQ；abarbra 0,b 0,rQ.r2.1.2、指数函数及其性质1、记住图象：y axa 0,a 1yx2
12、、性质：y=a2.2.1、对数与对数运算11、指数与对数互化式：ax N x logaN；2、对数恒等式：alogaN N.3、基本性质：loga1 0，logaa 1.4、运算性质：当a 0,a 1,M 0,N 0时：logaMN logaM logaN；MlogaN logaMlogaN；ox0a1logaMnnlogaM.5、换底公式：logab logcblogcaa 0,a 1,c 0,c 1,b 0.6、重要公式：loganbm7、倒数关系：logab mlogabn1a 0,a 1,b 0,b 1.logba2.2.2、对数函数及其性质1、记住图象：y logaxa 0,a 1y
13、2、性质：y=logax0a1110101(1)定义域：（0，+）（2）值域：R（3）过定点（1，0），即x=1 时，y=0（4）在（0，+）上是增函数(5)x 1,logax 0；（4）在（0，+）上是减函数(5)x 1,logax 0第三章：函数的应用3.1.1、方程的根与函数的零点1、方程fx 0有实根函数y fx的图象与x轴有交点0 x 1,logax 0；0 x 1,logax 0函数y fx有零点.2、零点存在性定理：如果函数y fx在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有fa fb 0，那么函数y fx在区间a,b内有零点，即存在ca,b，使得fc 0，这个c也就是方程f
14、x 0的根.3.1.2、用二分法求方程的近似解1、掌握二分法.3.2.1、几类不同增长的函数模型3.2.2、函数模型的应用举例1、解决问题的常规方法：先画散点图，再用适当的函数拟合，最后检验.必修 2 数学知识点第一章：空间几何体1、空间几何体的结构常见的多面体有：棱柱、棱锥、棱台；常见的旋转体有：圆柱、圆锥、圆台、球。棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱。棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，这样的多面体叫做棱台。2、空间几何体的三视图和直观图把光由一点向外散射形成的投影叫中心投影，中心投
15、影的投影线交于一点；把在一束平行光线照射下的投影叫平行投影，平行投影的投影线是平行的。3、空间几何体的表面积与体积圆柱侧面积；S侧面 2r l圆锥侧面积：S侧面r l圆台侧面积：S侧面r l Rl体积公式：V柱体 S h；V锥体1S h；3V台体1S上S上S下 S下h3球的表面积和体积：4S球 4R2，V球R3.3第二章：点、直线、平面之间的位置关系1、公理 1：如果一条直线上两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。2、公理 2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。3、公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。4、公理 4：平行于同一条直线的两条
16、直线平行.5、定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。6、线线位置关系：平行、相交、异面。7、线面位置关系：直线在平面内、直线和平面平行、直线和平面相交。8、面面位置关系：平行、相交。9、线面平行：判定：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行（简称线线平行，则线面平行）。性质：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行（简称线面平行，则线线平行）。10、面面平行：判定：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行（简称线面平行，则面面平行）。性质：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行
17、（简称面面平行，则线线平行）。11、线面垂直：定义：如果一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线，那么就说这条直线和这个平面垂直。判定：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直（简称线线垂直，则线面垂直）。性质：垂直于同一个平面的两条直线平行。12、面面垂直：定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。判定：一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面垂直（简称线面垂直，则面面垂直）。性质：两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。（简称面面垂直，则线面垂直）。第三章：直线与方程1、倾斜角与斜率：k tan2、直线方程
18、：点斜式：y y0 kx x0斜截式：y kx b两点式：y y1y2 y1x x1x2 x1y2 y1x2 x1xy截距式：1ab一般式：Ax By C 03、对于直线：l1:y k1x b1,l2:y k2x b2有：k1 k2l1/l2；b b21l1和l2相交 k1 k2；k k2l1和l2重合1；b1 b2l1 l2 k1k2 1.4、对于直线：l1:A1x B1y C1 0,l2:A2x B2y C2 0有：A1B2 A2B1l1/l2；B C B C2112l1和l2相交 A1B2 A2B1；A B A2B1l1和l2重合12；B1C2 B2C1l1 l2 A1A2 B1B20.
