D91二重积分概念2计算.ppt

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1、总习题817.求平面和柱面x2y21的交线上与xy平面距离最短的点解设M(xyz)为平面和柱面的交线上的一点则M到xOy平面的距离为d(x y z)|z|问题在于求函数f(x y z)|z|2z2在约束条件和x2y21下的最小值作辅助函数令解方程组得因为可能的极值点只有这一个所以这个点就是所求之点1第九章 重 积 分 一元函数一元函数积分学分学多元函数多元函数积分学分学重重积分分曲曲线积分分曲面曲面积分分第一节二重积分的概念与性质 一、引例一、引例 二、二重二、二重积分的定分的定义与可与可积性性 三、二重三、二重积分的性分的性质 四、曲四、曲顶柱体体柱体体积的的计算算 二、利用极坐二、利用极坐

2、标计算二重算二重积分分2解法解法:类似定积分解决问题的思想:一、引例一、引例1.曲曲顶柱体的体柱体的体积 给定曲顶柱体:底：底：xoy 面上的闭区域 D顶:连续曲面侧面：面：以 D 的边界为准线,母线平行于 z 轴的柱面求其体积.“大化小,常代变,近似和,求 极限”31)“大化小”用任意曲线网分D为 n 个区域以它们为底把曲顶柱体分为 n 个2)“常代变”在每个3)“近似和”则中任取一点小曲顶柱体44)“取极限”令52.2.平面薄片的质量平面薄片的质量 有一个平面薄片,在 xoy 平面上占有区域 D,计算该薄片的质量 M.度为设D 的面积为,则若非常数,仍可用其面密“大化小,常代变,近似和,求

3、 极限”解决.1)“大化小”用任意曲线网分D 为 n 个小区域相应把薄片也分为小区域.62)“常代变”中任取一点3)“近似和”4)“取极限”则第 k 小块的质量7两个问题的共性共性：(1)解决问题的步骤相同(2)所求量的结构式相同“大化小,常代变,近似和,取极限”曲顶柱体体积:平面薄片的质量:8二、二重积分的定义及可积性二、二重积分的定义及可积性定定义:将区域 D 任意分成 n 个小区域任取一点若存在一个常数 I,使可可积,在D上的二重二重积分分.积分和积分域被积函数积分表达式面积元素记作是定义在有界区域 D上的有界函数,9引例1中曲顶柱体体积:引例2中平面薄板的质量:如果 在D上可积,也常二

4、重积分记作这时分区域D,因此面积元素可用平行坐标轴的直线来划 记作10二重二重积分存在定理分存在定理:若函数定理2.(证明略)定理1.在D上可可积.限个点或有限个光滑曲线外都连续,积.在有界闭区域 D上连续,则若有界函数在有界闭区域 D 上除去有 例如例如,在D:上二重积分存在;在D 上 二重积分不存在.11三、二重积分的性质三、二重积分的性质(k 为常数)为D 的面积,则 12特别,由于则5.若在D上6.设D 的面积为,则有137.(二重积分的中值定理)证:由性质6 可知,由连续函数介值定理,至少有一点在闭区域D上 为D 的面积,则至少存在一点使使连续,因此14例1.比较下列积分的大小:其中

5、解解:积分域 D 的边界为圆周它与 x 轴交于点(1,0),而域 D 位从而于直线的上方,故在 D 上 15例2.判断积分的正负号.解解:分积分域为则原式=猜想结果为负 但不好估计.舍去此舍去此项16例3.估计下列积分之值解解:D 的面积为由于积分性质5即:1.96 I 2D178.设函数D 位于 x 轴上方的部分为D1,当区域关于 y 轴对称,函数关于变量 x 有奇偶性时,仍在 D 上在闭区域上连续,域D 关于x 轴对称,则则有类似结果.在第一象限部分,则有再如18四、曲顶柱体体积的计算设曲顶柱的底为任取平面故曲顶柱体体积为截面积为截柱体的19同样,曲顶柱的底为则其体积可按如下两次积分计算2

6、0例4.求两个底圆半径为R 的直角圆柱面所围的体积.解解:设两个直圆柱方程为利用对称性,考虑第一卦限部分,其曲顶柱体的顶为则所求体积为21aaxz y04.22Dy=0 x=0aaaaxoyD.xz y0.4.23被积函数相同,且非负,思考与思考与练习解解:由它们的积分域范围可知1.比较下列积分值的大小关系:242.设D 是第二象限的一个有界闭域,且 0 y 1,则的大小顺序为()提示:因 0 y 1,故故在D上有253.计算解解:264.证明:其中D 为解解:利用题中 x,y 位置的对称性,有又 D 的面积为 1,故结论成立.27备用题1.估计 的值,其中 D 为解解:被积函数D 的面积的最

