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1、4.7 4.7 正正弦定理弦定理、余、余弦定理弦定理应用应用举例举例要点梳理要点梳理1.1.解斜三角形的常见类型及解法解斜三角形的常见类型及解法 在三角形的在三角形的6 6个元素中要已知三个（除三角外）个元素中要已知三个（除三角外）才能求解，常见类型及其解法如表所示才能求解，常见类型及其解法如表所示.已知条件已知条件应用定理应用定理 一般解法一般解法一边和两角一边和两角(如如a a,B B,C C)正弦定理正弦定理由由A A+B B+C C=180,=180,求求角角A A；由正弦定理求；由正弦定理求出出b b与与c c.在有解时只有一解在有解时只有一解 基础基础知识知识 自主自主学习学习两边
2、和夹角两边和夹角(如如a a,b b,C C)余弦定理余弦定理正弦定理正弦定理 由余弦定理求第三边由余弦定理求第三边c c;由正弦定理求出小由正弦定理求出小边所对的角；再由边所对的角；再由A A+B B+C C=180=180求出另一角求出另一角.在有解时只有一解在有解时只有一解 三边三边 (a a,b b,c c)余弦定理余弦定理 由余弦定理求出角由余弦定理求出角A A、B B；再利用；再利用A A+B B+C C=180,=180,求出角求出角C C.在有解时只有一解在有解时只有一解 两边和其中两边和其中一边的对角一边的对角（如（如a a,b b,A A)正弦定理正弦定理余弦定理余弦定理
3、由正弦定理求出角由正弦定理求出角B B；由由A A+B B+C C=180=180，求出，求出角角C C；再利用正弦定理；再利用正弦定理或余弦定理求或余弦定理求c c.可有两解，一解或无解可有两解，一解或无解 2.2.用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型 测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面 积问题、航海问题、物理问题等积问题、航海问题、物理问题等.3.3.实际问题中的常用角实际问题中的常用角 （1 1）仰角和俯角）仰角和俯角 与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标 视
4、线的夹角视线的夹角,目标视线在水平视线目标视线在水平视线 叫仰角叫仰角,目标视线在水平视线目标视线在水平视线 叫俯角（如图叫俯角（如图）.上方上方下方下方(2)(2)方位角方位角指从指从 方向顺时针转到目标方向线的水平角，方向顺时针转到目标方向线的水平角，如如B B点的方位角为点的方位角为（如图（如图）.（3 3）坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数）坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数.正北正北基础自测基础自测1.1.在某次测量中，在在某次测量中，在A A处测得同一半平面方向的处测得同一半平面方向的B B 点的仰角是点的仰角是60,60,C C点的俯角是点的俯角是7070，则，则BACBAC
5、 等于（等于（）A.10 B.50 C.120 D.130 A.10 B.50 C.120 D.130 解析解析 由已知由已知BADBAD=60,=60,CADCAD=70,=70,BACBAC=60+70=130.=60+70=130.D2.2.两座灯塔两座灯塔A A和和B B与海岸观察站与海岸观察站C C的距离相等的距离相等,灯塔灯塔 A A在观察站北偏东在观察站北偏东40,40,灯塔灯塔B B在观察站南偏在观察站南偏 东东6060，则灯塔，则灯塔A A在灯塔在灯塔B B的（的（）A.A.北偏东北偏东10 B.10 B.北偏西北偏西1010 C.C.南偏东南偏东10 D.10 D.南偏西南
