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1、7.1 概述概述 n n塑性变形的数值解：工程法塑性变形的数值解：工程法滑移线法滑移线法能量法（上限法、上限单元法）能量法（上限法、上限单元法）有限元有限元法（法（FEM）.n n能量法是建立在极值原理的基础上。能量法是建立在极值原理的基础上。n n极值原理：以虚功原理、最小势能原理等极值原理：以虚功原理、最小势能原理等为基础的一种能量解析法，关键引入速度为基础的一种能量解析法，关键引入速度不连续（间断）线（面）。不连续（间断）线（面）。第七章第七章 极值原理及应用极值原理及应用对于刚塑性体，真实的速度场可能是间断的。对于刚塑性体，真实的速度场可能是间断的。间断面是一薄层，在薄层两侧的切向速度
2、发生间断面是一薄层，在薄层两侧的切向速度发生间断，而法向速度连续。间断，而法向速度连续。例如：拉拔过程，如图：例如：拉拔过程，如图：v1n=vrn（法向）（法向）v1tvrt（切向）（切向）vt=vrt-v1tNf=SDSD kvtds(虚位移剪切功率虚位移剪切功率)k材料剪切强度材料剪切强度 V1 V1n Vr V1t Vrt Vrn7.2 上限定理及上限功率上限定理及上限功率n n理论基础：理想刚塑性材料。理论基础：理想刚塑性材料。n n力学基础：虚功原理、最小势能原理。力学基础：虚功原理、最小势能原理。n n应用：与下限定理联系分析，可确定精确应用：与下限定理联系分析，可确定精确解的范围
3、。如图：解的范围。如图：精确解上限解下限解满足：满足：运动学许可的速度场运动学许可的速度场 体积不变条件体积不变条件满足：满足：静力学许可的应力场静力学许可的应力场 应力边界条件应力边界条件虚功：真实应力在虚位移上（即运动学许可但实际并虚功：真实应力在虚位移上（即运动学许可但实际并虚功：真实应力在虚位移上（即运动学许可但实际并虚功：真实应力在虚位移上（即运动学许可但实际并 未发生的位移）所做的功。未发生的位移）所做的功。未发生的位移）所做的功。未发生的位移）所做的功。虚功原理：在外力作用下，在处于平衡状态的变形体虚功原理：在外力作用下，在处于平衡状态的变形体虚功原理：在外力作用下，在处于平衡状
4、态的变形体虚功原理：在外力作用下，在处于平衡状态的变形体 上，当给予该变形体一几何约束许可的微上，当给予该变形体一几何约束许可的微上，当给予该变形体一几何约束许可的微上，当给予该变形体一几何约束许可的微 小位移时，则外力在此虚位移上所做的总小位移时，则外力在此虚位移上所做的总小位移时，则外力在此虚位移上所做的总小位移时，则外力在此虚位移上所做的总 虚功虚功虚功虚功A Ap p必等于变形体内的内力在虚位移上必等于变形体内的内力在虚位移上必等于变形体内的内力在虚位移上必等于变形体内的内力在虚位移上 所做的总虚应变功所做的总虚应变功所做的总虚应变功所做的总虚应变功A Ad d.假设有受力体边界条件如
5、图：假设有受力体边界条件如图：假设有受力体边界条件如图：假设有受力体边界条件如图：S v速速 度度 面面速度速度Sv已知已知面力面力P未知未知速度不连续面 PS S T 力力 面面外力外力Ti已知已知速度速度Vi未知未知Sv速度面速度面V=0P=?ST力面力面P=0Vi=?Sv速度面速度面Vo=CP=?(可求可求）由由由由 S=Sv+S S=Sv+ST T 可得：可得：可得：可得：S S T Ti i i i*ds=ds=v v ij ij ij ij*dv+dv+SdSdv vt tds ds 等式左边指的是在整个边界上外力等式左边指的是在整个边界上外力等式左边指的是在整个边界上外力等式左边
