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1、不同风险度量下的投资组合选择模型不同风险度量下的投资组合选择模型 不同的收益和风险度量方法导致了不同不同的收益和风险度量方法导致了不同类型的投资组合选择模型。类型的投资组合选择模型。通常期望收益的度量都采用未来投资组通常期望收益的度量都采用未来投资组合收益率分布的期望值作为投资组合的合收益率分布的期望值作为投资组合的预期收益的度量，而且在实际应用中都预期收益的度量，而且在实际应用中都是采用历史收益数据的平均值或加权平是采用历史收益数据的平均值或加权平均值的方式来表示。均值的方式来表示。风险的度量方法目前比较多，常用的有投风险的度量方法目前比较多，常用的有投资组合选择模型采用资产收益波动的方差、
2、资组合选择模型采用资产收益波动的方差、标准差、半方差、绝对偏差、风险价值标准差、半方差、绝对偏差、风险价值VaR，或一致性的风险度量，如条件风险，或一致性的风险度量，如条件风险价值价值CVaR或期望损失或期望损失ELS。这里主要介。这里主要介绍投资组合选择的均值绝对偏差模型绍投资组合选择的均值绝对偏差模型(mean-absolute deviation，简记为，简记为MAD).(1).单个资产收益的绝对偏差单个资产收益的绝对偏差(2).资产组合收益的绝对偏差资产组合收益的绝对偏差(3).均值绝对偏差投资组合选择模型均值绝对偏差投资组合选择模型（MAD）(4).MAD模型与模型与M-V模型的比较
3、模型的比较1.均值绝对偏差投资组合选择模型均值绝对偏差投资组合选择模型（MAD）日本学者日本学者Konno1988年提出年提出（1）单个资产收益的绝对偏差）单个资产收益的绝对偏差 绝对偏差指的是收益偏离期望值的绝对绝对偏差指的是收益偏离期望值的绝对值的期望值值的期望值,对于单个资产其定义为对于单个资产其定义为年份年份 成交价成交价 收益率收益率(%)偏差偏差(%)绝对偏（）绝对偏（）1 20 2 25 25 3.2 平均收益率平均收益率 收益率的绝对偏差收益率的绝对偏差 某资产收益的绝对偏差的计算某资产收益的绝对偏差的计算 假设投资者拥有某资产假设投资者拥有某资产 年的历史年的历史价格数据，价
4、格数据，那么就可以利用例题中的方法估计出该那么就可以利用例题中的方法估计出该证券的投资收益在绝对偏差意义下的风证券的投资收益在绝对偏差意义下的风险险期望收益期望收益（2）资产组合收益的绝对偏差）资产组合收益的绝对偏差 由由n种风险资产构成的组合，设在每种资种风险资产构成的组合，设在每种资产上的投资权重为产上的投资权重为 ,投资组合在绝对偏投资组合在绝对偏差意义下的风险定义，差意义下的风险定义，n个资产的预期个资产的预期收益率向量收益率向量 如果已知构造投资组合的每一种资产有如果已知构造投资组合的每一种资产有 个历史收益率，那么投资组合的风险由下个历史收益率，那么投资组合的风险由下面的公式来估计
5、：面的公式来估计：例：考虑由两种证券构成的证券投资组合收例：考虑由两种证券构成的证券投资组合收益的绝对偏差，已知两证券的历史收益率益的绝对偏差，已知两证券的历史收益率分别为：分别为：证券证券1证券证券2两证券的平均收益率两证券的平均收益率当当 时，组合的期望收益率和时，组合的期望收益率和绝对偏差分别为绝对偏差分别为 当当 时，组合的期望收益率时，组合的期望收益率和绝对偏差分别为和绝对偏差分别为 如果多种风险资产的收益率呈联合多元如果多种风险资产的收益率呈联合多元正态分布，那么用绝对偏差和标准差正态分布，那么用绝对偏差和标准差来度量投资组合的风险在本质上没有来度量投资组合的风险在本质上没有什么区