6、偏西1010 解析解析 灯塔灯塔A A、B B的相对位置如图所示，的相对位置如图所示，由已知得由已知得ACBACB=80=80，CABCAB=CBACBA=50=50，则则=60-50=10.=60-50=10.B3.3.在在ABCABC中，中，ABAB=3=3，BCBC=，ACAC=4=4，则边，则边ACAC 上的高为（上的高为（）A.B.C.D.A.B.C.D.解析解析 由余弦定理可得：由余弦定理可得：B4.4.ABCABC中中,若若A A=60,=60,b b=16,=16,此三角形面积此三角形面积 则则a a的值为（的值为（）解析解析 由由S S=bcbcsin sin A A=220
7、 ,=220 ,得得c c=55.=55.由余弦定理得由余弦定理得 a a2 2=16=162 2+55+552 2-21655cos 60=2 401,-21655cos 60=2 401,a a=49.=49.D5.5.(2009(2009湖南文湖南文,14),14)在锐角在锐角ABCABC中中,BCBC=1,=1,B B=2=2A A,则则 的值等于的值等于 ,ACAC的取值范围为的取值范围为 .解析解析2 2题型一题型一 与距离有关的问题与距离有关的问题 要测量对岸要测量对岸A A、B B两点之间的距离，选取两点之间的距离，选取 相距相距 km km的的C C、D D两点两点,并测得并
8、测得ACBACB=75,=75,BCDBCD=45,=45,ADCADC=30,=30,ADBADB=45,=45,求求 A A、B B之间的距离之间的距离.分析分析题意题意，作作出草图，出草图，综综合合运用正、运用正、余余弦定理求解弦定理求解.题题型分类型分类 深度深度剖剖析析解解 如图所示在如图所示在ACDACD中，中，ACDACD=120=120，CADCAD=ADCADC=30=30，ACAC=CDCD=km.=km.在在BCDBCD中，中，BCDBCD=45=45，BDCBDC=75=75，CBDCBD=60.=60.在在ABCABC中，由余弦定理，得中，由余弦定理，得B 求距离问求
9、距离问题要注意题要注意：（1 1）选 选定或定或确确定定要要创建的三角形，创建的三角形，要首要首先先确确定所定所求量所求量所在 在的三角形，若的三角形，若其其他量他量已知则直已知则直接解；若接解；若有有未未知知量，量，则 则把未把未知知量放量放在 在另另一确一确定三角形定三角形中中求求解解.（2 2）确确定定用正用正弦定理还弦定理还是余是余弦定理，弦定理，如如果都果都可可用用，就，就选择选择更便更便于于计计算算的定理的定理.知能迁移知能迁移1 1（20092009海南海南,宁夏理，宁夏理，17 17）为了测量两山顶为了测量两山顶MM、N N间的间的 距离，飞机沿水平方向在距离，飞机沿水平方向在
10、A A、B B 两点进行测量，两点进行测量，A A、B B、MM、N N在同一个铅垂平面在同一个铅垂平面 内（如示意图）内（如示意图）.飞机能够测量的数据有俯角和飞机能够测量的数据有俯角和 A A、B B间的距离，请设计一个方案，包括：间的距离，请设计一个方案，包括：指指 出需要测量的数据出需要测量的数据(用字母表示用字母表示,并在图中标并在图中标 出出)；用文字和公式写出计算用文字和公式写出计算MM、N N间的距离间的距离 的步骤的步骤.解解 方案一方案一：需要测量的数据有：需要测量的数据有：A A点到点到MM、N N点的俯角点的俯角1 1、1 1；B B点到点到MM、N N点的俯角点的俯角
11、2 2、2 2；A A、B B的距离的距离d d(如图所示如图所示).).第一步：计算第一步：计算AMAM.由正弦定理由正弦定理第二步：计算第二步：计算ANAN.由正弦定理由正弦定理第三步：计算第三步：计算MNMN.由余弦定理由余弦定理方案二方案二：需要测量的数据有：需要测量的数据有：A A点到点到MM、N N点的点的俯角俯角1 1、1 1；B B点到点到MM、N N点的俯角点的俯角2 2、2 2;A A、B B的距离的距离d d（如图所示）（如图所示）.第一步：计算第一步：计算BMBM.由正弦定理由正弦定理第二步：计算第二步：计算BNBN.由正弦定理由正弦定理第三步：计算第三步：计算MNMN
