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1、极限和连续极限和连续1.数列极限数列极限2.函数极限函数极限3.连续函数连续函数数列的极限数列的极限授课计划授课计划学时：学时：2学时（学时（1次课）次课）内容：内容：1.数列极限的定义数列极限的定义 2.数列极限的性质数列极限的性质 3.数列收敛的判定定理数列收敛的判定定理数列极限的概念数列极限的概念例例1 1：我国古代哲学著作庄子：我国古代哲学著作庄子“天天下篇下篇”中有这样一段话：中有这样一段话：“一尺之棰，一尺之棰，日取其半，万世不竭日取其半，万世不竭.”.”它描述了截取它描述了截取过程中棒长剩余量的变化情况，用数学过程中棒长剩余量的变化情况，用数学描述其过程，可得如下数列描述其过程，
2、可得如下数列数列极限的概念数列极限的概念例例2 2：我国古代数学家刘徽（公元：我国古代数学家刘徽（公元3 3世纪）世纪）利用圆内接正多边形来推算圆的面积的利用圆内接正多边形来推算圆的面积的方法方法割圆术，用数学描述其过程，割圆术，用数学描述其过程，可得如下数列可得如下数列数列极限的概念数列极限的概念数列极限的概念数列极限的概念如果当如果当n越来越大时，越来越大时，an和某个常数和某个常数A A靠靠得越来越近，就说数列得越来越近，就说数列 an 极限是极限是A A，记为记为数列极限的概念数列极限的概念但是考察下面的数列，你会发现，当但是考察下面的数列，你会发现，当n越来越大时，越来越大时，an和
3、某个常数和某个常数A A“靠得靠得不是不是越来越近越来越近”数列极限的概念数列极限的概念为什么会出现上述情况呢？原因在于为什么会出现上述情况呢？原因在于“越来越大越来越大”和和“越来越近越来越近”比较含糊，比较含糊，需要给出确切的含义需要给出确切的含义.数列极限的概念数列极限的概念定义定义：设：设an 为一数列，为一数列，A为一常数，如果对为一常数，如果对于任意给定的正数于任意给定的正数，总总存在正整数存在正整数N，使得，使得对对于于nN时时的一切的一切an，不等式，不等式|an-A|N时的一时的一切切an都与都与A A同号同号.收敛数列极限的收敛数列极限的性质性质定理（四则运算法则）定理（四
4、则运算法则）收敛数列极限的收敛数列极限的性质性质定理（保序性）设数列定理（保序性）设数列an的极限为的极限为A，数列，数列bn的极限为的极限为B，若存在，若存在NN N，当当nN时时an bn，则，则A B.数列收敛性的数列收敛性的判定准则判定准则定理（夹逼原理）设数列定理（夹逼原理）设数列an的极限和的极限和数列数列bn的极限均为的极限均为A，若存在，若存在NN N，当当nN时时an cn bn，则，则cnA.数列收敛性的数列收敛性的判定准则判定准则数列收敛性的数列收敛性的判定准则判定准则定理（单调有界原理）单调有界数列定理（单调有界原理）单调有界数列必必有有极限极限.另外的描述：单调增加（
5、减少）有上另外的描述：单调增加（减少）有上（下）界的数列必定收敛（下）界的数列必定收敛.数列收敛性的数列收敛性的判定准则判定准则定理（定理（CauchyCauchy收敛准则）略收敛准则）略练习练习课本课本P23P23例题和例题和P27P27习题习题函数的极限函数的极限授课计划授课计划学时：学时：6学时（学时（3次课）次课）内容：内容：1.函数极限的定义函数极限的定义 2.无穷小和无穷大无穷小和无穷大 3.性质和判定定理性质和判定定理 4.两个重要极限两个重要极限 5.无穷小阶的比较无穷小阶的比较函数极限的概念函数极限的概念若记若记anf(n)，易见数列是一种特殊的函，易见数列是一种特殊的函数，
