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1、第二章第二章 矩阵矩阵中南财经政法大学信息系中南财经政法大学信息系中南财经政法大学信息学院信息系 11/30/20211则矩阵则矩阵 称为称为 的的可逆矩阵或逆矩阵可逆矩阵或逆矩阵.一、概念的引入一、概念的引入在数的运算中，在数的运算中，当数当数 时，时，有有其中其中 为为 的倒数，的倒数，（或称（或称 的逆）；的逆）；在矩阵的运算中，在矩阵的运算中，单位阵单位阵 相当于数的乘法运算中相当于数的乘法运算中 的的1，那么，对于矩阵那么，对于矩阵 ，如果存在一个矩阵如果存在一个矩阵 ,使得使得中南财经政法大学信息学院信息系 11/30/20212二、逆矩阵的概念和性质二、逆矩阵的概念和性质 定义定
2、义 对于对于 阶矩阵阶矩阵 ，如果有一个，如果有一个 阶矩阵阶矩阵 则说矩阵则说矩阵 是是可逆可逆的，并把矩阵的，并把矩阵 称为称为 的的逆矩阵逆矩阵.,使得使得例例1 设设中南财经政法大学信息学院信息系 11/30/20213说明说明 若若 是可逆矩阵，则是可逆矩阵，则 的逆矩阵是唯一的的逆矩阵是唯一的.若设若设 和和 是是 的可逆矩阵，的可逆矩阵，则有则有可得可得所以所以 的逆矩阵是唯一的的逆矩阵是唯一的,即即中南财经政法大学信息学院信息系 11/30/20214例例2 2 设设解解设设 是是 的逆矩阵的逆矩阵,则则利用待定系数法利用待定系数法中南财经政法大学信息学院信息系 11/30/2
3、0215又因为又因为所以所以中南财经政法大学信息学院信息系 11/30/20216定义定义行列式行列式 的各个元素的代数余子式的各个元素的代数余子式 所所构成的如下矩阵构成的如下矩阵性质性质称为矩阵称为矩阵 的的伴随矩阵伴随矩阵.中南财经政法大学信息学院信息系 11/30/20217证明过程中用到了行列式按行列展开公式证明过程中用到了行列式按行列展开公式.中南财经政法大学信息学院信息系 11/30/20218类似有中南财经政法大学信息学院信息系 11/30/20219定理定理4.1 矩阵矩阵A为可逆矩阵的充分必要条件是为可逆矩阵的充分必要条件是 并且当并且当A可逆时，有可逆时，有证明证明 必要
4、性必要性A可逆，即有可逆，即有A-1，使，使AA-1=E.所以所以充分性充分性 设设记记同理可得同理可得BA=E.所以所以A可逆，并且可逆，并且中南财经政法大学信息学院信息系 11/30/202110 证明证明 由此可知由此可知,定义中定义中AB=BA=E可简化为可简化为AB=E（或（或BA=E）.证明或求解逆阵问题时常常用证明或求解逆阵问题时常常用到此式！到此式！中南财经政法大学信息学院信息系 11/30/202111奇异矩阵与非奇异矩阵的定义奇异矩阵与非奇异矩阵的定义中南财经政法大学信息学院信息系 11/30/202112求逆矩阵方法求逆矩阵方法：中南财经政法大学信息学院信息系 11/30
5、/202113例例4 4 求方阵求方阵 的逆矩阵的逆矩阵.解解中南财经政法大学信息学院信息系 11/30/202114同理可得同理可得故故中南财经政法大学信息学院信息系 11/30/202115解解例例5 5中南财经政法大学信息学院信息系 11/30/202116中南财经政法大学信息学院信息系 11/30/202117中南财经政法大学信息学院信息系 11/30/202118逆矩阵的运算性质逆矩阵的运算性质中南财经政法大学信息学院信息系 11/30/202119证明证明中南财经政法大学信息学院信息系 11/30/202120证明证明中南财经政法大学信息学院信息系 11/30/202121例例6
6、6中南财经政法大学信息学院信息系 11/30/202122中南财经政法大学信息学院信息系 11/30/202123练习中南财经政法大学信息学院信息系 11/30/202124例例7 7中南财经政法大学信息学院信息系 11/30/202125解解给方程两端左乘矩阵给方程两端左乘矩阵中南财经政法大学信息学院信息系 11/30/202126给方程两端右乘矩阵给方程两端右乘矩阵得得中南财经政法大学信息学院信息系 11/30/202127给方程两端左乘矩阵给方程两端左乘矩阵中南财经政法大学信息学院信息系 11/30/202128得得给方程两端右乘矩阵给方程两端右乘矩阵中南财经政法大学信息学院信息系 11
7、/30/202129例例8 8 设设解解中南财经政法大学信息学院信息系 11/30/202130于是于是中南财经政法大学信息学院信息系 11/30/202131中南财经政法大学信息学院信息系 11/30/202132解解例例9 9中南财经政法大学信息学院信息系 11/30/202133中南财经政法大学信息学院信息系 11/30/202134思考题思考题中南财经政法大学信息学院信息系 11/30/202135思考题解答思考题解答答答中南财经政法大学信息学院信息系 11/30/202136四、小结四、小结逆矩阵的概念及运算性质逆矩阵的概念及运算性质.逆矩阵的计算方法逆矩阵的计算方法逆矩阵逆矩阵 存在存在中南财经政法大学信息学院信息系 11/30/202137逆矩阵的运算性质逆矩阵的运算性质中南财经政法大学信息学院信息系 11/30/202138