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1、排列、组合、二项式定理排列、组合、二项式定理知识结构网络图：知识结构网络图：排列与组合排列与组合二项式定理二项式定理基本原理基本原理排列排列组合组合排列数公式排列数公式组合数公式组合数公式组合数的两个性质组合数的两个性质二项式定理二项式定理二项式系数的性质二项式系数的性质基础练习基础练习 名称内容加法原理加法原理乘法原理乘法原理定定义义相同点相同点不同点不同点两个原理的区别与联系：两个原理的区别与联系：做一件事或完成一项工作的方法数做一件事或完成一项工作的方法数直接（直接（分类分类）完成）完成间接（间接（分步骤分步骤）完成）完成做一件事，完成它可以有做一件事，完成它可以有n类办法，类办法，第一
2、类办法中有第一类办法中有m1种不同的方法，种不同的方法，第二类办法中有第二类办法中有m2种不同的方法种不同的方法，第第n类办法中有类办法中有mn种不同的方法，种不同的方法，那么完成这件事共有那么完成这件事共有 N=m1+m2+m3+mn 种不同的方法种不同的方法做一件事，完成它可以有做一件事，完成它可以有n个步骤，个步骤，做第一步中有做第一步中有m1种不同的方法，种不同的方法，做第二步中有做第二步中有m2种不同的方法种不同的方法，做第做第n步中有步中有mn种不同的方法，种不同的方法，那么完成这件事共有那么完成这件事共有 N=m1m2m3mn 种不同的方法种不同的方法.两个基本原理补充两个基本原
3、理补充抽屉原理抽屉原理 2 2、把把n n个个不不同同物物体体放放入入m m个个抽抽屉屉里里的的放放入入方方法法有有m mn n种种例、例、集合集合A=1,2,-3,B=-1,-2,3,4,A=1,2,-3,B=-1,-2,3,4,从从A A、B B中各取一个元中各取一个元素作为点素作为点P(x,y)P(x,y)的坐标，的坐标，可以得到多少个不同的点？可以得到多少个不同的点？这些点中，位于第一象限的有几个？这些点中，位于第一象限的有几个？34+43=2422+22=83333=811 1、把把n n个个不不同同物物体体放放入入m(mn)m(mn)个个抽抽屉屉里里,至至少少有有一一个抽屉里要放两
4、物体个抽屉里要放两物体1.1.排列和组合的区别和联系：排列和组合的区别和联系：名名称称排排列列组组合合一个一个数数符号符号种数种数公式公式关系关系性质性质 ，从从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个元个元素，素，按一定的顺序按一定的顺序排成一列排成一列从从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个元个元素，素，把它并成把它并成一组一组所有排列的的个数所有排列的的个数所有组合的个数所有组合的个数全排列全排列：n个不同元素全部取出的一个排列个不同元素全部取出的一个排列.全排列数公式全排列数公式：所：所有全排列的个数，即：有全排列的个数，即：这个公式表示的定理叫做二项式定理，公式这个公式表示的定理叫做
5、二项式定理，公式右边的多项式叫做右边的多项式叫做(a+b)n的的 ，其中其中 （r=0,1,2,n）叫做）叫做 ，叫做二项展开式的叫做二项展开式的通项通项，用，用 Tr+1 表示，该项是指展开式的第表示，该项是指展开式的第 项，展开式共有项，展开式共有_个项个项.展开式展开式二项式系数二项式系数r+1n+1二项式定理二项式定理（1）二项式系数的三个性质二项式系数的三个性质:（2）数学思想：数学思想：函数思想。函数思想。二项式系数之和:最最 值值:（3）数学方法数学方法 ：赋值法赋值法、递推法、递推法当当 时，二项式系数是逐渐增大的，时，二项式系数是逐渐增大的，由对称性知由对称性知,它的后半部是
