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1、第九章单元产品的可靠性评估内内容容提提要要9-1概述9-3常用失效分布类型单元产品的可靠性评估9-2单元产品的可靠性评估一、点估计二、区间估计1根据概率论理论，只有把使用方所接受的这整个一批产品试验到全部失效后，在数学统一批产品试验到全部失效后，在数学统计的基础上才能得到这条曲线计的基础上才能得到这条曲线(失效概率分布失效概率分布)。如何来判定批量产品的可靠性指标？如何来判定批量产品的可靠性指标？我们希望能用抽样试验抽样试验的方法来评估该批产品的可靠性指标。显然这时的使用方将得不到一个合格的产品（因全部试验失效了）。即按抽样理论规定，在交检批量的产品（母体）中随机地抽一小批产品（子样）来进行寿
2、命试验。2本章将研究单元产品单元产品的可靠性评估方法。产品可分为：单元产品单元产品系统产品系统产品这就是产品的可靠性评估产品的可靠性评估问题，本章我们讲解这方面内容。以子样的每一个产品的试验结果来推断以子样的每一个产品的试验结果来推断母体产品的有关可靠性指标母体产品的有关可靠性指标。39-1概述一、单元产品的定义：二、研究单元产品可靠性评估的意义：三、进行单元产品可靠评估的前题条件和评估的一般程序4工厂单单独独生生产产和和可可以以单单独独验验收收的的零零部部件件，包括即将装入系统中的元器件，也包括可以直接单独验收的整机，分系统、系统等。一、单元产品的定义：因为单元产品的可靠性直接影响系统的可单
3、元产品的可靠性直接影响系统的可靠性靠性，为了有效地保证和提高系统的可靠性，首先应尽可能准确地评估系统实际的可靠性，则要首先解决准确估计单元产品可靠性的问题准确估计单元产品可靠性的问题。二、研究单元产品可靠性评估的意义：5三、进行单元产品可靠评估的前题条件和评估的一般程序 对于常用产品的失效分布类型可以通过查阅有关手册。1.进行评估的前题条件前题条件前题条件：失效分布类型一般可以通过产品寿命试验确定，也可求其参数。已知被研究产品的失效分布类型失效分布类型。62.评估的一般程序(见下图)子样试验数据x1x2。xn母体失效分布函数的参数或数学特征量母体的失效分布函数母体的各有关可靠性指标收集计算确定
4、计算123 以上步骤2是纯数学问题，步骤3在第一章中已有研究，本处我们主要研究步骤1，其中各失效分布函数的参数请参见第一章有关内容。73.评估的方法评估的方法(1)点估计矩法极大似然法(2)区间估计特点：简单、精度低特点：复杂、精度高89-2单元产品的可靠性评估一、点估计二、区间估计9对单元产品的可靠性评估，一般采用点估计和区间估计。对某些分布，如寿寿命命为为威威布布尔尔分分布布时，对其可靠性评估也常用图图估估法法和和数数值值法进行点估计和区间估计。法进行点估计和区间估计。9-2单元产品的可靠性评估 在点估计的各种计算方法中，我们仅介绍矩法和极大似然法。矩法和极大似然法。一、点估计101.矩法
5、矩法是以子样的各阶矩子样的各阶矩估计母体各阶矩的评估方法。例如：以子样的算术平均值作为母体分布的数学期望的估计值，而以子样方差S2作为母体方差的估计值。即有：11式中子样中第i个产品的试验数据；n子样中包含产品的数目。12把母体待估参数一切可能取值中使观测结果出现概概率率最最大大的那个参数定做母体参数的估估计值。计值。若母体待估参数的一切可能取值在范围，抽样观测结果x出现的概率 L（x），如图9-1所示：2.极大似然法：13显然参数估值 处，若已知L(x)，则可求出。图9-114 计算结果和真值的误误差差究究竟竟有有多多少少？这些误误差差究究竟竟不不超超过过多多少少可可以以用用？点点估估计计都
6、都不不能说清楚。能说清楚。从上可见：无论是用矩法还是用极大似然法，得出的母体待估参数，对于每一个不同的子样均可能是不同的。由于母体的待估参数的真值实际上只能有一个，因此可以判定用点估计得出的点估计得出的计算结果肯定不完全等于母体待估参数的真值。计算结果肯定不完全等于母体待估参数的真值。因此在工程中使用得最多工程中使用得最多的不是点估计，而是下面研究的区间估计区间估计。15二、区间估计 既然点估计不能使母体待估参数的计算值完全与真值吻合，那么我们为了使计算值尽可能有把握地接近真值，即估值 和真值 的误差不超过某一定值 的概率不小于某一值 。考虑理想边界状态，用数学式表达，即：16式中置信下限；区
