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1、第九节闭区间上连续函数的性质一、最大值和最小值定理二、介值定理三、一致连续性定理四、小结思考题一、最大值和最小值定理一、最大值和最小值定理定义定义:例如例如,定定理理1(1(最最大大值值和和最最小小值值定定理理)在在闭闭区区间间上上连连续续的函数一定有最大值和最小值的函数一定有最大值和最小值.注意注意:1.若区间是开区间若区间是开区间,定理不一定成立定理不一定成立;2.若区间内有间断点若区间内有间断点,定理不一定成立定理不一定成立.你能举到反例吗？你能举到反例吗？定定理理2(2(有有界界性性定定理理)在在闭闭区区间间上上连连续续的的函函数数一一定定在该区间上有界在该区间上有界.证证f(x)在开
2、区间连续f(x)有间断点二、介值定理二、介值定理定义定义:几何解释几何解释:几何解释几何解释:MBCAmab证证由零点定理由零点定理,推论推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大在闭区间上连续的函数必取得介于最大值值 与最小值与最小值 之间的任何值之间的任何值.例例2 2证证因此方程在因此方程在(-3,0),(0,1),(1,2)内至少各有一根内至少各有一根又因为三次方程至多只有三个根，因此这三个又因为三次方程至多只有三个根，因此这三个根都是实根，并且都在根都是实根，并且都在(-3,2)内内例例.证明方程ln(1+ex)=2x至少有一个小于1的正根.证证 记 f(x)=ln(1+ex)2x,知
3、 f(x)在0,1上连续.且f(0)=ln20,f(1)=ln(1+e)2=ln(1+e)lne2 0由定理1,至少存在一点x0(0,1),使得故方程ln(1+ex)=2x至少有一个小于1的正根.例例4 4证证由零点定理由零点定理,三、一致连续性定理三、一致连续性定理定义定义注注：f(x)在在I上一致连续在上一致连续在I上连续；上连续；但反之不一定成立。但反之不一定成立。定理（一致连续性定理）定理（一致连续性定理）闭区间上的连续函闭区间上的连续函数一定一致连续数一定一致连续例证明例证明 f(x)=1/x 在在(0,1内连续，但不是一致连续内连续，但不是一致连续证证f(x)在在(0,1内有定义，
4、由初等函数的连续性知内有定义，由初等函数的连续性知f(x)在在(0,1内连续下证内连续下证f(x)在在(0,1内不一致连续：内不一致连续：四、小结思考题四、小结思考题五个定理五个定理有界性定理有界性定理;最值定理最值定理;介值定理介值定理;根的存在性定理；根的存在性定理；一致连续性定理一致连续性定理注意注意1闭区间；闭区间；2连续函数连续函数这两点不满足上述定理不一定成立这两点不满足上述定理不一定成立解题思路解题思路1.1.直接法直接法:先利用最值定理先利用最值定理,再利用介值定理再利用介值定理;2.2.辅助函数法辅助函数法:先作辅助函数先作辅助函数F(x),再利用零点定理再利用零点定理;思考题思考题下述命题是否正确？下述命题是否正确？思考题解答思考题解答不正确不正确.例函数例函数练练 习习 题题