6、逐渐减小的。它的后半部是逐渐减小的。当当n是是偶数偶数时，时，中间的一项中间的一项 取得取得最大最大时时 ；当当n是是奇数奇数时，时，中间的两项中间的两项 ，相等，相等，且且同时同时取得取得最大最大值。值。增减性增减性:n2 (由赋值法求得由赋值法求得)二项式系数性质二项式系数性质1.1.书架上层放有书架上层放有6 6本不同的数学书，下层放有本不同的数学书，下层放有5 5本不同的语文书，本不同的语文书，从中任取一本，有多少中不同的取法？从中任取一本，有多少中不同的取法？从中任取数学书与语文书各取一本，有多少种不同的取法？从中任取数学书与语文书各取一本，有多少种不同的取法？基础练习基础练习6+5
7、=1165=302.2.某段铁路上有某段铁路上有1212个车站，共需准备多少种普通客票？个车站，共需准备多少种普通客票？3.3.某段铁路上有某段铁路上有1212个车站，问有多少种不同的票价？个车站，问有多少种不同的票价？4.4.用用3 3，5 5，7 7，9 9四个数字，一共可组成多少个没有重复四个数字，一共可组成多少个没有重复数字的正整数数字的正整数5、已知圆上有、已知圆上有12个不同的点，过每两个点作一条直线，个不同的点，过每两个点作一条直线，那么所有这些直线在已知圆内的交点个数为（那么所有这些直线在已知圆内的交点个数为（）B基础练习基础练习6.15 人按照下列要求分配，求不同的分法种数。
8、人按照下列要求分配，求不同的分法种数。(1)分为三组，每组分为三组，每组5人人,共有共有_ 种不同的分法。种不同的分法。（2）分为甲、乙、丙三组，一组）分为甲、乙、丙三组，一组7人，另两组各人，另两组各4人，共有人，共有_种不同的分法。种不同的分法。（3）分为甲、乙、丙三组，一组）分为甲、乙、丙三组，一组6人，一组人，一组5人，一组人，一组4人，人，共有共有_种不同的分法。种不同的分法。7.8名同学选出名同学选出4名站成一排照相，其中甲、乙两人都名站成一排照相，其中甲、乙两人都不站中间两位的排法有不站中间两位的排法有_种。种。8.某班有某班有27名男生名男生13女生，要各选女生，要各选3人组成
9、班委会和团支人组成班委会和团支部每队部每队3人，人，3人中人中2男男1女，共有女，共有_ 种不同的选法。种不同的选法。基础练习基础练习 8.4名优等生被保送到名优等生被保送到3所学校，每所学校，每所学校至少所学校至少得得1名，则不同的保送方案总数为（名，则不同的保送方案总数为（）。）。（A)36(B)24(C)12(D)69.若把英语单词若把英语单词“error”中字母的拼写顺序写错了，则可能中字母的拼写顺序写错了，则可能出现的错误的种数是（出现的错误的种数是（）（A)20(B)19(C)10(D)6910.小于小于50000且含有两个且含有两个5，而其它数字不重复的五位数，而其它数字不重复的
10、五位数有（有（）个。）个。（A)(B)(C)(D)ABB基础练习基础练习例例1：1993年全国高考题：同室年全国高考题：同室4人各写人各写1张贺年卡，先集张贺年卡，先集中起来，然后每人从中各拿中起来，然后每人从中各拿1张别人送出的贺年卡，则张别人送出的贺年卡，则4张张贺年卡不同的分配方式有（贺年卡不同的分配方式有（）A6种种B9种种C11种种D23种种解法解法1：设四人设四人A，B，C，D写的贺年卡分别是写的贺年卡分别是a，b，c，d，当，当A拿贺年卡拿贺年卡b，则，则B可拿可拿a，c，d中的任何一个，即中的任何一个，即B拿拿a，C拿拿d，D拿拿c或或B拿拿c，D拿拿a，C拿拿d或或B拿拿d，
11、C拿拿a，D拿拿c，所以，所以A拿拿b时有三种不同分配方法同理，时有三种不同分配方法同理，A拿拿c，d时也各有三种不同的分配方式由分类计数原理，四张贺时也各有三种不同的分配方式由分类计数原理，四张贺年卡共有年卡共有333=9种分配方式种分配方式解法解法2：让四人让四人A，B，C，D依次拿一张别人送出的贺年卡依次拿一张别人送出的贺年卡如果如果A先拿有先拿有3种，此时写被种，此时写被A拿走的那张贺年卡的人也拿走的那张贺年卡的人也有有3种不同的取法接下来，剩下的两个人都各只有一种种不同的取法接下来，剩下的两个人都各只有一种取法由分步计数原理，四张贺年卡不同的分配方式有取法由分步计数原理，四张贺年卡不
