通信原理通信课后答案内容02.doc

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1、|第二章习题习题 2.1 设随机过程 X(t)可以表示成：2cos), t式中， 是一个离散随机变量，它具有如下概率分布： P( =0)=0.5， P( = /2)=0.5 试求 EX(t)和 。R0,1)解： EX(t)=P( =0)2 +P( = /2)cos2)t 2cos()cos(2)intttcos习题 2.2 设一个随机过程 X(t)可以表示成：2cos), t判断它是功率信号还是能量信号？并求出其功率谱密度或能量谱密度。解：为功率信号。 /2/1()lim()cos*cos2()TXTRtXdtdt22cos()jtjte22()1jfjtjtjfXPfdee习题 2.3 设有

2、一信号可表示为： 4exp() ,t0()t试问它是功率信号还是能量信号？并求出其功率谱密度或能量谱密度。解：它是能量信号。 X(t)的傅立叶变换为： (1)004()4jttj jtxedededj 则能量谱密度 G(f)= = 2()Xf224161jf习题 2.4 X(t)= ，它是一个随机过程，其中 和 是相互统计独立的高12cosinxtt1x2斯随机变量，数学期望均为 0，方差均为 。试求：(1)EX(t)， E ；(2) X(t) 的概率分布密度；(3) 2t 12(,)XRt解：(1)0sincos2sinco 21 xEtxttxtt 因为 相互独立，所以 。()XPf2x和

3、 211E又因为 ， ，所以 。01 221故 2sictttE(2)因为 服从高斯分布， 的线性组合，所以 也服从高斯分布，其概率21x和 21xX和是 tX分布函数 。2epzp(3) 2212112121 sincos)sincos(, txtxttxEtEtRX 2icost12习题 2.5 试判断下列函数中哪些满足功率谱密度的条件：(1) ； (2) ； (3)ffcos2af2expfa解：根据功率谱密度 P(f)的性质： P(f) ，非负性； P(-f)=P(f) ，偶函数。可以判断(1)和(3) 满足功0率谱密度的条件，(2) 不满足。习题 2.6 试求 X(t)=A 的自相关

4、函数，并根据其自相关函数求出其功率。cost|解： R(t， t+ )=EX(t)X(t+ ) =cos*()EAtt221cos)AEtR功率 P=R(0)= 习题 2.7 设 和 是两个统计独立的平稳随机过程，其自相关函数分别为tX1t2。试求其乘积 X(t)= 的自相关函数。21XR和 )(解： (t,t+ )=EX(t)X(t+ )=E R 1212)()tXt= =()12()()XR习题 2.8 设随机过程 X(t)=m(t) ，其中 m(t)是广义平稳随机过程，且其自相关函数为cos4210, kHZ0 kffPf其 它(1)试画出自相关函数 的曲线； (2)试求出 X(t)的功

5、率谱密度 和功率 P。()XR()Xf解：(1) 1, 010,x其 它其波形如图 2-1 所示。图 2-1 信号波形图(2)因为 广义平稳，所以其功率谱密度 。由图 2-8 可见， 的波形)(tXXXRPXR可视为一个余弦函数与一个三角波的乘积，因此 2Sa2Sa41 1Sa002xP,1d2 xx R或习题 2.9 设信号 x(t)的傅立叶变换为 X(f) = 。试求此信号的自相关函数 。sinf()解： x(t)的能量谱密度为 G(f)= =22if其自相关函数 21, 0() 10,jfXRed其 它习题 2.10 已知噪声 的自相关函数 ，k 为常数。tn-e2Rn(1)试求其功率谱

6、密度函数 和功率 P；(2)画出 和 的曲线。fnf2xR1 0 1|解：(1)2()()2()kj jnn kPfRededf20k(2) 和 的曲线如图 2-2 所示。()nf图 2-2习题 2.11 已知一平稳随机过程 X(t)的自相关函数是以 2 为周期的周期性函数：()1, 1R试求 X(t)的功率谱密度 并画出其曲线。()XPf解：详见例 2-12习题 2.12 已知一信号 x(t)的双边功率谱密度为 4210, kHZ10 k()XffPf其 它试求其平均功率。解： 3 4310*4241082()*X ffdfd 习题 2.13 设输入信号 ，将它加到由电阻 R 和电容 C 组