12、.由余弦定理由余弦定理题型二题型二 与高度有关的问题与高度有关的问题 某人在塔的正东沿着南偏西某人在塔的正东沿着南偏西6060的方向的方向 前进前进4040米后，望见塔在东北方向，若沿途测得米后，望见塔在东北方向，若沿途测得 塔顶的最大仰角为塔顶的最大仰角为3030，求塔高，求塔高.依题意依题意画图，画图，某人在某人在C C 处处,ABAB为塔高为塔高,他沿他沿CDCD前进，前进，CDCD=40 40米，此米，此时时DBFDBF=45,=45,从从C C到到D D 沿途测塔的仰角，沿途测塔的仰角，只有只有B B到测到测试试点点 的距离的距离最最短短时时，仰角才，仰角才最最大，大，这是因这是因为
13、为tantanAEBAEB =ABAB为定为定值值，BEBE最最小小时时，仰角，仰角最最大大.要要求出求出 塔高塔高ABAB,必须先求必须先求BEBE，而，而要要求求BEBE，需先求，需先求BDBD （或（或BCBC）.解解 如图所示，某人在如图所示，某人在C C处，处，ABAB为塔高，他沿为塔高，他沿CDCD前进，前进，CDCD=40=40，此时，此时DBFDBF=45=45，过点，过点B B作作BEBECDCD于于E E，则，则AEBAEB=30=30，在在BCDBCD中中,CDCD=40,=40,BCDBCD=30,=30,DBCDBC=135,=135,BDEBDE=180-135-3
14、0=15.=180-135-30=15.在在RtRtBEDBED中，中，BEBE=DBDBsin 15sin 15在在RtRtABEABE中，中，AEBAEB=30=30，ABAB=BEBEtan 30=tan 30=故所求的塔高为故所求的塔高为 解斜三角形解斜三角形应用题应用题的的一一般步般步骤是骤是：（1 1）准确准确理解理解题意题意，分清，分清已知与已知与所求；所求；（2 2）依题意依题意画出画出示意示意图；图；（3 3）分析）分析与与问问题有题有关的三角形；关的三角形；（4 4）运用正、余运用正、余弦定理，弦定理，有序有序地解相关的三角形地解相关的三角形,逐逐步求解问步求解问题题的答案
15、；的答案；（5 5）注意注意方程方程思思想的想的运用运用；（6 6）要综要综合合运用运用立立体体几何几何知识与平知识与平面几何面几何知识知识.知能迁移知能迁移2 2 如图所示，测量河对岸的如图所示，测量河对岸的 塔高塔高ABAB时，可以选与塔底时，可以选与塔底B B在同一水在同一水 平面内的两个测点平面内的两个测点C C与与D D，现测得，现测得 BCDBCD=，BDCBDC=，CDCD=s s，并，并 在点在点C C测得塔顶测得塔顶A A的仰角为的仰角为，求塔高，求塔高ABAB.解解 在在BCDBCD中，中，CBDCBD=-=-题型三题型三 正、余弦定理在平面几何中的综合应用正、余弦定理在平
16、面几何中的综合应用 (12 (12分分)如图所示如图所示,在梯形在梯形 ABCDABCD中，中，ADADBCBC，ABAB=5=5，ACAC=9=9，BCABCA=30,=30,ADBADB=45=45，求求BDBD的长的长.由于由于ABAB=5=5，ADBADB=45=45，因因此此要要 求求BDBD，可在可在ABDABD中中，由正由正弦定理求解弦定理求解,关键关键 是确是确定定BADBAD的的正正弦弦值值.在 在ABCABC中中,ABAB=5,=5,ACAC=9=9，ACBACB=30,=30,因因此此可用正可用正弦定理求弦定理求 出出sinsinABCABC,再依再依据据ABCABC与与
