《(完整word版)全国数学联赛金牌教练高中奥数辅导：第四讲常见的初等函数、二次函数.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《(完整word版)全国数学联赛金牌教练高中奥数辅导：第四讲常见的初等函数、二次函数.pdf（7页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、1 全国高中数学联赛金牌教练员讲座兰州一中数学组第四讲常见的初等函数、二次函数知识、方法、技能常函数y=c，幂函数y=x(Q),指数函数y=ax,对数函数y=logax,三角函数（y=sinx,y=cosx,y=tanx 等），反三角函数（y=arcsinx,y=arccosx,y=arctanx等）是数学中最为基本的函数，我们把它们统称为基本初等函数.学习中应熟练掌握各基本初等函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等基本性质，并能利用这些性质快捷地比较两个数值的大小或解有关不等式.具体解题时，若绘出各基本初等函数的草图，往往能“一目了然”地获得问题的结果.绘制幂函数y=x(=,nmm、n
2、是互质的整数)草图的一般步骤是：(1)根据指数的大小判断函数图象在第一象限的情形如图I-1-4-1.(2)判断函数的奇偶性并确定函数图像在其他象限的情况 m,n 均为奇数时，y=x为奇函数，图象在一、三象限内关于原点中心对称.m 为偶数，n 为奇数时 Y=x为偶函数，图象在一、二象限内关于y 轴对称.m 为奇数，n 为偶数时，y=x既不是奇函数也不是偶函数，函数只在第一象限有图像.常见的函数往往是由基本初等函数通过有限次加减乘除运算或复合而得到的，我们称之为初等函数.其中二次函数和形如y=x+xk的分式函数在高考和竞赛中具有尤为重要的地位.同学们要熟练掌握求二次函数解析式、值域的有关方法，并会
3、用这些方精品资料-欢迎下载-欢迎下载 名师归纳-第 1 页，共 7 页 -2 法解决相关的问题；会判断二次方程根的分布情况；会利用函数y=x+xk的性质求出一些分式函数的值域.赛题精讲例 1 3 个幂函数y=4321,xyx和 y=65x的图象如图I142：试写出各个函数的图象的对应编号.【思路分析】3 个函数的定义域、值域、单调性都相同，具有类似的草图，仅从草图已无法区分这三者了.只能更为“精细”地考察和函数值的大小，不妨取x=2 试一试.【略 解】当x=2时，3 个 函 数 值 分 别 为6543212,2,2.因 为y=t2为 增 函 数，而图中所以.222,654321654321,x
4、=2 时，图象的对应点纵坐标最大，图象的对应点纵坐标最小，所以y=654321,xyxyx和对应的图象依次为，.【评述】一般地，当越大大时，幂函数图像在x1 对应的部分越“高”.此外，本题方法也可应用于辨别两个草图相近的指数函数或对函数的图象.例 2 比较下列各题中两个值的大小：（1）5353)3()2(与；（2）;)()14.3(3232与（3）5432)()(与（4）log23 与 log23.1.【思路分析】（1）中两数有相同的指数53，故可将这两者看做同一函数53xy的两个不同函数值，利用函数单调性比较两数大小.【略解】（1）因为53xy是（，0）上的减函数，又,32所以5353)3(
