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1、1.6 .的概率密度的概率密度.及其概率密度的定义及其概率密度的定义概率密度的性质概率密度的性质三种重要的三种重要的.小结小结 所有可能取值充满一个区间所有可能取值充满一个区间,对这种对这种类型的随机变量类型的随机变量,不能象不能象.那样那样,以指定它以指定它取每个值概率的方式取每个值概率的方式,去给出其概率分布去给出其概率分布,而是通过给出而是通过给出“概率密度函数概率密度函数”(probability density function,.)的方式的方式.下面我们就来介绍对下面我们就来介绍对.的描述方法的描述方法.则称则称 X为为,称称 f(x)为为 X 的，简称为的，简称为概率密度概率密度
2、.一、一、.及其及其.的定义的定义有有,使得对任意实数使得对任意实数 ,对于随机变量对于随机变量 X,如果存在非负可积函数如果存在非负可积函数 f(x),c.r.v的分布函数在的分布函数在R上连续上连续概率密度的性质概率密度的性质:1 o2 o f(x)xo面积为面积为1这两条性质是判定一个这两条性质是判定一个函数函数 f(x)是否为某是否为某r.v X 的的概率密度的充要条件概率密度的充要条件利用概率密度可确利用概率密度可确定随机点落在某个定随机点落在某个范围内的概率范围内的概率对于任意实数对于任意实数 x1,x2,(x1 0)都是常数都是常数,则称则称X服从参数为服从参数为 和和 的的正态
3、分布正态分布或或高斯分布高斯分布.请记住请记住函数函数f(x)的图形呈钟形，的图形呈钟形，越小，曲线越陡峭，越小，曲线越陡峭，以直线以直线x=为对称轴，为对称轴，在在x=取得最大值取得最大值处有拐点，处有拐点，y=0 是是f(x)的水平渐近线。的水平渐近线。不难验证，令不难验证，令泊松积分：泊松积分：决定了图形的中心位置，决定了图形的中心位置，决定了图形中峰决定了图形中峰的陡峭程度的陡峭程度.正态分布正态分布 的图形特点的图形特点 正态分布最早是由正态分布最早是由Gauss在测量误差时得到的，也称为在测量误差时得到的，也称为Gauss分布。后续内容将表明，正态分布在概率统计中有特殊分布。后续内
4、容将表明，正态分布在概率统计中有特殊的重要地位。的重要地位。设设 X ,X 的分布函数的分布函数是是正态分布正态分布 的分布函数的分布函数 正态分布由它的两个参数正态分布由它的两个参数和和唯一确定，唯一确定，当当和和不同时，是不同的正态分布。不同时，是不同的正态分布。标准正态分布标准正态分布下面我们介绍一种最重要的正态分布下面我们介绍一种最重要的正态分布的正态分布称为的正态分布称为标准正态分布标准正态分布.其密度函数和分布函数常用其密度函数和分布函数常用 和和 表示：表示：标准正态分布标准正态分布请记住请记住的性质的性质:事实上事实上 ,标准正态分布的重要性标准正态分布的重要性在于，任何一个一
5、般的正在于，任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布.定理：定理：证：证：Z 的分布函数为的分布函数为则有则有定理：定理：根据此定理根据此定理,只要将标准正态分布的分布函数只要将标准正态分布的分布函数制成表，就可以解决一般正态分布的概率计算问题制成表，就可以解决一般正态分布的概率计算问题.于是于是标准正态标准正态 书末附有标准正态分布函数数值表，有了它，可书末附有标准正态分布函数数值表，有了它，可以解决一般正态分布的概率计算查表以解决一般正态分布的概率计算查表.正态分布表正态分布表当当 x 0 时时,(x)的值的值.若若若若 XN(0
6、,1),N(0,1)则则 设设 X N(10,4),求求 P(10X13),P(|X 10|2).解解:P(10X13)=0.9332 P(|X 10|2)=2(1)1例例6：=(1.5)(0)在参加统考的人中，及格者在参加统考的人中，及格者100人（及格分数为人（及格分数为60），计算），计算（1）不及格人数；）不及格人数；（2）成绩前）成绩前10名的人数在考生中所占的比例；名的人数在考生中所占的比例；（3）估计第）估计第10名考生的成绩。名考生的成绩。这表明及格人数占统考人数的比例为这表明及格人数占统考人数的比例为84.13%，即，即解解P(X h或或 P(X h，下面我们来求满足上式的最
7、小的下面我们来求满足上式的最小的h.再看一个应用正态分布的例子再看一个应用正态分布的例子:例：例：公共汽车车门的高度是按男子与车门顶公共汽车车门的高度是按男子与车门顶头碰头机会在头碰头机会在 0.01 以下来设计的以下来设计的.假设男子身高假设男子身高XN(170,62),),问车门高度应如何确定问车门高度应如何确定?设车门高度为设车门高度为h cm,按设计要求按设计要求因为因为 XN(170,62),),故故 P(X0.99因而因而 =2.33,即即 h=170+13.98 184设计车门高度为设计车门高度为184厘米时，可使厘米时，可使男子与车门碰头男子与车门碰头机会不超过机会不超过.P(
8、X h)0.99求满足求满足的最小的的最小的 h.所以所以 .由标准正态分布的查表计算可以求得，由标准正态分布的查表计算可以求得，这说明，这说明，X的取值几乎全部集中在的取值几乎全部集中在-3,3 区间区间内，超出这个范围的可能性仅占不到内，超出这个范围的可能性仅占不到0.3%.当当XN(0,1)(0,1)时，时，P(|X|1)=2 (1)-)-1=0.6826 P(|X|2)=2 (2)-)-1=0.9544P(|X|3)=2 (3)-)-1=0.9974 3 3 准则准则将上述结论推广到一般的正态分布将上述结论推广到一般的正态分布,可以认为，可以认为，Y 的取值几乎全部集中在的取值几乎全部集中在区间内区间内.这在统计学上称作这在统计学上称作“3 3 准则准则”.”.N(0,1)时，时，4.分布分布