6、指的是在整个边界上外力TiTi在虚位移在虚位移在虚位移在虚位移i i*上所做的上所做的上所做的上所做的功率，等式右边第一项指的是变形体的塑性应变虚功率，功率，等式右边第一项指的是变形体的塑性应变虚功率，功率，等式右边第一项指的是变形体的塑性应变虚功率，功率，等式右边第一项指的是变形体的塑性应变虚功率，第二项指的是速度间断面上的虚位移剪切功率。第二项指的是速度间断面上的虚位移剪切功率。第二项指的是速度间断面上的虚位移剪切功率。第二项指的是速度间断面上的虚位移剪切功率。STST T Ti i i i*ds+ds+SvSv T Ti i i i*ds=ds=v v ij ij ij ij*dv+dv
7、+SdSdv vt tdsds v v(ij ij*-ij ij)ij ij*dv0(dv0(最大塑性功耗原理最大塑性功耗原理最大塑性功耗原理最大塑性功耗原理)ij ij*、ij ij*主轴重合，满足增量理论。主轴重合，满足增量理论。主轴重合，满足增量理论。主轴重合，满足增量理论。ij ij*、ij ij分别为假想的分别为假想的分别为假想的分别为假想的满足静力学许可条件的应力场和真实的应力场满足静力学许可条件的应力场和真实的应力场满足静力学许可条件的应力场和真实的应力场满足静力学许可条件的应力场和真实的应力场.v v ij ij*ij ij*dvdvv v ij ij ij ij*dvdv因此
8、因此 STST T Ti i i i*ds+ds+SvSv T Ti iv vi i*ds=ds=V V ij ij ij ij*dv+dv+SdSdvtds vtds STST T Ti i i i*ds+ds+SVSV T Ti iv vi i*dsdsv v ij ij*ij ij*dvdv SdSdkkv vt tds ds SVSV T Ti i i i*dsdsv v ij ij*ij ij*dvdv SdSd k kv vt tdsds STST T Ti i i i*dsds其中其中其中其中k(kk(k为材料剪切变形抗力）为材料剪切变形抗力）为材料剪切变形抗力）为材料剪切变形抗
9、力）上式即为上限定理。不等式右边第一项指的是塑性变形应上式即为上限定理。不等式右边第一项指的是塑性变形应上式即为上限定理。不等式右边第一项指的是塑性变形应上式即为上限定理。不等式右边第一项指的是塑性变形应变虚功率（消耗）变虚功率（消耗）变虚功率（消耗）变虚功率（消耗）NdNd；第二项指的是剪切虚功率（消耗）；第二项指的是剪切虚功率（消耗）；第二项指的是剪切虚功率（消耗）；第二项指的是剪切虚功率（消耗）(包含表面摩擦功耗包含表面摩擦功耗包含表面摩擦功耗包含表面摩擦功耗)；第三项指的是附加外力所耗功率；第三项指的是附加外力所耗功率；第三项指的是附加外力所耗功率；第三项指的是附加外力所耗功率（例如轧
10、制：前张力，后张力）（例如轧制：前张力，后张力）（例如轧制：前张力，后张力）（例如轧制：前张力，后张力）关键是求上限功率关键是求上限功率关键是求上限功率关键是求上限功率n n基本方程基本方程基本方程基本方程:（暂时将暂时将暂时将暂时将*去掉去掉去掉去掉）n n根据根据根据根据LevyLevyMisesMises流动法则流动法则流动法则流动法则 根据根据根据根据MisesMises塑性条件塑性条件塑性条件塑性条件上限法求解变形力的思路与方法：上限法求解变形力的思路与方法：上限法求解变形力的思路与方法：上限法求解变形力的思路与方法：思路：思路：思路：思路：分析金属流动特点（基本流动规律、已知速度边