5、)2(.精品资料-欢迎下载-欢迎下载 名师归纳-第 2 页，共 7 页 -文档编码:CI4N5S1C7E1 HZ3G4Y4N2Z9 ZP3B10M1B8C9文档编码:CI4N5S1C7E1 HZ3G4Y4N2Z9 ZP3B10M1B8C9文档编码:CI4N5S1C7E1 HZ3G4Y4N2Z9 ZP3B10M1B8C9文档编码:CI4N5S1C7E1 HZ3G4Y4N2Z9 ZP3B10M1B8C9文档编码:CI4N5S1C7E1 HZ3G4Y4N2Z9 ZP3B10M1B8C9文档编码:CI4N5S1C7E1 HZ3G4Y4N2Z9 ZP3B10M1B8C9文档编码:CI4N5S1C7E1
6、HZ3G4Y4N2Z9 ZP3B10M1B8C9文档编码:CI4N5S1C7E1 HZ3G4Y4N2Z9 ZP3B10M1B8C9文档编码:CI4N5S1C7E1 HZ3G4Y4N2Z9 ZP3B10M1B8C9文档编码:CI4N5S1C7E1 HZ3G4Y4N2Z9 ZP3B10M1B8C9文档编码:CI4N5S1C7E1 HZ3G4Y4N2Z9 ZP3B10M1B8C9文档编码:CI4N5S1C7E1 HZ3G4Y4N2Z9 ZP3B10M1B8C9文档编码:CI4N5S1C7E1 HZ3G4Y4N2Z9 ZP3B10M1B8C9文档编码:CI4N5S1C7E1 HZ3G4Y4N2Z9 Z
7、P3B10M1B8C9文档编码:CI4N5S1C7E1 HZ3G4Y4N2Z9 ZP3B10M1B8C9文档编码:CI4N5S1C7E1 HZ3G4Y4N2Z9 ZP3B10M1B8C9文档编码:CI4N5S1C7E1 HZ3G4Y4N2Z9 ZP3B10M1B8C9文档编码:CI4N5S1C7E1 HZ3G4Y4N2Z9 ZP3B10M1B8C9文档编码:CI4N5S1C7E1 HZ3G4Y4N2Z9 ZP3B10M1B8C9文档编码:CI4N5S1C7E1 HZ3G4Y4N2Z9 ZP3B10M1B8C9文档编码:CI4N5S1C7E1 HZ3G4Y4N2Z9 ZP3B10M1B8C9文档
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9、1 HZ3G4Y4N2Z9 ZP3B10M1B8C9文档编码:CI4N5S1C7E1 HZ3G4Y4N2Z9 ZP3B10M1B8C9文档编码:CI4N5S1C7E1 HZ3G4Y4N2Z9 ZP3B10M1B8C9文档编码:CI4N5S1C7E1 HZ3G4Y4N2Z9 ZP3B10M1B8C9文档编码:CI4N5S1C7E1 HZ3G4Y4N2Z9 ZP3B10M1B8C9文档编码:CI4N5S1C7E1 HZ3G4Y4N2Z9 ZP3B10M1B8C9文档编码:CI4N5S1C7E1 HZ3G4Y4N2Z9 ZP3B10M1B8C9文档编码:CI4N5S1C7E1 HZ3G4Y4N2Z9
10、 ZP3B10M1B8C9文档编码:CI4N5S1C7E1 HZ3G4Y4N2Z9 ZP3B10M1B8C9文档编码:CI4N5S1C7E1 HZ3G4Y4N2Z9 ZP3B10M1B8C9文档编码:CI4N5S1C7E1 HZ3G4Y4N2Z9 ZP3B10M1B8C9文档编码:CI4N5S1C7E1 HZ3G4Y4N2Z9 ZP3B10M1B8C9文档编码:CI4N5S1C7E1 HZ3G4Y4N2Z9 ZP3B10M1B8C9文档编码:CI4N5S1C7E1 HZ3G4Y4N2Z9 ZP3B10M1B8C9文档编码:CI4N5S1C7E1 HZ3G4Y4N2Z9 ZP3B10M1B8C9
11、文档编码:CI4N5S1C7E1 HZ3G4Y4N2Z9 ZP3B10M1B8C9文档编码:CI4N5S1C7E1 HZ3G4Y4N2Z9 ZP3B10M1B8C9文档编码:CI4N5S1C7E1 HZ3G4Y4N2Z9 ZP3B10M1B8C9文档编码:CI4N5S1C7E1 HZ3G4Y4N2Z9 ZP3B10M1B8C9文档编码:CI4N5S1C7E1 HZ3G4Y4N2Z9 ZP3B10M1B8C93（2）因为;)()14.3(,14.3)0,(323232所以上的减函数又是xy（3）因为 y=54323232)(,5432,)(,),(所以又上的增函数是x（4）因为 y=log2x