6、仿照数列极限的定义，下面我们给数，仿照数列极限的定义，下面我们给出函数出函数yf(x)当当x时收敛的概念时收敛的概念函数函数f(x)当当x+时时的极限的极限定义定义1：设：设yf(x)为一函数，为一函数，A为一常数，为一常数，如果对于任意给定的正数如果对于任意给定的正数，总总存在正数存在正数X，使得，使得对对于适合于适合xX的一切的一切x，都有不，都有不等式等式|f(x)A|+时时的的极限极限.记作记作函数极限的概念函数极限的概念例题：证明例题：证明函数函数f(x)当当x 时时的极限的极限定义定义2：设：设yf(x)为一函数，为一函数，A为一常数，为一常数，如果对于任意给定的正数如果对于任意给
7、定的正数，总总存在正数存在正数X，使得，使得对对于适合于适合xX的一切的一切x都有不都有不等式等式|f(x)A|-时时的的极限极限.记作记作函数极限的概念函数极限的概念例题：证明例题：证明函数函数f(x)当当x时时的极限的极限定义定义3：设：设yf(x)为一函数，为一函数，A为一常数，为一常数，如果对于任意给定的正数如果对于任意给定的正数，总总存在正数存在正数X，使得，使得对对于适合于适合|x|X的一切的一切x 都有不都有不等式等式|f(x)A|时时的极的极限限.记作记作函数极限的概念函数极限的概念几何解释几何解释:函数极限的概念函数极限的概念可以证明可以证明水平渐近线：水平渐近线：函数极限的
8、概念函数极限的概念在很多实际问题中还需要研究当自变量在很多实际问题中还需要研究当自变量x趋于有限值趋于有限值x0时函数时函数yf(x)的极限问题。的极限问题。函数函数f(x)当当x x0时时的极限的极限定义定义4：设函数：设函数yf(x)在在x0的某去心邻域的某去心邻域内有定义，内有定义，A为一常数，如果对于任意为一常数，如果对于任意给定的正数给定的正数，总总存在正数存在正数，使得，使得对对于于适合适合0|x x0|的一切的一切x,都有不等式都有不等式|f(x)A|x0时时的极的极限限.记作记作函数极限的概念函数极限的概念几何解释几何解释:函数极限的概念函数极限的概念函数极限的概念函数极限的概
9、念定义定义5：设函数：设函数yf(x)在在x0的左侧某个邻的左侧某个邻域内有定义，域内有定义，A为一常数，如果对于任为一常数，如果对于任意给定的正数意给定的正数，总总存在正数存在正数，使得，使得对对于适合于适合x0 x x0 的一切的一切x,都有不等都有不等式式|f(x)A|x0时时的的 左左极限极限.记作记作函数极限的概念函数极限的概念定义定义6：设函数：设函数yf(x)在在x0的右侧某个邻的右侧某个邻域内有定义，域内有定义，A为一常数，如果对于任为一常数，如果对于任意给定的正数意给定的正数，总总存在正数存在正数，使得，使得对对于适合于适合x0 x x0+的一切的一切x,都有不等式都有不等式
10、|f(x)A|x0时时的的 右右极限极限.记作记作函数极限的概念函数极限的概念可以证明可以证明函数极限的概念函数极限的概念无穷小无穷小定义定义7 7：当当xx0(x)时，以零为时，以零为极限的函数极限的函数(x)称为当称为当xx0(x)时的无穷小量，简称为无穷小时的无穷小量，简称为无穷小.无穷小的等价定理无穷小的等价定理定理定理1 1：其中其中(x)是当是当xx0(x)时的无时的无穷小量穷小量.无穷小性质无穷小性质定理定理2 2：无穷小量的性质：无穷小量的性质：（1 1）有限个无穷小的代数和是无穷小）有限个无穷小的代数和是无穷小.（2 2）有限个无穷小的乘积是无穷小）有限个无穷小的乘积是无穷小