19、5、两点间距离公式：P1P2x2 x12y2 y126、点到直线距离公式：d Ax0 By0CA B227、两平行线间的距离公式：l1：Ax By C1 0与l2：Ax By C20平行，则d C1C2A B22第四章：圆与方程1、圆的方程：标准方程：x ay b r222其中圆心为(a,b)，半径为r.一般方程：x2 y2 Dx Ey F 0.其中圆心为(D2,E2)，半径为r 12D2 E24F.2、直线与圆的位置关系直线Ax By C 0与圆(x a)2(y b)2 r2的位置关系有三种:d r 相离 0;d r 相切 0;d r 相交 0.弦长公式：l 2 r2d2 1k2(x1 x2
20、)24x1x23、两圆位置关系：d O1O2外离：d R r；外切：d R r；相交：R r d R r；内切：d R r；内含：d R r.3、空间中两点间距离公式：P1P2x2 x12y2 y12z2 z12必修 3 数学知识点第一章：算法1、算法三种语言：自然语言、流程图、程序语言；2、流程图中的图框：起止框、输入输出框、处理框、判断框、流程线等规范表示方法；3、算法的三种基本结构：当型循环结构顺序结构、条件结构、循环结构直到型循环结构顺序结构示意图：（图 1）条件结构示意图：IF-THEN-ELSE 格式：（图 2）IF-THEN 格式：（图 3）是满足条件？语句循环结构示意图：否当型
21、（WHILE 型）循环结构示意图：（图 4）直到型（UNTIL 型）循环结构示意图：（图 5）4、基本算法语句：输入语句的一般格式：INPUT“提示内容”；变量输出语句的一般格式：PRINT“提示内容”；表达式赋值语句的一般格式：变量表达式（“=”有时也用“”）.条件语句的一般格式有两种：IFTHENELSE 语句的一般格式为：IFTHEN 语句的一般格式为：循环语句的一般格式是两种：当型循环（WHILE）语句的一般格式：直到型循环（UNTIL）语句的一般格式：算法案例：辗转相除法结果是以相除余数为 0 而得到利用辗转相除法求最大公约数的步骤如下：）：用较大的数 m 除以较小的数 n 得到一个
22、商S0和一个余数R0；）：若R00，则 n 为 m，n 的最大公约数；若R00，则用除数 n 除以余数R0得到一个商S1和一个余数R1；）：若R10，则R1为 m，n 的最大公约数；若R10，则用除数R0除以余数R1得到一个商S2和一个余数R2；依次计算直至Rn0，此时所得到的Rn 1即为所求的最大公约数。更相减损术结果是以减数与差相等而得到利用更相减损术求最大公约数的步骤如下：）：任意给出两个正数；判断它们是否都是偶数。若是，用 2 约简；若不是，执行第二步。）：以较大的数减去较小的数，接着把较小的数与所得的差比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数（等数）就是所求
23、的最大公约数。进位制十进制数化为 k 进制数除 k 取余法k 进制数化为十进制数第二章：统计1、抽样方法：简单随机抽样（总体个数较少）系统抽样（总体个数较多）分层抽样（总体中差异明显）注意：在 N 个个体的总体中抽取出 n 个个体组成样本，每个个体被抽到的机会（概率）均为n。N2、总体分布的估计：一表二图：频率分布表数据详实频率分布直方图分布直观频率分布折线图便于观察总体分布趋势注：总体分布的密度曲线与横轴围成的面积为 1。茎叶图：茎叶图适用于数据较少的情况，从中便于看出数据的分布，以及中位数、众位数等。个位数为叶，十位数为茎，右侧数据按照从小到大书写，相同的数据重复写。3、总体特征数的估计：
24、平均数：x x1 x2 x3 xn；n取值为x1,x2,xn的频率分别为p1,p2,pn，则其平均数为x1p1 x2p2 xnpn；注意：频率分布表计算平均数要取组中值。方差与标准差：一组样本数据x1,x2,xn1方差：s2n(xi1n2i x)；2i标准差：s 1n(xi1n x)注：方差与标准差越小，说明样本数据越稳定。平均数反映数据总体水平；方差与标准差反映数据的稳定水平。线性回归方程变量之间的两类关系：函数关系与相关关系；制作散点图，判断线性相关关系线性回归方程：y bxa（最小二乘法）nxiyinx yi1b n22x nxii1a y bx注意：线性回归直线经过定点(x,y)。第三
25、章：概率1、随机事件及其概率：事件：试验的每一种可能的结果，用大写英文字母表示；必然事件、不可能事件、随机事件的特点；随机事件 A 的概率：P(A)2、古典概型：基本事件：一次试验中可能出现的每一个基本结果；古典概型的特点：所有的基本事件只有有限个；每个基本事件都是等可能发生。古典概型概率计算公式：一次试验的等可能基本事件共有 n 个，事件 A包含了其中的 m 个基本事件，则事件 A 发生的概率P(A)3、几何概型：几何概型的特点：m.nm,0 P(A)1.n所有的基本事件是无限个；每个基本事件都是等可能发生。几何概型概率计算公式：P(A)d的测度；D的测度其中测度根据题目确定，一般为线段、角
