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1、第五章第五章 速度场和流函数速度场和流函数Chapter 5 Strain rate and flow function5.0 引言引言速度：加工速度、变形速度、应变速度、设备速度：加工速度、变形速度、应变速度、设备 运转速度等。实际生产总是追求高速加工。运转速度等。实际生产总是追求高速加工。例如挤压：有挤出速度例如挤压：有挤出速度Vj，挤压杆推进速度，挤压杆推进速度Vo，VjVo 高速挤压变形热引起制品开裂。高速挤压变形热引起制品开裂。轧制：高向变形速度、延伸速度等；高速轧轧制：高向变形速度、延伸速度等；高速轧 制（变形热可能引起润滑油着火）制（变形热可能引起润滑油着火）5.1 轨迹和流线轨
2、迹和流线v轨迹：相同质点不同时轨迹：相同质点不同时 刻的位置的连线刻的位置的连线 dx=vdt v=v(i)（i=1,2,3）即：轨迹方程：即：轨迹方程：v流线：不同质点（相关质点）在同一时流线：不同质点（相关质点）在同一时 刻的位置点的连线或速度场的向刻的位置点的连线或速度场的向 量线称为流线。量线称为流线。（金属材料一般沿流线方向强度高，机（金属材料一般沿流线方向强度高，机加工时要求不破坏流线）加工时要求不破坏流线）描述：描述：与与 是平行的，是平行的，0 （i1，2，3）其中：其中：曲线切线向量分量曲线切线向量分量 向量线向量线 与与 同向且平行同向且平行流线与轨迹有何关系？流线与轨迹有
3、何关系？若变形为稳态变形过程（与时间无关），则流线若变形为稳态变形过程（与时间无关），则流线与轨迹是一致的；对于非稳态过程，两者不同。与轨迹是一致的；对于非稳态过程，两者不同。5.2 应变速率应变速率柯西应变：柯西应变：+（i，j1，2，3）应变速率增量：应变速率增量：+应变速率：表示单位时间内发生的应变量应变速率：表示单位时间内发生的应变量 或应变对时间的变化率（导数）。或应变对时间的变化率（导数）。可以证明：应变速率是一个张量。可以证明：应变速率是一个张量。+实际应用中，速率（速度）表达有很多实际应用中，速率（速度）表达有很多种形式，应针对具体问题进行明确表示。种形式，应针对具体问题进行明
4、确表示。加工速度（率）加工速度（率）（质点流动的速度）（质点流动的速度）（应变速率）（应变速率）例：超塑性变形（例：超塑性变形（Super-plastic deformation)三个条件：三个条件：10m 初始条件：初始条件：y=0,=0,y=,=考虑宏观均匀变形考虑宏观均匀变形 ,f(t)是个变化的量是个变化的量 平均应变速率（主应变方向）平均应变速率（主应变方向）必须说明：必须说明：=塑性变形的连续方程（体积不变条件）塑性变形的连续方程（体积不变条件）小应变小应变 大、小应变大、小应变 塑性变形连续方程塑性变形连续方程正交曲线坐标下的应变速率张量（略）正交曲线坐标下的应变速率张量（略）5
5、.3 流函数流函数 平面流函数平面流函数 根据体积不变条件，有根据体积不变条件，有 对于平面流动问题：对于平面流动问题：（平面速度场）（平面速度场）回顾：回顾：应力法中应力函数的引入：应力法中应力函数的引入：设有一个函数设有一个函数 满足：满足：于是有：于是有：这样就可以将求这样就可以将求 、（）的）的问题化为一个求问题化为一个求 的问题。的问题。这个这个 就是平面流函数。就是平面流函数。的特征：的特征：1.若若 C（常数），则反映常数），则反映M与与M0是同一种运动。是同一种运动。2.，表示流场的等值线（流线），表示流场的等值线（流线）3.流量，通过空间任意某一段曲流量，通过空间任意某一段曲
6、线线 的流量。若的流量。若M、M0位于同一流线位于同一流线上，则上，则Q0。4.若速度场无旋：若速度场无旋：即流函数是调和函数。即流函数是调和函数。梯度、散度与旋度的物理意义梯度、散度与旋度的物理意义1.标量场的梯度标量场的梯度2.为标量，为标量，为向量为向量 例如：变形温度例如：变形温度Td，应变能等。应变能等。物理意义：表示通过任一点的方向导数的最大值及其方物理意义：表示通过任一点的方向导数的最大值及其方 向向 构成该点的梯度（向量）。构成该点的梯度（向量）。2.向量的散度向量的散度比较：比较：当当 0，表示无散场，体积不可压缩。在塑变中，表示无散场，体积不可压缩。在塑变中体现为体积不变。
7、体现为体积不变。比较位移梯度：比较位移梯度：转动张量转动张量wij（反对称）反对称）柯西应变张量柯西应变张量ij（对称）对称）讨论：若已知若已知uij(i,j=x,y,z)，由几何方程可以确定由几何方程可以确定ij，反之，若已知反之，若已知ij，是否可以确定是否可以确定uij？比较旋度定义式与比较旋度定义式与ij，可知，在金属塑性变形区，旋度的物理含义是表示变可知，在金属塑性变形区，旋度的物理含义是表示变形体的旋转位移梯度分量。形体的旋转位移梯度分量。ij对材料的组织、性能、断裂过程的影响？对材料的组织、性能、断裂过程的影响？很少有人研究。前苏联专家在进很少有人研究。前苏联专家在进行断裂研究时曾用过行断裂研究时曾用过若速度场无散、无旋，则流函数若速度场无散、无旋，则流函数为调和函数，即：为调和函数，即：正交曲线坐标下的流函数（自学）正交曲线坐标下的流函数（自学）思考：如何证明：沿流线思考：如何证明：沿流线=常数？常数？流函数的应用：轴对称问题，如圆棒挤压、拉拔。采用流函数求解塑性区的流函数的应用：轴对称问题，如圆棒挤压、拉拔。采用流函数求解塑性区的不均匀流动不均匀流动应力应变及应变速率的不均匀分布应力应变及应变速率的不均匀分布残余应力分布残余应力分布 能耗（流线两次弯曲）能耗（流线两次弯曲）表面与中心裂纹的产生（附加应力与残余应力）表面与中心裂纹的产生（附加应力与残余应力）