11、.（3 3）无穷小与有界函数的乘积是无穷小）无穷小与有界函数的乘积是无穷小.无穷大无穷大定义定义8：如果对于任意给定的：如果对于任意给定的M0，总总存存在在0(0(或或X0X0)，使得，使得对对于适合于适合 0|x x0|X|X)的一切的一切x,都有不都有不等式等式|f(x)|M 成立，则称函数成立，则称函数f(x)在在x x0(或或x)时时为无穷大为无穷大.记作记作无穷大无穷大注注1.无穷大不是很大的数无穷大不是很大的数,它是描述函数它是描述函数的一种状态的一种状态.注注2.函数为无穷大函数为无穷大,必定无界必定无界.反之不真反之不真!xxycos=无穷大无穷大定理定理3 3：在自变量的同一
12、变化过程中，在自变量的同一变化过程中，如果如果f(x)为无穷大，则为无穷大，则1/1/f(x)为无穷小；为无穷小；反之，如果反之，如果f(x)为无穷小，且为无穷小，且f(x)0)0，则，则1/1/f(x)为无穷大为无穷大函数极限的函数极限的性质性质定理定理4 4(唯一性唯一性):):若存在必唯一若存在必唯一.定理定理5 5(局部有界性局部有界性):):若存在则必局部有界若存在则必局部有界.定理定理6 6(局部保号性局部保号性):):函数和极限值有相同符函数和极限值有相同符号号.定理定理7 7(局部保序性局部保序性):):函数大的函数大的,极限不小极限不小.函数极限的函数极限的四则运算法则四则运
13、算法则定理定理8 8(四则运算法则四则运算法则):):夹逼原理夹逼原理定理定理9 9：如果如果 h(x)f(x)g(x),),且且h(x)和和g(x)的极限均为的极限均为A A，则，则 f(x)的极限也为的极限也为A.A.一些例题一些例题例题：例题：两个重要极限两个重要极限第一个第一个两个重要极限两个重要极限第二个第二个两个重要极限两个重要极限一些例题一些例题无穷小的比较无穷小的比较定义定义1010：设：设(x)，(x)是同一个自变量变化过是同一个自变量变化过程中的无穷小，程中的无穷小，（1 1）若）若 ，则称，则称(x)是比是比(x)高阶的无高阶的无穷小穷小，记作记作(x)o(o(x)（2
14、2）若）若 ，则称，则称(x)与与(x)是是同阶同阶无穷小无穷小（3 3）若）若 ，则称，则称(x)与与(x)是是等价无穷等价无穷小小，记作记作(x)(x)无穷小的比较无穷小的比较一些例题和常用结论一些例题和常用结论无穷小替换法无穷小替换法定理（无穷小替换法）：定理（无穷小替换法）：设设 都是同一个极都是同一个极限过程的无穷小，若限过程的无穷小，若 并且并且 存在，则存在，则无穷小替换法无穷小替换法定理使用中注意的事情定理使用中注意的事情例题例题连续函数连续函数1.1.连续函数的定义连续函数的定义2.2.连续函数的性质连续函数的性质3.3.函数的间断点函数的间断点4.4.闭区间上连续函数闭区间
15、上连续函数授课计划授课计划学时：学时：4学时（学时（2次课）次课）内容：内容：1.函数连续的定义和性质函数连续的定义和性质 2.初等函数的连续性初等函数的连续性 3.间断点间断点 4.闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质引子和增量引子和增量引子：物理现象（物体长度随温度变化，引子：物理现象（物体长度随温度变化，运动的距离随时间变化）运动的距离随时间变化）这种连续这种连续不断的变化现象如何用数学描述？不断的变化现象如何用数学描述？增量：如果变量增量：如果变量x从它的一个初值从它的一个初值x1变到变到终值终值x2，称差，称差x2 x1为为变量变量x的增量，的增量，记为记为x x2 x1 函