7、间估计就是根据对子样的每个产品测区间估计就是根据对子样的每个产品测得的值得的值 ，求某置信度，求某置信度 的置信的置信上限上限 和置信下限和置信下限 。其中称为风险率或置信水平。置信度，也称置信概率置信上限；17 由于 和 分别都是子样 的函数。因此 和 可能是离散型随机变量。当 和 是离散型随机变量时离散型随机变量时，式（9-3）就有可能不能实现，则应将其改写为：可见式（式（9-3）是符合 和 是连续型连续型随机变量随机变量的情况。18对式（式（9-3）或式（）或式（9-4）使用的说明）使用的说明：(2)反映真值落在区间的概率，越越大大，说明该区段估计的置置信信度度（可可信信程度）越大；程度
8、）越大；(1)区间为真值所在的区间，算出的区间越小，说明对真值估计的越精，在计算方法和置信度相同的条件下，子子样样越越大大（即即n越越大大），则置信区间越小，估计精度越高，则置信区间越小，估计精度越高；19因此区间估计的关键是在子样大小合理情况下，协调地处理好置信度和精度的关系；协调地处理好置信度和精度的关系；(4)式（9-3）或（9-4）均为双边估计的公式。(3)区间估计的置信度和精确度是互相矛盾置信度和精确度是互相矛盾的两个侧面。当子样大小不变时，要求的置信度越高，置信区间越宽，估计精度越低。实际在工程中人们主要采用的是单边估计在工程中人们主要采用的是单边估计方法方法，因为大家主要关心的是
9、产品可靠性可靠性R的下的下限或失效率的上限限或失效率的上限。209-3常用失效分布类型单元产品的可靠性评估一、成败型成败型单元产品的可靠性评估二、单元产品性能性能可靠性评估三、单元产品的结构结构可靠性评估四、单元产品的平均寿命平均寿命评估(一)用完全寿命试验数据评估(二)用截（切）尾寿命试验截（切）尾寿命试验数据评估21众所周知，工程中常用的失效分布类型：成成败败型型（二项分布），寿寿命命型型（一般为指数分布），性性能能和和结结构构可可靠靠性性模模型型（正态分布）。下面介绍其单元产品的可靠性评估。9-3常用失效分布类型单元产品的可靠性评估22 有些产品只要求试验结果取两种对立状态，如成功或失效
10、，合格或不合格，好或坏等，且各次试验结果彼此独立，这样的产品称为成为成败型产品成败型产品，它用二项分布二项分布来描述。一、成败型单元产品的可靠性评估设成败型产品的可靠性为R，不可靠性为1-R，某次试验结果Xi为一随机变量，仅取0和1两个值：23 设取子样产品数量为 n，若经试验后有 S个成功。由概率论二项分布可知，n n 次试验出次试验出现现 S 次成功的概率次成功的概率 L(R)为：为：(9-5)1.产品可靠性的点估计为求L(R)的极大点，需解：(1)根据极大似然法24可得(96)因为具有相同的极值点，为便于计算，改求下式：式(9-5)可得：25(2)用矩法解（概率论常用的求数学期望和方差的
11、方法）可得：26例9-1从某批继电器中随机抽取100件，进行启闭试验，其中有2件失效,试估算这批继电器可靠度的点估计值。解：由式(9-6)可得：27因估计的是可可靠靠性性，故求得是置信下限RL，应由式(9-4)可得：2.产品可靠性的区间设计(1)单边估计式中F n次试验的失败数，即F=n-s；置信度。对二项分布，上式可表示为：28例9-2若有一批产品按GB2828规定抽100个作寿命试验，试验结束有3个失效，问该批产品=0.9的可靠度下限是多少。解：根据GAMMA=0.9，n=100,F=3，查附表2，RL=0.9344则 R 可见已知n,F,可用式（9-7）求出RL，但是这样计算RL是十分复