26、度、面积、体积等。4、互斥事件：不可能同时发生的两个事件称为互斥事件；如果事件A1,A2,An任意两个都是互斥事件，则称事件A1,A2,An彼此互斥。如果事件 A，B 互斥，那么事件 A+B 发生的概率，等于事件 A，B 发生的概率的和，即：P(A B)P(A)P(B)如果事件A1,A2,An彼此互斥，则有：P(A1 A2 An)P(A1)P(A2)P(An)对立事件：两个互斥事件中必有一个要发生，则称这两个事件为对立事件。事件A的对立事件记作AP(A)P(A)1,P(A)1 P(A)对立事件一定是互斥事件，互斥事件未必是对立事件。必修 4 数学知识点第一章：三角函数1.1.1、任意角1、正角
27、、负角、零角、象限角的概念.2、与角终边相同的角的集合：2k,k Z.1.1.2、弧度制1、把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角.2、l.rnRR.1803、弧长公式：l nR21lR.4、扇形面积公式：S 36021.2.1、任意角的三角函数1、设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点Px,y，那么：sin y,cos x,tanyx2、设点Ax,y为角终边上任意一点，那么：（设r x2 y2）sinyxyx，cos，tan，cotyrrxcos，tan 在四个象限的符号和三角y yP PT T3、sin，函数线的画法.正弦线：MP;余弦线：OM;正切线：ATO OMMA A x
28、 x5、特殊角 0，30，45，60，90，180，270 等的三角函数值.1.2.2、同角三角函数的基本关系式1、平方关系：sin2cos21.2、商数关系：tansin.cos3、倒数关系：tancot11.3、三角函数的诱导公式（概括为“奇变偶不变，符号看象限”k Z）1、诱导公式一：sin 2k sin,cos 2k cos,（其中：k Z）tan 2k tan.2、诱导公式二：sin sin,cos cos,tan tan.3、诱导公式三：sin sin,cos cos,tan tan.4、诱导公式四：sin sin,cos cos,tan tan.5、诱导公式五：sin cos,2
29、cos sin.26、诱导公式六：sin cos,2cos sin.21.4.1、正弦、余弦函数的图象和性质1、记住正弦、余弦函数图象：y=sinxy37-52、能够对照图象讲出正弦、余弦函数的相关性质：定义域、值域、最大-12222o4x-2 -3 -25 3-4-7-3-12最小值、对称轴、对称中心、奇偶性、单调性、周期性.2223、会用五点法作图.y sin x在x0,2上的五个关键点为：3（0，0）（，1）（，0）（，-1）（，2，0）.221.4.3、正切函数的图象与性质yy=tanx-32-2o232x1、记住正切函数的图象：2、记住余切函数的图象：yy=cotx-2o2322x3
30、、能够对照图象讲出正切函数的相关性质：定义域、值域、对称中心、奇偶性、单调性、周期性.周期函数定义：对于函数fx，如果存在一个非零常数 T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有fx T fx，那么函数fx就叫做周期函数，非零常数 T 叫做这个函数的周期.图表归纳：正弦、余弦、正切函数的图像及其性质y sin xy cosxy tan x图象定义域值域最值x 2kx 2kRRx|x 2 k,k Z-1,1-1,1R2,k Z时，ymax1,k Z时，ymin 1x 2k,k Z时，ymax1x 2k,k Z时，ymin 1无2周期性奇偶性T 2T 2T 奇偶奇在2k,2k单调性上单调递增在2k,
31、2k32222在2k,2k上单调递增在2k,2k上单调递减在(k,k)22上单调递增上单调递减对称性对称轴方程：x k对称轴方程：x k2无对称轴对称中心(k2,0)对称中心(k对称中心(k,0)2,0)1.5、函数y Asinx 的图象1、对于函数：y AsinxBA 0,0有：振幅 A，周期T 位x，频率f 1T2，初相，相2.2、能够讲出函数y sin x的图象与y AsinxB的图象之间的平移伸缩变换关系.先平移后伸缩：y sin x平移|个单位y sinx（左加右减）横坐标不变y Asinx纵坐标变为原来的 A 倍纵坐标不变y Asinx横坐标变为原来的|倍1平移|B|个单位y As