12、是（0，+）上的增函数，又33.1，所以 log230.a1 时，上式等价于logax1,即 xa.0a1 时，上式等价于0logaxxa.所以，当a1 时，函数定义域为（a,+）；而当 0a1,则 f(x)=yy是 y 的增函数.所以 yy=1212只有惟一解y=12.即原方程有解.126x例 5 比较下列各组数的大小：（1）sin48,cos313；（2）cos96,sin96,tan69.【思路分析】比较两数大小的一种方法是将两数看成同一函数的两个函数值，然后利用函数单调性来比较；另一种方法是寻找某个中介量（如0，1）等.【略解】（1）cos313=cos(360 47)=cos47=s
13、in43sin48 所以 cos313sin48（2）因为钝角的余弦小于0，正弦大于0，所以 cos960,0sin96tan45=1 所以 cos96sin96tan69.例 6 已知 x0，比较 cos(sinx)与 sin(cosx)的大小.【略解】)sin2sin()cos(sinxx).cos(sin)sin(cos)sin2sin()sin(cos.sin2cos,2,2sin,22cossin.1cos1,2sin212,0 xxxxxxtyxxxxx即所以所以上的增函数是且又因为时当例 7 已知40,10b，比较下列三数的大小：精品资料-欢迎下载-欢迎下载 名师归纳-第 4 页
14、，共 7 页 -文档编码:CI4N5S1C7E1 HZ3G4Y4N2Z9 ZP3B10M1B8C9文档编码:CI4N5S1C7E1 HZ3G4Y4N2Z9 ZP3B10M1B8C9文档编码:CI4N5S1C7E1 HZ3G4Y4N2Z9 ZP3B10M1B8C9文档编码:CI4N5S1C7E1 HZ3G4Y4N2Z9 ZP3B10M1B8C9文档编码:CI4N5S1C7E1 HZ3G4Y4N2Z9 ZP3B10M1B8C9文档编码:CI4N5S1C7E1 HZ3G4Y4N2Z9 ZP3B10M1B8C9文档编码:CI4N5S1C7E1 HZ3G4Y4N2Z9 ZP3B10M1B8C9文档编码:
15、CI4N5S1C7E1 HZ3G4Y4N2Z9 ZP3B10M1B8C9文档编码:CI4N5S1C7E1 HZ3G4Y4N2Z9 ZP3B10M1B8C9文档编码:CI4N5S1C7E1 HZ3G4Y4N2Z9 ZP3B10M1B8C9文档编码:CI4N5S1C7E1 HZ3G4Y4N2Z9 ZP3B10M1B8C9文档编码:CI4N5S1C7E1 HZ3G4Y4N2Z9 ZP3B10M1B8C9文档编码:CI4N5S1C7E1 HZ3G4Y4N2Z9 ZP3B10M1B8C9文档编码:CI4N5S1C7E1 HZ3G4Y4N2Z9 ZP3B10M1B8C9文档编码:CI4N5S1C7E1 H
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17、3B10M1B8C9文档编码:CI4N5S1C7E1 HZ3G4Y4N2Z9 ZP3B10M1B8C9文档编码:CI4N5S1C7E1 HZ3G4Y4N2Z9 ZP3B10M1B8C9文档编码:CI4N5S1C7E1 HZ3G4Y4N2Z9 ZP3B10M1B8C9文档编码:CI4N5S1C7E1 HZ3G4Y4N2Z9 ZP3B10M1B8C9文档编码:CI4N5S1C7E1 HZ3G4Y4N2Z9 ZP3B10M1B8C9文档编码:CI4N5S1C7E1 HZ3G4Y4N2Z9 ZP3B10M1B8C9文档编码:CI4N5S1C7E1 HZ3G4Y4N2Z9 ZP3B10M1B8C9文档编