7、成的高通滤波器（见/,()0text图 2-3）上，RC 。试求其输出信号 y(t)的能量谱密度。解：高通滤波器的系统函数为 H(f)= ()2cos(), Xttt输入信号的傅里叶变换为X(f)= 1jfjf输出信号 y(t)的能量谱密度为 22()()1()()2y RGfYfXfHjfCjf习题 2.14 设有一周期信号 x(t)加于一个线性系统的输入端，得到的输出信号为 y(t)=式中， 为常数。试求该线性系统的传输函数 H(f).()/dxt解：输出信号的傅里叶变换为 Y(f)= ,所以 H(f)=Y(f)/X(f)=j*2()jfXf习题 2.15 设有一个 RC 低通滤波器如图

8、2-7 所示。当输入一个均值为 0、双边功率谱密度为 的白噪02n声时，试求输出功率谱密度和自相关函数。解：参考例 2-10习题 2.16 设有一个 LC 低通滤波器如图 2-4 所示。若输入信号是一个均值为 0、双边功率谱密度为的高斯白噪声时，试求02n(1) 输出噪声的自相关函数。(2)输出噪声的方差。解：(1)LC 低通滤波器的系统函数为 H(f)= 2214jfCfLC输出过程的功率谱密度为 00 2()()i nPHnR2k0fPn10 fC R图 2-3RC 高通滤波器L C图 2-4LC 低通滤波器|对功率谱密度做傅立叶反变换，可得自相关函数为 00()exp()4CnRL(2)

9、 输出亦是高斯过程，因此2 000()()R习题 2.17 若通过图 2-7 中的滤波器的是高斯白噪声，当输入一个均值为 0、双边功率谱密度为 的白02n噪声时，试求输出噪声的概率密度。解：高斯白噪声通过低通滤波器，输出信号仍然是高斯过程。由 2.15 题可知 E(y(t)=0 , 200()4ynRC所以输出噪声的概率密度函数 2001()exp()2y RCpxn习题 2.18 设随机过程 可表示成 ，式中 是一个离散随变量，且()t()cos()tt，试求 及 。(0)1/2/1pp、 1E(0,R解： (*cos(20)/*2/2)1;E,)cs()*coss(2/)R 习题 2.19

10、 设 是一随机过程，若 和 是彼此独立且具有均1020(sinZtXwtt1X2值为 0、方差为 的正态随机变量，试求：2（1） 、 ；()Et()t（2） 的一维分布密度函数 ；fz（3） 和 。12(,)Bt12(,)Rt解：（1） 10200102()cosincossinEZtXwttwtEXt因为 和 是彼此独立的正态随机变量， 和 是彼此互不相关，所以12 12122 2210000()iittttwtEX又 ; 10EX21()DEX1EX同理2代入可得 2()Zt（2）由 =0； 又因为 是高斯分布Et22t()Zt可得 2()DZt21()exp)zf (3) 1212121

11、2,()(,)BtRtEZttRt020002(cossincossin)XwXwt221112020ii()tttt令 12t习题 2.20 求乘积 的自相关函数。已知 与 是统计独立的平稳随机过程，()()ZtXYt()XtY且它们的自相关函数分别为 、 。 xRy|解：因 与 是统计独立，故 ()XtYEXY()()( Z XYREttttR习题 2.21 若随机过程 ，其中 是宽平稳随机过程，且自相关函数0()cos()tmwt()mt为 是服从均匀分布的随机变量，它与 彼此统计独立。()mR1,(),、 ()t（1） 证明 是宽平稳的；Zt（2） 绘出自相关函数 的波形； ()ZR（

12、3） 求功率谱密度 及功率 S 。Pw解：（1） 是宽平稳的 为常数；()t()Et0 0cos()cos()ZmEmtwt201()wtdZ1212101202(,)(cos)(cos)ZRtEtZtttt0( w只与 有关：1221()mtt21t令 0101coscs(Ewtt01010010cos()cs()cosin()siEwttwtw2 1*i*cn()Et 001ss()t1co()2w所以 只与 有关，证毕。10,cs()*(ZmRtR（2）波形略； 001()cos(),121()cos()*,2ZmwRwR、()()ZZP而 的波形为 R可以对 求两次导数，再利用付氏变换