16、数的增量函数的增量yf(x0+x)f(x0)函数连续性的定义函数连续性的定义定义定义1：设函数：设函数yf(x)在点在点x0的某邻域内的某邻域内有定义，如果当自变量有定义，如果当自变量x的增量的增量 x x x0趋于零时，对应的函数的增量趋于零时，对应的函数的增量 yf(x0+x)f(x0)也趋于零，则称也趋于零，则称函数函数yf(x)在点在点x0连续。连续。请用数学式子表示上面的文字描述！请用数学式子表示上面的文字描述！左连续和右连续左连续和右连续左连续和右连续左连续和右连续函数在开区间函数在开区间(a,b)内内连续连续函数在闭区间函数在闭区间a,b上上连续连续几个基本初等函数的连续性几个基
17、本初等函数的连续性例题例题1：正整数幂函数正整数幂函数yxn n例题例题2：三角函数三角函数ysinx ycosx 例题例题3：指数函数指数函数yex连续函数的性质连续函数的性质性质性质1：（：（四则运算）四则运算）ytanx ycotx yx2sinx ycos2x yexsinx性质性质2：（单调：（单调反函数的连续性）反函数的连续性）y arcsinx y arctanx y lnx连续函数的性质连续函数的性质性质性质3：（：（复合函数的连续性）：复合函数的连续性）：设函数设函数u(x)满足满足 ，且函数，且函数yf(u)在在ua连续，则有连续，则有请换个数学式子表示上面的极限！请换个数
18、学式子表示上面的极限！连续函数的性质连续函数的性质结论：结论：（1）基本初等函数在他们的）基本初等函数在他们的定义域内定义域内是连续的。是连续的。（2）一切初等函数在其）一切初等函数在其定义区间内定义区间内都是连续的。都是连续的。由此可见：由此可见：求连续函数在连续点的极限求连续函数在连续点的极限等于求等于求该点的函数值。该点的函数值。函数的间断点及其分类函数的间断点及其分类定义定义2：函数：函数yf(x)的不连续点称为间的不连续点称为间断点。断点。间断点类型：第一类（左右极限都存在间断点类型：第一类（左右极限都存在的间断点）和第二类（第一类以外的间的间断点）和第二类（第一类以外的间断点）。断
19、点）。请用数学式子表述一下请用数学式子表述一下函数的间断点及其分类函数的间断点及其分类有可去间断点有可去间断点有跳跃间断点有跳跃间断点函数的间断点及其分类函数的间断点及其分类有振荡间断点有振荡间断点有无穷间断点有无穷间断点函数的间断点及其分类函数的间断点及其分类较难例题：确定较难例题：确定a和和b的值，使下列函数的值，使下列函数有无穷间断点有无穷间断点x0和可去间断点和可去间断点x1闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质定理定理1：（最大最小值定理）：（最大最小值定理）定理定理2：（有界性定理）：（有界性定理）定理定理3：（零点存在定理）（：（零点存在定理）（最常用最常用）定理定理4：（
20、介值定理）（：（介值定理）（次常用次常用）闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质例例1：证明方程：证明方程x3-4x2+10至少有一个小于至少有一个小于1的的正根。正根。例例2：证明一元三次方程至少有一个实根：证明一元三次方程至少有一个实根例例3：设：设f(x)C0,2a,且且f(0)f(2a)，证明：在，证明：在0,a上至少存在一点上至少存在一点，使，使f()f(+a)第一章作业中的问题第一章作业中的问题第一章作业中的问题第一章作业中的问题第一章作业中的问题第一章作业中的问题第一章作业中的问题第一章作业中的问题第一章作业中的问题第一章作业中的问题第一章作业中的问题第一章作业中的问题第一章作业中的问题第一章作业中的问题第一章作业中的问题第一章作业中的问题第一章作业中的问题第一章作业中的问题第一章作业中的问题第一章作业中的问题第一章作业中的问题第一章作业中的问题第一章作业中的问题第一章作业中的问题怪问题怪问题“怪事怪事”