6、别什么区别,也就是说无论是用标准差度也就是说无论是用标准差度量风险还是用绝对偏差度量风险进行量风险还是用绝对偏差度量风险进行投资组合选择结果都是一样的投资组合选择结果都是一样的.定理定理4.1 如果如果 种资产的收益率种资产的收益率 服从多元正态分布，那么有服从多元正态分布，那么有表示投资组合的绝对偏差，表示投资组合的绝对偏差，表示投资组合的标准差，表示投资组合的标准差，证明证明 根据根据 服从多元正态分布服从多元正态分布的假设，投资组合的收益率的假设，投资组合的收益率 服从服从一元正态分布，平均值为一元正态分布，平均值为 标准差为标准差为其中其中V为多元正态分布的协方差矩阵为多元正态分布的协
7、方差矩阵.根据绝对偏差的定义有根据绝对偏差的定义有(3)均值绝对偏差投资组合选择模（均值绝对偏差投资组合选择模（MAD）MAD投资组合选择模型是对均值方差投资组合选择模型是对均值方差（M-V）投资组合选择模型的修正，即把）投资组合选择模型的修正，即把M-V投资组合选择模型中的风险度量方差替换为绝投资组合选择模型中的风险度量方差替换为绝对偏差，其余不变。对偏差，其余不变。首先定义首先定义MAD模型的投资可行集和有效边模型的投资可行集和有效边缘或有效边界。每一种可行的投资组合方式缘或有效边界。每一种可行的投资组合方式对应了收益对应了收益-绝对偏差坐标系中的一个点，绝对偏差坐标系中的一个点，所有这样
8、的投资组合构成的点所有这样的投资组合构成的点 的集的集合称为合称为MAD投资组合选择模型的投资可行投资组合选择模型的投资可行集。由于或者要求收益最大、或者要求风险集。由于或者要求收益最大、或者要求风险最小，因此，从几何上最小，因此，从几何上,可行集的右上边缘可行集的右上边缘所有点的集合构成了投资组合的有效集，也所有点的集合构成了投资组合的有效集，也称为投资组合的有效边缘，或有效边界。也称为投资组合的有效边缘，或有效边界。也就是说就是说,对于一个理性的投资者来说对于一个理性的投资者来说,他的投他的投资方案应该在投资组合的有效边缘上。资方案应该在投资组合的有效边缘上。(a)在给定收益目标下，使风险
9、最小的投资在给定收益目标下，使风险最小的投资组合选择模型组合选择模型MAD1这是一个非光滑的最优化问题，直接求这是一个非光滑的最优化问题，直接求解比较困难，但可以转化为线性规划问解比较困难，但可以转化为线性规划问题的形式来求解。题的形式来求解。令令模型模型MAD1可以改写为：可以改写为：MAD2再令再令 再把它改写为再把它改写为模型模型MAD2就转化为下面的光滑最优化问题：就转化为下面的光滑最优化问题：MAD3这是一个线性规划问题这是一个线性规划问题 MAD有效边缘有效边缘(均值均值-绝对偏差绝对偏差)国内国内13只股票至每周的收盘价，每只股票共有只股票至每周的收盘价，每只股票共有160个价格
10、数据个价格数据(b)给定投资者所能承受的风险水平，给定投资者所能承受的风险水平，使期望收益最大的投资组合选择模型使期望收益最大的投资组合选择模型MAD4模型模型MAD4与模型与模型MAD1在确定有效边在确定有效边缘的意义下是等价的缘的意义下是等价的.(c)存在无风险资产，在给定收益目标下存在无风险资产，在给定收益目标下使风险最小的投资组合选择模型为使风险最小的投资组合选择模型为 MAD5可以用上面同样的转换转化成线性规划问题可以用上面同样的转换转化成线性规划问题，模型模型MAD5确定的投资组合的有效边缘是从确定的投资组合的有效边缘是从点点 出发，同模型出发，同模型MAD3所确定的投资所确定的投