13、的性质求出 的付氏变换。()mR()mR| 2sin(/)()1)2(1)()()m mwRPSa200 4ZwPSaSa功率 S： (0)1/2习题 2.22 已知噪声 的自相关函数 ，a 为常数： 求 和 S；nt()exp()nR()nPw解：因为 2exp()aw所以 2()n naRP(0)2aS习题 2.23 是一个平稳随机过程，它的自相关函数是周期为 2 S 的周期函数。在区间（ -1，1）上，()t该自相关函数 。试求 的功率谱密度 。1R()t()Pw解：见第 2. 4 题 2()Sa因为 所以()Tntt()*(TtRt据付氏变换的性质可得 RPwF而()(2)()Tnnt

14、tw故2 2()()()*()()*()Rn nwwPwFSaSaw 习题 2.24 将一个均值为 0，功率谱密度为为 的高斯白噪声加到一个中心角频率为 、带宽为 B0/2c的理想带通滤波器上，如图（1） 求滤波器输出噪声的自相关函数； （2） 写出输出噪声的一维概率密度函数。解：（1）20()()()oinPwHw因为 ,故020wGSa2()()BGSa又 ()()*Bcc1os()c w由 付氏变换的性质 1212()*(ftF可得|002()()()*)()2coso BccnPwHGwwRSa（2） ； ；()oEt200()()Etn2()()0oREt所以2又因为输出噪声分布为高

15、斯分布可得输出噪声分布函数为20 001()exp()2tftBn习题 2.25 设有 RC 低通滤波器，求当输入均值为 0，功率谱密度为 的白噪声时，输出过程的功率0/谱密度和自相关函数。解： 1()1jwCHjR(1) 202()()*()Oi nPwC(2) 因为2expa所以0 021()*()exp()()4o OnnwRRC习题 2.26 将均值为 0，功率谱密度为 高斯白噪声加到低通滤波器的输入端，0/（1） 求输出噪声的自相关函数； （2） 求输出噪声的方差。解： ()RHwjL(1) 220 0*()exp()()4oi ORnnPRwL(2) ；0()Ent2 0()4nR

16、RL习题 2.27 设有一个随机二进制矩形脉冲波形，它的每个脉冲的持续时为 ，脉冲幅度取 的概率相等。现bT1假设任一间隔 内波形取值与任何别的间隔内取值统计无关，且过程具有宽平稳性，试证：bT（1） 自相关函数0,()1/bTRt（2） 功率谱密度 。2()bbPwSaf解：（1）()()REt当 时， 与 无关，故 =0bTt()()R当 时，因脉冲幅度取 的概率相等，所以在 内，该波形取-1 -1、1 1、-1 12bT1、 1 -1 的概率均为 。4（A） 波形取-1-1、11 时，|在图示的一个间隔 内，bT1()()*/4REt（B ） 波形取-1 1、1 -1 时，在图示的一个间

17、隔 内，bT1()()*()4bbREtT 当 时，b1()()2*()14bbbt T 故0,()1/bTRt（2）,其中 为时域波形的2()4AwSaA面积。所以 。2()()()bbwTRpSa习题 2.28 有单个输入、两个输出的线形过滤器，若输入过程， 是平稳的，求 与 的互功()t1()t2率谱密度的表示式。 （提示：互功率谱密度与互相关函数为付利叶变换对）解：110()(tthd220()(tthd2, 1RE1 2002()()(Etthd所以|1212 12()()()()jw jwPRedhRed 令 *12 1200()()()()()jwjwjwhedededHP 习题 2.29 若 是平稳随机过程，自相关函数为 ，试求它通过系统后的自相关函数及功率谱密度。()tR解：()()()1jwThttTHe1/22cosHw()()cos)(OPPwPs*(2)(jwTjTeP 2()RR习题 2.30 若通过题 2.8 的低通滤波器的随机过程是均值为 0，功率谱密度为 的高斯白噪声，试求0/2n输出过程的一维概率密度函数。解： ;0()Ent 20 0021*()exp()2()44nnPwRCCRC又因为输出过程为高斯过程，所以其一维概率密度函数为21exp()2fx