12、同的分配方式有3311=9种种 应选应选B例例2.7名名师师生生站站成成一一排排照照相相留留念念，其其中中老老师师1人人，男男生生4人人，女女生生2人人，在在下下列列情情况况下下，各各自自不不同同站站法法多多少种？少种？(1).两名女生必须相邻而站两名女生必须相邻而站.(2).4名男生互不相邻名男生互不相邻.(3).老师不站中间，女生不站两端老师不站中间，女生不站两端.(4).女生甲不站左端，女生乙不站右端女生甲不站左端，女生乙不站右端.A66A22=1440(捆绑捆绑法法)A33A44=144（插空法）（插空法）（3）A77A A5 55 5 A22 A66+A44=4104（间接法）（间接
13、法）（4）A77A66 A66+A55=3720（间接法）（间接法）例例4某艺术组有某艺术组有9人，每人至少会钢琴和小号中的一种乐器，人，每人至少会钢琴和小号中的一种乐器，其中其中7人会钢琴，人会钢琴，3人会小号，从中选出会钢琴与会小号的各人会小号，从中选出会钢琴与会小号的各1人，有多少种不同的选法？人，有多少种不同的选法？解：解：由题意可知，在艺术组由题意可知，在艺术组9人中，有且仅有一人既会钢琴又会小号人中，有且仅有一人既会钢琴又会小号（把该人称为（把该人称为“多面手多面手”），只会钢琴的有），只会钢琴的有6人，只会小号的有人，只会小号的有2人，把人，把会钢琴、小号各会钢琴、小号各1人的选
14、法分为两类：人的选法分为两类：第一类：第一类：多面手入选，另一人只需从其他多面手入选，另一人只需从其他8人中任选一个，故这类选法人中任选一个，故这类选法共有共有8种种 第二类：第二类：多面手不入选，则会钢琴者只能从多面手不入选，则会钢琴者只能从6个只会钢琴的人中选出，个只会钢琴的人中选出，会小号的会小号的1人也只能从只会小号的人也只能从只会小号的 2人中选出，放这类选法共有人中选出，放这类选法共有6212种，因此有种，因此有8+62=20种种 故共有故共有20种不同的选法种不同的选法注意：像本题中的注意：像本题中的“多面手多面手”可称为特殊可称为特殊“对象对象”，本题解法中按特，本题解法中按特
15、殊殊“对象对象”进行进行“两分法分类两分法分类”是常用的方法是常用的方法解：解：设设展开式各项系数和为展开式各项系数和为1注意：求展开式中各项系数和常用赋值法：注意：求展开式中各项系数和常用赋值法：令二项式中的字母为令二项式中的字母为1 1上式是恒等式，所以当且仅当上式是恒等式，所以当且仅当x=1x=1时，时，(2-1)(2-1)n n=（2-12-1）n n=1例例5.5.的展开式的各项系数和为的展开式的各项系数和为_例题讲解例题讲解解解:设设 项是系数最大的项项是系数最大的项,则则二项式系数最大的项为第11项,即所以它们的比是例题讲解例题讲解分析分析:本题的左边是一个数列但不能直接求和本题
16、的左边是一个数列但不能直接求和.因为因为 由此分析求解由此分析求解两式相加两式相加例题讲解例题讲解巩固练习巩固练习一选择题一选择题1(041(04福建福建)已知已知 展开式的常数项是展开式的常数项是1120,1120,其中实数其中实数 是常数是常数,则展开式中各项系数的和则展开式中各项系数的和 是是()()C2 2 若若 展开式中含展开式中含 项的系数与含项的系数与含 项的项的 系数之比为系数之比为-5,-5,则则n n等于等于()()A 4 B 6 C 8 D 10A 4 B 6 C 8 D 10B 3 3 被被4 4除所得的系数为（除所得的系数为（）A0 B1 C2 D3A展开式中展开式中 的系数是的系数是_2 2 被被2222除所得的余数为除所得的余数为 。135353 3 已知已知 展开式中的展开式中的 系数是系数是5656，则实数则实数 的值是的值是_ 或或二填空题二填空题4.4.设设 二项式展开式的各项系数的和为二项式展开式的各项系数的和为P P；二项式系数的和为二项式系数的和为S S，且，且P+S=272P+S=272，则展开式，则展开式 的常数项为的常数项为_108