17、BADBAD互补互补确确定定 sin sinBADBAD即即可可.解解 在在ABCABC中，中，ABAB=5=5，ACAC=9=9，BCABCA=30.=30.ADADBCBC，BADBAD=180-=180-ABCABC,于是于是sinsinBADBAD=sin=sinABCABC=.8=.8分分同理，在同理，在ABDABD中，中，ABAB=5=5，sinsinBADBAD=，ADBADB=45=45，解得解得BDBD=.=.故故BDBD的长为的长为 .要要利利用正、余用正、余弦定理解决问弦定理解决问题题,需将需将 多边形分割成若干个三角形多边形分割成若干个三角形.在 在分割分割时时，要注意
18、要注意 有有利利于应用正、余于应用正、余弦定理弦定理.6 6分分 1212分分知能迁移知能迁移3 3 如图所示，已知半圆的直径如图所示，已知半圆的直径ABAB=2=2，点点C C在在ABAB的延长线上，的延长线上，BCBC=1=1，点，点P P为半圆上的为半圆上的 一个动点，以一个动点，以DCDC为边作等边为边作等边PCDPCD，且点，且点D D与与 圆心圆心O O分别在分别在PCPC的两侧，求四边形的两侧，求四边形OPDCOPDC面积的面积的 最大值最大值.解解 设设POBPOB=，四边形面积为，四边形面积为y y，则在则在POCPOC中，由余弦定理得中，由余弦定理得PCPC2 2=OPOP
19、2 2+OCOC2 2-2-2OPOPOCOCcos cos=5-4cos=5-4cos.方法与技巧方法与技巧1.1.合理应用仰角、俯角、方位角、方向角等概念合理应用仰角、俯角、方位角、方向角等概念 建立三角函数模型建立三角函数模型.2.2.把生活中的问题化为二维空间解决，即在一个把生活中的问题化为二维空间解决，即在一个 平面上利用三角函数求值平面上利用三角函数求值.3.3.合理运用换元法、代入法解决实际问题合理运用换元法、代入法解决实际问题.思思想方法想方法 感悟感悟提提高高失误与防范失误与防范在解实际问题时，应正确理解如下角的含义在解实际问题时，应正确理解如下角的含义.1.1.方向角方向角
20、从指定方向线到目标方向线的水平角从指定方向线到目标方向线的水平角.2.2.方位角方位角从正北方向线顺时针到目标方向线从正北方向线顺时针到目标方向线 的水平角的水平角.3.3.坡度坡度坡面与水平面的二面角的度数坡面与水平面的二面角的度数.4.4.仰角与俯角仰角与俯角与目标视线在同一铅直平面内与目标视线在同一铅直平面内 的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水 平视线上方时称为仰角，目标视线在水平视线平视线上方时称为仰角，目标视线在水平视线 下方时称为俯角下方时称为俯角.一、选择题一、选择题1.1.在在200 m200 m高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯
21、角分高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分 别是别是3030，60,60,则塔高为则塔高为 （）解析解析 作出示意图如图，作出示意图如图，由已知：在由已知：在RtRtOACOAC中，中，OAOA=200=200，OACOAC=30=30，则则OCOC=OAOAtantanOACOAC =200tan 30=200tan 30=在在RtRtABDABD中，中，ADAD=，BADBAD=30=30，则则BDBD=ADADtantanBADBAD=A定定时时检测检测2.2.一船向正北航行，看见正西方向有相距一船向正北航行，看见正西方向有相距1010海里的两海里的两 个灯塔恰好与它在一条直线上，继续
22、航行半小时个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时 后，看见一灯塔在船的南偏西后，看见一灯塔在船的南偏西6060，另一灯塔在船，另一灯塔在船 的南偏西的南偏西7575，则这艘船的速度是每小时，则这艘船的速度是每小时 （）海里海里 B.5 B.5 海里海里 海里海里 D.10 D.10 海里海里 解析解析 如图所示，依题意有如图所示，依题意有BACBAC=60=60，BADBAD=75=75，所以所以CADCAD=CDACDA=15=15，从而从而CDCD=CACA=10=10，在在RtRtABCABC中，得中，得ABAB=5=5，于是这艘船的速度是于是这艘船的速度是 （海里（海里/小时）小时