7、大值的最小值282.判断的正负.解：解：当时，故又当时，于是29内容小内容小结1.二重积分的定义2.二重积分的性质(与定积分性质相似)3.曲顶柱体体积的计算二次积分法30作作业业 D9_1二重二重积积分概念分概念,计计算算P78 2,4(1,2,3),5(1,4)P95 1(1,2,4)31112教学计划12学时1053月29日 一 9.1二重积分概念、性质 113月31日 三 9.2二重积分计算（I）124月2日 五 9.2二重积分计算()1364月5日 一 9.3三重积分144月9日 五 9.4重积分的应用1574月12日 一 习题课 232 第九章 第二节二重积分的计算法一、利用直角坐一

8、、利用直角坐标计算二重算二重积分分 二、利用极坐二、利用极坐标计算二重算二重积分分*三、二重三、二重积分的分的换元法元法 33一、利用直角坐标计算二重积分一、利用直角坐标计算二重积分且在D上连续时,由曲顶柱体体积的计算可知,若D为 X 型区域 则若D为Y 型区域则34当被积函数均非均非负在D上变号号时,因此上面讨论的累次积分法仍然有效.由于35说明:(1)若积分区域既是X型区域又是Y 型区域,为计算方便,可选择积分序分序,必要时还可以交交换积分序分序.则有(2)若积分域较复杂,可将它分成若干X-型域或Y-型域,则 36例1.计算其中D 是直线 y1,x2,及yx 所围的闭区域.解法解法1.将D

9、看作X型区域,则解法解法2.将D看作Y型区域,则37例2.计算其中D 是抛物线所围成的闭区域.解解:为计算简便,先对 x 后对 y 积分,及直线则 38例2.计算其中D 是抛物线所围成的闭区域.解解:如果 先对 y后对x积分,及直线则 39例3.计算其中D 是直线 所围成的闭区域.解解:由被积函数可知,因此取D 为X 型域:先对 x 积分不行,说明明:有些二次积分为了积分方便,还需交换积分顺序.40例4.交换下列积分顺序解解:积分域由两部分组成:视为Y型区域,则410y x D:x+y=1,x y=1，x=0 所所围111先先对 y 积分分.y=1 xy=x 1.10.10.将二重积分化成二次

10、积分将二重积分化成二次积分将二重积分化成二次积分将二重积分化成二次积分420y xD:x+y=1,x y=1，x=0 所所围111先先对 y 积分分.先先对 x 积分分D1D2.x=1 yx=y+1（不分（不分块儿行儿行吗？）？）10.10.将二重积分化成二次积分将二重积分化成二次积分将二重积分化成二次积分将二重积分化成二次积分.43 D:由四条直由四条直线:x=3，x=5,3x 2y+4=0,3x 2y+1=0 共同共同围成的区域成的区域 oxy35583x 2y+4=03x 2y+1=0D.D1D2D3先先对y积分分先先对x积分分.（需分（需分（需分（需分块块）.（需分（需分（需分（需分块

11、块）11.11.将二重积分化成二次积分将二重积分化成二次积分将二重积分化成二次积分将二重积分化成二次积分44 D:.0y x11y=xy=x2.12.将二重积分换序将二重积分换序45D:.0y xaa.x=y13.将二重积分换序将二重积分换序分分46例5.计算其中D 由所围成.解解:令(如图所示)显然,47一一一一 先先先先对对x x积积分分分分yxoabDyxoabDyxoabD.14.(练习练习)将二重积分化成二次积分将二重积分化成二次积分48二二二二 先先先先对对 y y 积积分分分分yxoabyxoabyxoabDDD.14.(练习练习)将二重积分化成二次积分将二重积分化成二次积分.4

12、9二二.利用极坐标利用极坐标计算二重积分计算二重积分5015.15.为什么引用极坐标计算二重积分为什么引用极坐标计算二重积分为什么引用极坐标计算二重积分为什么引用极坐标计算二重积分21D0y xD1D2D3D4D:.怎么怎么计算？算？需使用需使用极坐极坐极坐极坐标标系！系！系！系！此此题用直角系算麻用直角系算麻烦必必须把把D分分块儿儿!51极坐极坐标系下的面系下的面积元素元素将将变换到到极坐极坐极坐极坐标标系系系系0D用用坐坐坐坐标线标线:=常数常数；r r r r =常数常数常数常数 分割区域分割区域 D iriri+1.16.16.利用极坐标计算二重积分利用极坐标计算二重积分利用极坐标计算