12、杂的，为了便于工程应用，国家制定了有关表格(见附附表表2二二项项分分布布可靠性单侧下限表可靠性单侧下限表)，用查表的方法求用查表的方法求RL。29(2)双边估计给给定定后后，可可解解式式(9-8)的的中中RL和和RU。但很麻烦，目前国家已制定了表格。可为了利用附表2，可将式(9-8)转化为以下形式：和单边估计一样利用。对二项分布，RL和RU可由以下方程组来确定：(9-8)30 根据 ,n,F在“二项分布可靠性单侧下限表上（附表单侧下限表上（附表2）查得）查得 RL。根据,n,F-1值在“二项项分分布布可靠性单侧上限表上可靠性单侧上限表上（附表（附表3）查得查得RU。(9-9)31例 9-3产品
13、n=100,F=3,当r=0.8 ，求 R L,R u。解(1)求R L查附表2得RL(2)求RU查附表3得RU32二、单元产品性能性能可靠性评估许多产品的性能参数可用正态分布函数性能参数可用正态分布函数描述描述，如性能指标、结构强度、耗损寿命性能指标、结构强度、耗损寿命等，其分布密度函数为：总体的均值和标准差。33设产品某项性能指标：随机抽取n个进行试验，测得则X 在以xi为中心的x 内的概率为：34出现的概率似然函数为：351.单元产品性能指标的点估计根据极大似然法求性能指标的。36由于而并非是的无偏估计，因此用去估计，应加修正系数C(见表9-1)，nn注：建议在n 20时用C 系数。37
14、2.单元产品性能指标的区间估计(1)大子样(一般n50)(9-14)38(9-16)查附表1。(9-15)39(2)小子样(一般n50)(9-17)40(9-18)41查附表附表4和和5。(9-19)42例9-4某型号导弹试射8发，测得落点纵向偏差为：+0.380,+0.404,+0.302,-0.203,+0.450,-0.370,+0.580,+0.602(km)。此批数据符合正态分布，求落点落点纵向偏差的均值和标准差估计值纵向偏差的均值和标准差估计值，置信度为0.8。43解：(1)点估计由式(9-12)得：n=8(50),要对要对修偏修偏。由表9-1得C=0.9650。根据式(9-13)
15、得：44(2)区间估计因为n 50，所以用式(9-17)至式(9-19)。由题意得自由度：置信度：风险率：查附表查附表4得：得：查附表查附表5得：得：45(3)计算的双侧置信限的双侧置信限由式(9-17)得：46由式(9-19)得总体标准差单侧单侧置信上限置信上限为：由式(9-18)得：(4)计算的单、双侧置信限的单、双侧置信限47三、单元产品的结构结构可靠性评估单元产品结构可靠性结构可靠性同性能可靠性一样，可用正态分布描述。可用正态分布描述。设结构强度为，结构应力为。产品结构可靠性定义：式中为强度裕度。48 KR为正态分布上侧分位数。由由KR表表7-2或附表或附表1R。1.产品结构可靠性的点
16、估计产品结构可靠性的点估计计算公式：49式(9-20)中的参数可按以下公式计算：502.产品结构可靠性的区间估计(1)产品母体未知：产品母体未知：这种情况按以下公式计算：(9-21)51折合试验数为 n,综合试验测数为nz，由式(9-22)可得：根据子样求结构可靠性置信下限时,设K为可靠性裕度统计允许限系数可靠性裕度统计允许限系数，K由下式计算。(9-25)52综合试验数nz的单侧统计允许限系数K由下式计算。(9-26)当已知GAMMA=1-和Nz,根据式(9-26)求出K附表6R(即表中p)结构结构可靠性置信下限可靠性置信下限53例9-5已知某构件强度、应力服从正态分布，已知其参数：求此构件
17、可靠性置信下限，置信度=1-=0.9。解：(1)由式(9-21)求综合子样均值和方差(2)由式(9-2223)求综合试验数和折合试验数54(3)由式(9-25)计算可靠性裕度统计允许可靠性裕度统计允许限系数限系数K：由式(9-26)计算综合试验数nz的单侧统计允许限系数K：55(4)查表确定R反查附表6并插值可得：(5)求结构可靠性置信下限(查附表1并插值)56(2)上述是上述是(1)情况情况的特例，只需将己知母体参数视为子祥容量趋于，其余处理方法同(1)。例9-6某高压气瓶进行15次爆破试验,爆破压力子样均值和标准差：该气瓶的高压气源压力标准为：求该气瓶构件可靠性置信下限，置信度=1-=0.