18、码:CI4N5S1C7E1 HZ3G4Y4N2Z9 ZP3B10M1B8C9文档编码:CI4N5S1C7E1 HZ3G4Y4N2Z9 ZP3B10M1B8C9文档编码:CI4N5S1C7E1 HZ3G4Y4N2Z9 ZP3B10M1B8C9文档编码:CI4N5S1C7E1 HZ3G4Y4N2Z9 ZP3B10M1B8C9文档编码:CI4N5S1C7E1 HZ3G4Y4N2Z9 ZP3B10M1B8C9文档编码:CI4N5S1C7E1 HZ3G4Y4N2Z9 ZP3B10M1B8C9文档编码:CI4N5S1C7E1 HZ3G4Y4N2Z9 ZP3B10M1B8C9文档编码:CI4N5S1C7E1
19、 HZ3G4Y4N2Z9 ZP3B10M1B8C9文档编码:CI4N5S1C7E1 HZ3G4Y4N2Z9 ZP3B10M1B8C9文档编码:CI4N5S1C7E1 HZ3G4Y4N2Z9 ZP3B10M1B8C9文档编码:CI4N5S1C7E1 HZ3G4Y4N2Z9 ZP3B10M1B8C9文档编码:CI4N5S1C7E1 HZ3G4Y4N2Z9 ZP3B10M1B8C9文档编码:CI4N5S1C7E1 HZ3G4Y4N2Z9 ZP3B10M1B8C9文档编码:CI4N5S1C7E1 HZ3G4Y4N2Z9 ZP3B10M1B8C9文档编码:CI4N5S1C7E1 HZ3G4Y4N2Z9
20、ZP3B10M1B8C9文档编码:CI4N5S1C7E1 HZ3G4Y4N2Z9 ZP3B10M1B8C9文档编码:CI4N5S1C7E1 HZ3G4Y4N2Z9 ZP3B10M1B8C9文档编码:CI4N5S1C7E1 HZ3G4Y4N2Z9 ZP3B10M1B8C9文档编码:CI4N5S1C7E1 HZ3G4Y4N2Z9 ZP3B10M1B8C95.)(cos)(sin.cossin.),0()(,0coslog.)(sin)(sin0coslogsinlog,10.1cos22sin040.)(sin,coslog)(cos,)(sincoslogcoslogcoslogcoslogsi
21、nlogcosloglogsinyzxyzttfzxbzyxbbbbbbbbbbb即又上的增函数是即又解例 8 求下列函数的最小正周期：（1）y=tanxcotx;（2）y=sin(cosx);（3）y=cos(sinx).【略解】（1）因为.222sin212coscossincossincottan22xctgxxxxxxxx所以函数y=tanxcotx 的最小正周期T=2.（2）因为 sin(cos(x+2)=sin(cosx)，所以 2是函数 y=sin(cosx)的周期.设最小正周期为T，若 0T2,则 sincos(x+T)=sin(cosx)特别地，令x=0,sin(cosT)=
22、sinl.而 另 一 方 面，0T2 ,1 cosT1,由 正 弦 函 数 的 单 调 性 和sin(cosT)sinl，与sin(cosT)=sinl 矛盾，所以假设不成立.综上，函数y=sin(cosx)的最小正周期为2.（3）因为 cos(sin(+x)=cos(sinx)=cos(sinx),所以是函数y=cos(sinx)的周期，仿（2）可证函数y=cos(sinx)的最小正周期为.【评述】（1）求函数最小正周期时，应尽量将函数化简.（2）对于由两个函数f(x)和 g(x)复合而成的函数f(g(x),如果 g(x)是周期函数，且其最小正周期为T1，那么，f(g(x)也是周期函数，且T