32、inx B（上加下减）先伸缩后平移：y sin x横坐标不变y Asin x纵坐标变为原来的 A 倍纵坐标不变y Asinx横坐标变为原来的|倍1平移个单位y Asinx（左加右减）平移|B|个单位y Asinx B（上加下减）3、三角函数的周期，对称轴和对称中心函数y sin(x)，xR 及函数y cos(x)，xR(A,为常数，且 A0)的周期T 2；函数y tan(x)，x k,kZ(A,为常|2.|数，且 A0)的周期T 对于y Asin(x)和y Acos(x)来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系.求函数y Asin(x)图像的对称轴与对称中心，只需令x k2(k Z)与x
33、 k(k Z)解出x即可.余弦函数可与正弦函数类比可得.4、由图像确定三角函数的解析式利用图像特征：A ymax yminy ymin，B max.22要根据周期来求,要用图像的关键点来求.1.6、三角函数模型的简单应用1、要求熟悉课本例题.第三章、三角恒等变换3.1.1、两角差的余弦公式记住 15的三角函数值：12sin 6 24cos 6 24tan 2 33.1.2、两角和与差的正弦、余弦、正切公式1、sin sincos cossin2、sin sincoscossin3、cos coscossinsin4、cos coscossinsin5、tan1tantan.6、tan1tant
34、an.tantantantan3.1.3、二倍角的正弦、余弦、正切公式1、sin2 2sincos，变形：sincos1.2sin22、cos2 cos2sin2 2cos211 2sin2.变形如下：21cos2 2cos升幂公式：21cos2 2sincos21(1cos2)2降幂公式：21sin(1cos2)23、tan24、tan2tan.21tansin21cos21cos2sin23.2、简单的三角恒等变换1、注意正切化弦、平方降次.2、辅助角公式y asin x bcosx a2b2sin(x)（其中辅助角所在象限由点(a,b)的象限决定,tan第二章：平面向量2.1.1、向量的
35、物理背景与概念1、了解四种常见向量：力、位移、速度、加速度.2、既有大小又有方向的量叫做向量.b).a2.1.2、向量的几何表示1、带有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度.2、向量AB的大小，也就是向量AB的长度（或称模），记作AB；长度为零的向量叫做零向量；长度等于 1 个单位的向量叫做单位向量.3、方向相同或相反的非零向量叫做平行向量（或共线向量）.规定：零向量与任意向量平行.2.1.3、相等向量与共线向量1、长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.2.2.1、向量加法运算及其几何意义1、三角形加法法则和平行四边形加法法则.2、a ba b.2.2.2、向量减法运
36、算及其几何意义1、与a长度相等方向相反的向量叫做a的相反向量.2、三角形减法法则和平行四边形减法法则.2.2.3、向量数乘运算及其几何意义1、规定：实数与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘.记作：a，它的长度和方向规定如下：a a,当 0时,a的方向与a的方向相同；当 0时,a的方向与a的方向相反.2、平面向量共线定理：向量a a 0与b共线，当且仅当有唯一一个实数，使b a.2.3.1、平面向量基本定理1、平面向量基本定理：如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内任一向量a，有且只有一对实数1,2，使a 1e12e2.2.3.2、平面向量的正交分解及坐标表示1
37、、a xi y j x,y.2.3.3、平面向量的坐标运算1、设a x1,y1,b x2,y2，则：a b x1 x2,y1 y2，a b x1 x2,y1 y2，a x1,y1，a/b x1y2 x2y1.2、设Ax1,y1,Bx2,y2，则：AB x2 x1,y2 y1.2.3.4、平面向量共线的坐标表示1、设Ax1,y1,Bx2,y2,Cx3,y3，则ABC 的重心坐标为线段 AB 中点坐标为1、ab a b cos.x1x22y2，,y12x1x2x33,y1y32y3.2.4.1、平面向量数量积的物理背景及其含义2、a在b方向上的投影为：a cos.3、a a.224、a a.5、a
