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1、曲线的凹凸与拐点曲线的凹凸与拐点 前面我们介绍了函数的单调性和极值，这对于前面我们介绍了函数的单调性和极值，这对于了解函数的性态很有帮助，但仅知道单调性还不了解函数的性态很有帮助，但仅知道单调性还不能比较全面地反映出曲线的性状，还须要考虑弯能比较全面地反映出曲线的性状，还须要考虑弯曲方向。曲方向。oyxL3L2L1AB 如右图所示如右图所示L1，L2，L3 虽然都是从虽然都是从A点单调上升到点单调上升到B点，但它们的弯曲方向却点，但它们的弯曲方向却不一样。不一样。L1 是是“凸凸”弧，弧，L2是是“凹凹”弧弧，L3既有凸弧，也有既有凸弧，也有凹弧，凹弧，这和我们日常习惯对凹凸的称呼是一致的。这
2、和我们日常习惯对凹凸的称呼是一致的。一、曲线凹凸的定义一、曲线凹凸的定义问题问题:如何研究曲线的弯曲方向如何研究曲线的弯曲方向?图形上任意弧段位图形上任意弧段位于所张弦的上方于所张弦的上方图形上任意弧段位图形上任意弧段位于所张弦的下方于所张弦的下方定义定义二、曲线凹凸的判定二、曲线凹凸的判定定理定理1 1证明证明分别应用分别应用L定理，得定理，得两式相减，得两式相减，得由假设由假设这就证明了这就证明了同理可证（同理可证（1）注注定理的结论可推广到任意区间上定理的结论可推广到任意区间上例例1 1解解注意到注意到,三、曲线的拐点及其求法三、曲线的拐点及其求法注意注意:拐点处的切线必在拐点处穿过曲线
3、拐点处的切线必在拐点处穿过曲线.证证方法方法1:1:例例2 2解解凹的凹的凸的凸的凹的凹的拐点拐点拐点拐点方法方法2:2:例例3 3解解注意注意:例例4假定假定f(x)在在x=x0处具有直到处具有直到n阶的连续导数，且阶的连续导数，且这里这里n为奇数为奇数3，证证由高阶导数判定极值的方法知由高阶导数判定极值的方法知不妨设为不妨设为极小值极小值二阶导数变号，二阶导数变号，例例5 5解解例例6求曲线求曲线的拐点的拐点解解是拐点是拐点例例7Jensen不等式不等式证证由由Taylor公式，得公式，得各式乘以各式乘以再相加，得再相加，得=1=1四、小结四、小结曲线的弯曲方向曲线的弯曲方向凹凸性凹凸性;改变弯曲方向的点改变弯曲方向的点拐点拐点;凹凸性的判定凹凸性的判定.拐点的求法拐点的求法1,2.思考题思考题思考题解答思考题解答例例