23、1仍是 f(g(x)的一个周期，但未必是它的最小正周期.例 9 判断下列函数的周期性，若是周期函数，试求出其最小正周期.（1）y=2sin25x+3cos6x；（2）y=sinx+cos2x.【略解】（1）y=2sin25x 和 y=3cos6x 的最小正周期分别是54,354因此和，3的最小公倍数4是 y=2sin25x+3cos6x 的周期.可以证明 4也是它的最小正周期.精品资料-欢迎下载-欢迎下载 名师归纳-第 5 页，共 7 页 -文档编码:CI4N5S1C7E1 HZ3G4Y4N2Z9 ZP3B10M1B8C9文档编码:CI4N5S1C7E1 HZ3G4Y4N2Z9 ZP3B10M
24、1B8C9文档编码:CI4N5S1C7E1 HZ3G4Y4N2Z9 ZP3B10M1B8C9文档编码:CI4N5S1C7E1 HZ3G4Y4N2Z9 ZP3B10M1B8C9文档编码:CI4N5S1C7E1 HZ3G4Y4N2Z9 ZP3B10M1B8C9文档编码:CI4N5S1C7E1 HZ3G4Y4N2Z9 ZP3B10M1B8C9文档编码:CI4N5S1C7E1 HZ3G4Y4N2Z9 ZP3B10M1B8C9文档编码:CI4N5S1C7E1 HZ3G4Y4N2Z9 ZP3B10M1B8C9文档编码:CI4N5S1C7E1 HZ3G4Y4N2Z9 ZP3B10M1B8C9文档编码:CI4
25、N5S1C7E1 HZ3G4Y4N2Z9 ZP3B10M1B8C9文档编码:CI4N5S1C7E1 HZ3G4Y4N2Z9 ZP3B10M1B8C9文档编码:CI4N5S1C7E1 HZ3G4Y4N2Z9 ZP3B10M1B8C9文档编码:CI4N5S1C7E1 HZ3G4Y4N2Z9 ZP3B10M1B8C9文档编码:CI4N5S1C7E1 HZ3G4Y4N2Z9 ZP3B10M1B8C9文档编码:CI4N5S1C7E1 HZ3G4Y4N2Z9 ZP3B10M1B8C9文档编码:CI4N5S1C7E1 HZ3G4Y4N2Z9 ZP3B10M1B8C9文档编码:CI4N5S1C7E1 HZ3G
26、4Y4N2Z9 ZP3B10M1B8C9文档编码:CI4N5S1C7E1 HZ3G4Y4N2Z9 ZP3B10M1B8C9文档编码:CI4N5S1C7E1 HZ3G4Y4N2Z9 ZP3B10M1B8C9文档编码:CI4N5S1C7E1 HZ3G4Y4N2Z9 ZP3B10M1B8C9文档编码:CI4N5S1C7E1 HZ3G4Y4N2Z9 ZP3B10M1B8C9文档编码:CI4N5S1C7E1 HZ3G4Y4N2Z9 ZP3B10M1B8C9文档编码:CI4N5S1C7E1 HZ3G4Y4N2Z9 ZP3B10M1B8C9文档编码:CI4N5S1C7E1 HZ3G4Y4N2Z9 ZP3B1
27、0M1B8C9文档编码:CI4N5S1C7E1 HZ3G4Y4N2Z9 ZP3B10M1B8C9文档编码:CI4N5S1C7E1 HZ3G4Y4N2Z9 ZP3B10M1B8C9文档编码:CI4N5S1C7E1 HZ3G4Y4N2Z9 ZP3B10M1B8C9文档编码:CI4N5S1C7E1 HZ3G4Y4N2Z9 ZP3B10M1B8C9文档编码:CI4N5S1C7E1 HZ3G4Y4N2Z9 ZP3B10M1B8C9文档编码:CI4N5S1C7E1 HZ3G4Y4N2Z9 ZP3B10M1B8C9文档编码:CI4N5S1C7E1 HZ3G4Y4N2Z9 ZP3B10M1B8C9文档编码:C