38、 b ab 0.2.4.2、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角1、设a x1,y1,b x2,y2，则：ab x1x2 y1y2a x12 y12a b ab 0 x1x2 y1y2 0a/b a b x1y2x2y102、设Ax1,y1,Bx2,y2，则：AB 2x2 x12y2 y12两向量的夹角公式aba bx1x2 y1y2.3、cosx yx2 y22121224、点的平移公式平移前的点为P(x,y)（原坐标），平移后的对应点为P(x,y)（新坐标），x xh平移向量为PP (h,k)，则y yk.函数y f(x)的图像按向量a (h,k)平移后的图像的解析式为y k f(xh).2
39、.5.1、平面几何中的向量方法2.5.2、向量在物理中的应用举例知识链接：空间向量空间向量的许多知识可由平面向量的知识类比而得.下面对空间向量在立体几何中证明，求值的应用进行总结归纳.1、直线的方向向量和平面的法向量直线的方向向量：若A、B是直线l上的任意两点，则AB为直线l的一个方向向量；与AB平行的任意非零向量也是直线l的方向向量.平面的法向量：若向量n所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，记作n，如果n，那么向量n叫做平面的法向量.平面的法向量的求法（待定系数法）：建立适当的坐标系设平面的法向量为n (x,y,z)求出平面内两个不共线向量的坐标a(a1,a2,a3),b(b1,b2
40、,b3)na 0根据法向量定义建立方程组.nb 0解方程组，取其中一组解，即得平面的法向量.（如图）2、用向量方法判定空间中的平行关系线线平行b，则要证明l1l2，只需证明ab，即设直线l1,l2的方向向量分别是a、a kb(k R).即：两直线平行或重合线面平行两直线的方向向量共线。（法一）设直线l的方向向量是a，平面的法向量是u，则要证明l，只需证明a u，即au 0.即：直线与平面平行平面外（法二）要证明一条直线和一个平面平行，也可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即可.面面平行若平面的法向量为u，平面的法向量为v，要证，只需证uv，即证u v.即：两平面平行或重合两平面
41、的法向量共线。直线的方向向量与该平面的法向量垂直且直线在3、用向量方法判定空间的垂直关系线线垂直b，则要证明l1 l2，只需证明a b，即设直线l1,l2的方向向量分别是a、ab 0.即：两直线垂直线面垂直两直线的方向向量垂直。（法一）设直线l的方向向量是a，平面的法向量是u，则要证明l，只需证明au，即a u.（法二）设直线l的方向向量是a，平面内的两个相交向量分别为am 0m、n，若,则l.an 0即：直线与平面垂直直线的方向向量与平面的法向量共线直线的方向向量与平面内两条不共线直线的方向向量都垂直。面面垂直若平面的法向量为u，平面的法向量为v，要证，只需证u v，即证uv 0.即：两平面
42、垂直两平面的法向量垂直。4、利用向量求空间角求异面直线所成的角已知a,b为两异面直线，A，C 与 B，D 分别是a,b上的任意两点，a,b所成的角为，则cosACBDAC BD.求直线和平面所成的角定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角求法：设直线l的方向向量为a，平面的法向量为u，直线与平面所成的角为，a与u的夹角为，则为的余角或的补角的余角.即有：sin cos求二面角aua u.定义：平面内的一条直线把平面分为两个部分，其中的每一部分叫做半平面；从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面二面角
43、的平面角是指在二面角l 的棱上任取一点 O，分别在两个半平面内作射线AO l,BO l，则AOB为二面角l 的平面角.ABOlB如图：n，n求法：设二面角l 的两个半平面的法向量分别为m、再设m、n的夹角或其的夹角为，二面角l 的平面角为，则二面角为m、补角.根据具体图形确定是锐角或是钝角：如果是锐角，则coscosmnm n，即arccosmnm n；如果是钝角，则cos cos mn.即arccosm nmnm n，5、利用法向量求空间距离点 Q 到直线l距离若 Q 为直线l外的一点,P在直线l上，a为直线l的方向向量，b=PQ，则点 Q 到直线l距离为h 点 A 到平面的距离若点 P 为
44、平面外一点，点 M 为平面内任一点，平面的法向量为n，则 P 到平面的距离就等于MP在法向量n方向上的投影的绝对值.即d MP cos n,MP1(|a|b|)2(ab)2|a|MP nMPn MPnMPn直线a与平面之间的距离当一条直线和一个平面平行时，直线上的各点到平面的距离相等。由此可知，直线到平面的距离可转化为求直线上任一点到平面的距离，即转化为点面距离。即d nMPn.两平行平面,之间的距离利用两平行平面间的距离处处相等，可将两平行平面间的距离转化为求点面距离。即d nMPn.异面直线间的距离设向量n与两异面直线a,b都垂直，M a,Pb,则两异面直线a,b间的距离d就是MP在向量n