23、）.C3.3.如图所示，已知两座灯塔如图所示，已知两座灯塔A A和和B B与海洋与海洋 观察站观察站C C的距离都等于的距离都等于a a km,km,灯塔灯塔A A在在 观察站观察站C C的北偏东的北偏东2020，灯塔，灯塔B B 在观察在观察 站站C C的南偏东的南偏东4040，则灯塔，则灯塔A A与灯塔与灯塔B B 的距离为的距离为 （）A.A.a a km B.km B.a a km km C.C.aaaa km km 解析解析 利用余弦定理解利用余弦定理解ABCABC.易知易知ACBACB=120,=120,在在ABCABC中，由余弦定理得中，由余弦定理得ABAB2 2=ACAC2 2
24、+BCBC2 2-2-2ACAC BCBCcos 120=2cos 120=2a a2 2-2-2a a2 2B4.4.一船自西向东匀速航行，上午一船自西向东匀速航行，上午1010时到达一座灯塔时到达一座灯塔 P P的南偏西的南偏西7575距塔距塔6868海里的海里的MM处处,下午下午2 2时到达这时到达这 座灯塔的东南方向的座灯塔的东南方向的N N处，则这只船的航行速度为处，则这只船的航行速度为 （）A.A.海里海里/小时小时 B.B.海里海里/小时小时 C.C.海里海里/小时小时 D.D.海里海里/小时小时解析解析 如图所示，在如图所示，在PMNPMN中，中，答案答案 A5.5.如图，一货
25、轮航行到如图，一货轮航行到MM处处,测得灯塔测得灯塔S S 在货轮的北偏东在货轮的北偏东15,15,与灯塔与灯塔S S相距相距2020 海里海里,随后货轮按北偏西随后货轮按北偏西3030的方向的方向 航行航行3030分钟后分钟后,又测得灯塔在货轮的东北方向又测得灯塔在货轮的东北方向,则则 货轮的速度为货轮的速度为 （）A.20 A.20 海里海里/小时小时 B.20 B.20 海里海里/小时小时 C.20 C.20 海里海里/小时小时 D.20 D.20 海里海里/小时小时解析解析 由题意知由题意知SMSM=20,=20,SNMSNM=105,=105,NMSNMS=45,=45,答案答案 B
26、 B6.6.线段线段ABAB外有一点外有一点C C,ABCABC=60,=60,AB AB=200 km,=200 km,汽车以汽车以 80 km/h 80 km/h的速度由的速度由A A向向B B行驶，同时摩托车以行驶，同时摩托车以50 km/h50 km/h的的 速度由速度由B B向向C C行驶行驶,则运动开始则运动开始 h h后，两车的距离最后，两车的距离最 小小.解析解析 如图所示，设如图所示，设t t h h后后,汽汽 车由车由A A行驶到行驶到D D，摩托车由，摩托车由B B行行 驶到驶到E E，则，则ADAD=80=80t t，BEBE=50=50t t.因为因为ABAB=200
27、=200，所以，所以BDBD=200-80=200-80t t，问题就是求问题就是求DEDE最小时最小时t t的值的值.由余弦定理：由余弦定理：DEDE2 2=BDBD2 2+BEBE2 2-2-2BDBDBEBEcos 60cos 60 =(200-80 =(200-80t t)2 2+2 500+2 500t t2 2-(200-80-(200-80t t)50)50t t =12 900 =12 900t t2 2-42 000-42 000t t+40 000.+40 000.答案答案 C7.7.在在ABCABC中中,BCBC=1,=1,B B=，当，当ABCABC的面积等于的面积等于