11、资组合的有效边缘相切的切线。组合的有效边缘相切的切线。存在无风险资产允许卖空时存在无风险资产允许卖空时MAD投资组合的有效边缘投资组合的有效边缘 国内国内13只只股票至每股票至每周的收盘周的收盘价，每只价，每只股票共有股票共有160个价个价格数据格数据 如果证券市场上不允许卖空，则需如果证券市场上不允许卖空，则需要在本节前述的相关模型中加入要在本节前述的相关模型中加入 变量的非负约束变量的非负约束,再将模型转化成再将模型转化成带有变量非负约束的线性规划问题带有变量非负约束的线性规划问题.（4）MAD模型与模型与M-V模型的比较模型的比较(a)M-V模型需要估计感兴趣的风险资产的期望收益模型需要
12、估计感兴趣的风险资产的期望收益率率(n)、收益的方差、收益的方差(n)以及任意两种风险资产收以及任意两种风险资产收益之间的协方差益之间的协方差(n(n-1)/2)。MAD模型只需要估模型只需要估计风险资产的期望收益率计风险资产的期望收益率(n)、收益的绝对偏差、收益的绝对偏差(n+nT)。(b)当有新的数据加入时，当有新的数据加入时，M-V模型需要重新计算一模型需要重新计算一次收益率的方差次收益率的方差-协方差矩阵，需要修正模型协方差矩阵，需要修正模型;对于对于MAD模型，只需要把新数据加入到模型中，模型，只需要把新数据加入到模型中，原来的数据完全不变，不需要修正模型。原来的数据完全不变，不需
13、要修正模型。MAD模型在处理大规模的投资组合选择问题时，会模型在处理大规模的投资组合选择问题时，会比比M-V模型有效的多。模型有效的多。(c)数据收集过程中的协调工作数据收集过程中的协调工作 M-V模型难于模型难于MAD模型模型 大部分证券研究部门是这样组织的：专家们被分配研大部分证券研究部门是这样组织的：专家们被分配研究某个产业或至多由少数几个产业组成的产业群，结究某个产业或至多由少数几个产业组成的产业群，结果，这种专门化的分工导致分析人士一般较少具备自果，这种专门化的分工导致分析人士一般较少具备自己所研究的产业以外的证券特性的知识，因此要得到己所研究的产业以外的证券特性的知识，因此要得到不
14、同产业间证券的协方差是比较困难的。而不同产业间证券的协方差是比较困难的。而MAD模型模型不需要估计证券之间的协方差，它只需要估计每一种不需要估计证券之间的协方差，它只需要估计每一种证券的回报率以及历史绝对偏差的估计，这对于证券证券的回报率以及历史绝对偏差的估计，这对于证券分析人士来说是比较容易做到的，从而可以避免由于分析人士来说是比较容易做到的，从而可以避免由于分工不同造成数据收集和处理过程中不协调问题。分工不同造成数据收集和处理过程中不协调问题。(d)MAD模型经转化是一个线性规划问题，而且模型经转化是一个线性规划问题，而且模型中的约束条件只有个，与证券数目无关，模型中的约束条件只有个，与证
15、券数目无关，因此证券数目即使很大，约束条件仍然不变，因此证券数目即使很大，约束条件仍然不变，换句话说，也就是在求解换句话说，也就是在求解MAD模型时，可行集模型时，可行集是不随证券数目变化的，这一点对于证券组合是不随证券数目变化的，这一点对于证券组合的调整是非常有意义的。另外，线性规划问题的调整是非常有意义的。另外，线性规划问题已经有多项式时间算法（如内点算法），而已经有多项式时间算法（如内点算法），而M-V模型是一个二次规划问题，求解难度相对要大模型是一个二次规划问题，求解难度相对要大一点。因此，一点。因此，MAD模型特别适合于大规模的投模型特别适合于大规模的投资组合选择问题，而资组合选择问题，而M-V模型则主要被用于解模型则主要被用于解决资产配置问题。决资产配置问题。