45、方向上投影的绝对值。即d nMPn.6、三垂线定理及其逆定理三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么POA它也和这条斜线垂直aPO,O推理模式：PA A a PAa,a OA概括为：垂直于射影就垂直于斜线.三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直PO,O推理模式：PA A a AOa,a AP概括为：垂直于斜线就垂直于射影.7、三余弦定理设 AC 是平面内的任一条直线，AD 是的一条斜线 AB 在内的射影，且 BDAD，垂足为D.设 AB 与(AD)所成的角为1，AD 与 AC 所成的角BA12为2，A
46、B 与 AC 所成的角为则cos cos1cos2.DC8、面积射影定理已知平面内一个多边形的面积为SS原，它在平面内的射影图形的面积为SS射，平面与平面所成的二面角的大小为锐二面角，则SS射cos=.SS原9、一个结论长度为l的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为l1、l2、l3，夹角分别为1、2、3,则有l2l12l22l32cos21cos22cos231sin21sin22sin232.（立体几何中长方体对角线长的公式是其特例）.必修 5 数学知识点第一章：解三角形1、正弦定理：abc 2R.sin Asin BsinC（其中R为ABC外接圆的半径）a 2Rsin A,b 2R
47、sin B,c 2RsinC;sin A abc,sin B,sin C;2R2R2R a:b:c sin A:sin B:sin C.用途：已知三角形两角和任一边，求其它元素；已知三角形两边和其中一边的对角，求其它元素。2、余弦定理：a2 b2c22bccos A,222b a c 2accosB,c2 a2b22abcosC.b2c2a2,cos A 2bca2c2b2,cosB 2aca2b2c2.cosC 2ab用途：已知三角形两边及其夹角，求其它元素；已知三角形三边，求其它元素。做题中两个定理经常结合使用.3、三角形面积公式：SABC111absinC bcsin A acsin B
48、2224、三角形内角和定理：在ABC 中，有A BC C(A B)CA B 2C 22(A B).2225、一个常用结论：在ABC中，a b sin A sin B A B;若sin2Asin2B,则A B或A B 2.特别注意，在三角函数中，sin AsinB A B不成立。第二章：数列1、数列中an与Sn之间的关系：,(n 1)S1注意通项能否合并。anS S,(n 2).n1n2、等差数列：定义：如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，即anan1=d，（n2，nN），那么这个数列就叫做等差数列。等差中项：若三数a、A、b成等差数列 A通项公式：an a1(n1
49、)d am(nm)d或an pnq(p、q是常数）.前n项和公式：Sn na1nn1na1and 22ab2常用性质：若m n p qm,n,p,q N，则am an ap aq；下标为等差数列的项ak,akm,ak2m,，仍组成等差数列；数列anb（,b为常数）仍为等差数列；若an、bn是等差数列，则kan、kan pbn(k、p是非零常数)、，也成等差数列。apnq(p,qN*)、单调性：an的公差为d，则：）d 0 an为递增数列；）d 0 an为递减数列；）d 0 an为常数列；数列an为等差数列 an pnq（p,q 是常数）若等差数列an的前n项和Sn，则Sk、S2k Sk、S3k
50、 S2k是等差数列。3、等比数列定义：如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列。等比中项：若三数a、。反之不一G、b成等比数列 G2 ab,（ab同号）定成立。通项公式：an a1qn1 amqnm前n项和公式：Sn常用性质若m n p qm,n,p,q N，则aman apaq；ak,akm,ak2m,为等比数列，公比为qk(下标成等差数列,则对应的项成等比数列)数列an（为不等于零的常数）仍是公比为q的等比数列；正项等a11qn1qa1anq1q比数列an；则lgan是公差为lgq的等差数列；1 2若an是等比数列，则can，a，na，n