28、 时，时，tan tan C C=.解析解析 S SABCABC=acacsin sin B B=,=,c c=4.=4.由余弦定理由余弦定理：b b2 2=a a2 2+c c2 2-2-2acaccos cos B B=13,=13,二、填空题二、填空题8.8.在在ABCABC中中,ACAC=，BCBC=2=2，B B=60,=60,则则A A的大的大 小是小是 ，ABAB=.解析解析45 45 9.9.甲船在甲船在A A处观察乙船处观察乙船,乙船在它的北偏东乙船在它的北偏东6060的方向的方向,两船两船 相距相距a a海里海里,乙船正向北行驶乙船正向北行驶,若甲船是乙船速度的若甲船是乙船
29、速度的 倍，则甲船应取方向倍，则甲船应取方向 才能追上乙船；追上时甲才能追上乙船；追上时甲 船行驶了船行驶了 海里海里.解析解析 如图所示，设到如图所示，设到C C点甲船追上乙船，点甲船追上乙船，乙到乙到C C地用的时间为地用的时间为t t，乙船的速度为，乙船的速度为v,v,则则BCBC=tv tv，ACAC=tv tv，B B=120=120，BCBC=ABAB=a a，ACAC2 2=ABAB2 2+BCBC2 2-2-2ABABBCBCcos 120cos 120北偏东北偏东30 30 三、解答题三、解答题10.10.如图所示如图所示,扇形扇形AOBAOB,圆心角圆心角AOBAOB等等
30、于于60,60,半径为半径为2,2,在弧在弧ABAB上有一动上有一动 点点P P，过，过P P引平行于引平行于OBOB的直线和的直线和OAOA交交 于点于点C C，设，设AOPAOP=，求，求POCPOC 面积的最大值及此时面积的最大值及此时的值的值.解解 CPCPOBOB，CPOCPO=POBPOB=60-=60-，OCPOCP=120.=120.在在POCPOC中，由正弦定理得中，由正弦定理得11.11.在在ABCABC中，已知中，已知 (1)sin(1)sin2 2 cos(cos(B B+C C)的值的值;(2)(2)若若ABCABC的面积为的面积为4,4,ABAB=2,=2,求求BC
31、BC的长的长.解解12.12.在海岸在海岸A A处处,发现北偏东发现北偏东4545方向方向,距离距离A A(-1)(-1)n mile n mile的的B B处有一艘走私船，在处有一艘走私船，在A A处北偏西处北偏西7575的的 方向方向,距离距离A A 2 n mile 2 n mile的的C C处的缉私船奉命以处的缉私船奉命以1010 n mile/h n mile/h的速度追截走私船的速度追截走私船.此时，走私船正以此时，走私船正以 10 n mile/h 10 n mile/h的速度从的速度从B B处向北偏东处向北偏东3030方向逃窜方向逃窜,问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？问缉私
32、船沿什么方向能最快追上走私船？解解 如图所示，注意到最快追上走如图所示，注意到最快追上走 私船且两船所用时间相等，若在私船且两船所用时间相等，若在D D 处相遇，则可先在处相遇，则可先在ABCABC中求出中求出BCBC，再在再在BCDBCD中求中求BCDBCD.设缉私船用设缉私船用t t h h在在D D处追上走私船，处追上走私船，则有则有CDCD=10 =10 t t，BDBD=10=10t t.在在ABCABC中，中，ABAB=-1=-1，ACAC=2=2，BACBAC=120,=120,由余弦定理，由余弦定理，得得BCBC2 2=ABAB2 2+ACAC2 2-2-2ABABACACcoscosBACBAC=（-1 -1）2 2+2+22 2-2-2（-1 -1）2cos 120=6,2cos 120=6,BCBC=，CBDCBD=90+30=120=90+30=120，在在BCDBCD中，由正弦定理，得中，由正弦定理，得BCDBCD=30.=30.即缉私船北偏东即缉私船北偏东6060方向能最快追上方向能最快追上走私船走私船.返回返回