18、9。57解：58由式(9-25)得由式(9-26)得5960式中失效率，为常数；这样的产品称做指数分布寿命型产品。某些产品，如电子产品，做寿命试验可得到以下失效分布函数：四、单元产品的平均寿命评估单元产品的平均寿命评估可用指数分单元产品的平均寿命评估可用指数分布来描述。布来描述。(一)用完全寿命试验数据评估平均寿命。61设 取 子 样 产 品 数 量 为 n，测 得 寿 命 数 据，据概率论可求得出现的概率L()为：1.产品平均寿命的点估计（用极大似然法解）622.产品平均寿命的区间估计如果给定一个较小的百分数,C11使得是在置信度之下平均寿命的置信下限。即单元产品平均寿命的点估计值为：式中T
19、 子样产品试验的总时间；n 子样产品的个数。63式(9-30)也可写成式(9-31)形式(9-31)从式（9-29）可看出 ，即需要对n个样品全部试验到失效才能得到全部试验到失效才能得到。这显然对于长寿命长寿命电子元器件是不现实的，应进行截（切）尾寿命试验截（切）尾寿命试验。641.用截（切）尾寿命试验分类截（切）尾寿命试验分类(二)用截（切）尾寿命试验截（切）尾寿命试验数据评估逐步使部分试验样品在不同时间内停止试验。按截尾方式可分为定时定时寿命试验寿命试验定数定数寿命试验寿命试验逐步切尾逐步切尾寿命试验寿命试验按试验过程中元件是 否有替换又可分为有替换试验有替换试验无替换试验无替换试验65(
20、1)无替换定数截（切）尾寿命试验截（切）尾寿命试验(见图见图9-9-2)2)总试验时间按下式计算：图9-2无替换定数截尾寿命试验截尾寿命试验66(2)有替换定数截（切）尾寿命试验截（切）尾寿命试验(见图见图9-9-3)3)总试验时间按下式计算：图9-3有替换定数截尾寿命试验截尾寿命试验67(3)无替换定时截（切）尾寿命试验截（切）尾寿命试验(见图见图9-9-4)4)总试验时间按下式计算：图9-4无替换定时截尾寿命试验截尾寿命试验68(4)有替换定时截（切）尾寿命试验截（切）尾寿命试验(见图见图9-9-5)5)图9-5有替换定时截尾寿命试验截尾寿命试验总试验时间按下式计算：692.产品平均寿命的
21、点估计根据上述4种试验数据种试验数据,求,R和t的点估计计算公式估计计算公式为：平均寿命(9-36)失效率（9-37）预定任务时间t0内的R(t0)(9-38)预定R(t0)的可靠寿命t(R0)（9-39）70例9-7设某一批晶体管为指数分布,抽取10只进行无替换定数结尾寿命试验无替换定数结尾寿命试验,预定r=5时结束。失效时间：解：(1)计算总试验时间由式(9-32)得71(2)由式(9-36)得平均寿命(3)由式(9-37)得失效率(4)由式(9-38)得40h内可靠性72(5)由式(9-39)得R0的可靠寿命73平均寿命 的双侧置信下限为：3.产品平均寿命的区间估计（公式推导略去）(1)
22、定数截尾寿命试验平均寿命的单侧置信区间为：(941)(940)74失效率的双、单侧置信区间为：预定任务时间t0的可靠性R(t0)的双、单侧置信区间为：75预定可靠性为R0的可靠寿命的双、单侧置信区间为：76侧置信区间。解：由例9-7己知77(1)求的单、双侧置信区间78(2)求的单、双侧置信区间79(3)求R(40)的单、双侧置信区间80(4)求t(0.9)的单、双侧置信区间81 求平均寿命 的严格置信区间相当困难，可用以下近似置信区间，如图9-6所所示。(2)定时截尾寿命试验设定时截尾寿命试验在前有r个失效。以截尾试验的总时间为：图9-6定时截尾寿命试验82平均寿命平均寿命的近似双侧估计：非
23、零失效时非零失效时(9-48)平均寿命的近似单侧估计为：(9-49)83失效率失效率的近似双侧估计为：(9-50)失效率的近似单侧估计为：(9-51)84R(t0)的近似双侧估计为：(9-52)R(t0)的近似单侧估计为：(9-53)85t(R0)的近似双侧估计为：(9-54)t(R0)的近似单侧估计为：(9-55)86失效为零时失效为零时进行定时截尾寿命试验未出现失效未出现失效,即r=0。的单侧置信区间估计为：(9-56)的单侧置信区间估计为：(9-57)87R(t0)的单侧置信区间估计为：(9-58)t(R0)的单侧置信区间估计为：(9-59)88本章我们介绍了失效分布类型为二二项项分分布布、正正态态分分布布和和指指数数分分布布的单元产品在取取得得确切试验数据时的可靠性评估。确切试验数据时的可靠性评估。对于那些在现场试验中未能取得确切数据的单元产品的可靠性评估，望大家在需要时，自己去参阅有关资料。对于那些失效分布为威布尔分布，对数正态分布等的可取得确切试验数据的单元产品;89习题九答答案案1.(1)单侧置信限RL90(2)双侧置信限RL、RU91