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29、3G4Y4N2Z9 ZP3B10M1B8C9文档编码:CI4N5S1C7E1 HZ3G4Y4N2Z9 ZP3B10M1B8C9文档编码:CI4N5S1C7E1 HZ3G4Y4N2Z9 ZP3B10M1B8C9文档编码:CI4N5S1C7E1 HZ3G4Y4N2Z9 ZP3B10M1B8C9文档编码:CI4N5S1C7E1 HZ3G4Y4N2Z9 ZP3B10M1B8C9文档编码:CI4N5S1C7E1 HZ3G4Y4N2Z9 ZP3B10M1B8C9文档编码:CI4N5S1C7E1 HZ3G4Y4N2Z9 ZP3B10M1B8C9文档编码:CI4N5S1C7E1 HZ3G4Y4N2Z9 ZP3
30、B10M1B8C9文档编码:CI4N5S1C7E1 HZ3G4Y4N2Z9 ZP3B10M1B8C9文档编码:CI4N5S1C7E1 HZ3G4Y4N2Z9 ZP3B10M1B8C96（2）y=sinx 和 cox2x 的周期分别为2 和，因为2不是有理数，所以2 和没有最小公倍数（此处倍数应为整数倍），可以证明y=sinx+cos2x 不是周期函数.【证明】假设T 是函数 y=sinx+cos2x 的周期.则sin(x+T)+cos2(x+T)=sin x+cos2x.sin(x+T)sinx=cos2xcos2(x+T),2sin2Tcos(x+2T)=2sinTsin(2x+T),(*)
31、令 x=0,得 2cos2Tsin2T=2sin2T.即 sin2Tcos2T=sin2T 而令 x=2,化简得sin2Tcos2T=sinTsin(T+4).令 x=2,得 sin2Tcos2T=sinTsin(T 4)由得sinTsin(T+4)sinTsin(T4)=0,即 2sinTcosTsin4=0,sin2T=0,T=Zkk,2但显然不适合，矛盾，所以假设不成立.函数 y=sinx+cos2x 不是周期函数.【评述】一般地，周期函数f(x)和 g(x)的最小正周期分别为T1和 T2，若 T1/T2，则函数 f(x)+g(x)不是周期函数，若T1/T2，则 f(x)+g(x)是周期
32、函数.针对性训练题1已知baxbxaxf,(,4sin)(3R）且 f(lglog310)=5，则 f(lglg3)的值是.2设 a、b 满足 2a2+6b2=3，证明函数f(x)=ax+b 在1，1上的满足|f(x)|2.3已知方程x2+2mx+2m23=0,有一根比 2 大，另一根比2 小，求 m 的取值范围.4关于 x 的实系数二次方程x2+ax+b=0 有两个实数根、，证明：（1）如果|2,|2，那么 2|a|4+b,且|b|4.（2）如果 2|4+b,且|b|4，那么|2,|2.5若 a0,B=(x,y)|xy|+1=|x|+|y|,AB 是平面上正八边形的顶点构成的集合，则a 的值
33、为.8函数11363)(2424xxxxxxf的最大值为.9函数),011)(2是xaxxf上的单调函数，求a 的取值范围.10关于 x 的方程(a21)x22(5a+1)x+24=0 有两个不等的负整数根，求a.精品资料-欢迎下载-欢迎下载 名师归纳-第 7 页，共 7 页 -文档编码:CI4N5S1C7E1 HZ3G4Y4N2Z9 ZP3B10M1B8C9文档编码:CI4N5S1C7E1 HZ3G4Y4N2Z9 ZP3B10M1B8C9文档编码:CI4N5S1C7E1 HZ3G4Y4N2Z9 ZP3B10M1B8C9文档编码:CI4N5S1C7E1 HZ3G4Y4N2Z9 ZP3B10M1
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