13、二重积分利用极坐标计算二重积分 i i i+iI=rir.5217.17.怎样利用极坐标计算二重积分怎样利用极坐标计算二重积分怎样利用极坐标计算二重积分怎样利用极坐标计算二重积分(1)(1)极点不在区域极点不在区域 D 的内部的内部 0ABFE DD:rr5317.17.怎样利用极坐标计算二重积分怎样利用极坐标计算二重积分怎样利用极坐标计算二重积分怎样利用极坐标计算二重积分(1)(1)0ABFE DD:.极点不在区域极点不在区域 D 的内部的内部 r标标标标5417.17.怎样利用极坐标计算二重积分怎样利用极坐标计算二重积分怎样利用极坐标计算二重积分怎样利用极坐标计算二重积分(1)(1)0AB

14、FE DD:.步步骤：1 从从D的的图形找出形找出 r,上、下限；上、下限；2 化被化被积函数函数为极坐极坐标形式；形式；3 面面积元素元素dxdy化化为rdrd.极点不在区域极点不在区域 D 的内部的内部 r55极点位于区域极点位于区域 D 的内部的内部 0 DrD:18.18.怎样利用极坐标计算二重积分怎样利用极坐标计算二重积分怎样利用极坐标计算二重积分怎样利用极坐标计算二重积分(2)(2)r56 D:D018.18.怎样利用极坐标计算二重积分怎样利用极坐标计算二重积分怎样利用极坐标计算二重积分怎样利用极坐标计算二重积分(2)(2).极点位于区域极点位于区域 D 的内部的内部 r57 D:

15、.D0 步步骤：1 从从D的的图形找出形找出 r,上、下限；上、下限；2 化被化被积函数函数为极坐极坐标形式；形式；3 面面积元素元素dxdy化化为rdrd 18.18.怎样利用极坐标计算二重积分怎样利用极坐标计算二重积分怎样利用极坐标计算二重积分怎样利用极坐标计算二重积分(2)(2)极点位于区域极点位于区域 D 的内部的内部 r58若 f 1 则可求得D 的面积思考思考:下列各图中域 D 分别与 x,y 轴相切于原点,试答答:问 的变化范围是什么?(1)(2)590y x2a.解解19.19.60此此题用直角系算麻用直角系算麻烦，需使用需使用极坐极坐极坐极坐标标系！系！系！系！21D0y x

16、D:变换到到极坐极坐极坐极坐标标系系系系.20.20.计算算D:=1和和 =2 围围成成61例6.计算其中解解:在极坐标系下原式的原函数不是初等函数,故本题无法用直角由于故坐标计算.62注:利用例6可得到一个在概率论与数理统计及工程上非常有用的反常积分公式事实上,当D 为 R2 时,利用例6的结果,得故式成立.632R区域区域边界：界：x=00y x 即即 r=2Rsin r=2Rsin 21.21.640y x12 y=xD.22.22.650y x4r=4 cos r=8 cos 8D 1 223.23.计算算y=2xx=y660y xr=8 cos D48.r=4 cos 2 123.2

17、3.计算算I=67例7.求球体被圆柱面所截得的(含在柱面内的)立体的体积.解解:设由对称性可知68P96,12.化下列二次积分为极坐标形式的二次积分解积分区域D如图所示并且69P96,12.化下列二次积分为极坐标形式的二次积分解积分区域D如图所示并且70内容小内容小结(1)二重积分化为累次积分的方法直角坐直角坐标系情形系情形:若积分区域为则 若积分区域为则71则(2)一般换元公式且则极坐标系情形:若积分区域为在变换下72(3)计算步骤及注意事项 画出积分域 选择坐标系 确定积分序 写出积分限 计算要简便域边界应尽量多为坐标线被积函数关于坐标变量易分离积分域分块要少累次积好算为妙图示法不等式(先积一条线,后扫积分域)充分利用对称性应用换元公式73思考与思考与练习1.设且求提示提示:交换积分顺序后,x,y互换74解：解：原式备用题1.给定改变积分的次序.752.计算其中D 为由圆所围成的及直线解：解：平面闭区域.767778作业P95 二重积分计算 直角坐标1(2,4);2(3,4);5;6(2,4);15(1,4);P96 二重积分计算 极坐标11(2,4);12(1,3);13(3,4);14(2,3);79