11、界等）分析金属流动特点（基本流动规律、已知速度边界等）分析金属流动特点（基本流动规律、已知速度边界等）分析金属流动特点（基本流动规律、已知速度边界等）建立一个虚拟速度场建立一个虚拟速度场建立一个虚拟速度场建立一个虚拟速度场v vi i*(运动学许可运动学许可运动学许可运动学许可)求求求求 ij ij*（几何方程）、几何方程）、几何方程）、几何方程）、v v*t t(几何分析几何分析几何分析几何分析)NdNd、NfNf（摩擦功率）摩擦功率）摩擦功率）摩擦功率）求极值求极值求极值求极值上限法设定速度场模式有四种：上限法设定速度场模式有四种：上限法设定速度场模式有四种：上限法设定速度场模式有四种：（
12、1 1）JohnsonJohnson模式，刚塑性速度场模式（简化的滑移模式，刚塑性速度场模式（简化的滑移模式，刚塑性速度场模式（简化的滑移模式，刚塑性速度场模式（简化的滑移线场模式）线场模式）线场模式）线场模式）SV SV T Ti iv vi i*dvdv NdNd SDSD k kv vt tds+0ds+0 SVSV T Ti iv vi i*dv dvSDSD k kv vt t dsds（塑性变形通过材料刚性块之间的流动而实现）塑性变形通过材料刚性块之间的流动而实现）塑性变形通过材料刚性块之间的流动而实现）塑性变形通过材料刚性块之间的流动而实现）(2)Avitzur(2)Avitzu
13、r模式：模式：模式：模式：连续速度场模式，连续可导连续速度场模式，连续可导连续速度场模式，连续可导连续速度场模式，连续可导轴对称三维问题轴对称三维问题轴对称三维问题轴对称三维问题（3 3）流函数模式）流函数模式）流函数模式）流函数模式 主要针对平面问题，有利于处理较复杂的模面问题。主要针对平面问题，有利于处理较复杂的模面问题。主要针对平面问题，有利于处理较复杂的模面问题。主要针对平面问题，有利于处理较复杂的模面问题。（4 4）上限元法（）上限元法（）上限元法（）上限元法（UBETUBET）Upper Boundary Element Upper Boundary Element Technol
14、ogyTechnology 解某些轴对称三维问题。解某些轴对称三维问题。解某些轴对称三维问题。解某些轴对称三维问题。7.3 Johnson 上限模式的应用上限模式的应用n n例例1:板条平面应变挤压板条平面应变挤压(不考虑死区不考虑死区)如图所示如图所示,挤挤压前板厚压前板厚B=挤压后板厚挤压后板厚b(垂直于板面垂直于板面),挤压比挤压比 。设变形区为一对刚性。设变形区为一对刚性三角形单元三角形单元(ABC)，AB、BC、CA均为速均为速度不连续面。在度不连续面。在AB面上面上:(光滑面无摩擦光滑面无摩擦)。求单位面积上的平均压力求单位面积上的平均压力p的上限解的上限解 n n解解:按照按照J
15、ohnson 上限模式，有上限模式，有 由几何关系可得由几何关系可得:n n由速度关系可得由速度关系可得:画出速端图画出速端图/CA利用速端图得：利用速端图得：(上限解)这种模式求解精度随单元格的细分而提高例如:当 时,上限模式解 1对 2对 3对 4对pv0v1板条平面变形挤压板条平面变形挤压速速端端图图例例例例2:2:不对称板条挤压，不对称板条挤压，不对称板条挤压，不对称板条挤压，B=b B=b；上方上方上方上方:1 1=3=3，流动速度快；，流动速度快；，流动速度快；，流动速度快；下方下方下方下方:2 2=2=2，流动速度慢，流动速度慢，流动速度慢，流动速度慢 求求n n速端图:由Joh
16、nSon上限模式可得：7.4 Avitzur上限模式上限模式 连续速度场模式连续速度场模式vv求解带侧鼓的平锤间压缩圆柱体的求解带侧鼓的平锤间压缩圆柱体的 不均匀变形问题不均匀变形问题 首先考虑均匀压缩首先考虑均匀压缩首先考虑均匀压缩首先考虑均匀压缩 即：即：即：即：V V=0=0，VrVr，VzVz 0 0 由体积不变条件由体积不变条件由体积不变条件由体积不变条件:（轴对称问题的流动方程）（轴对称问题的流动方程）边界条件：边界条件：注意：这里是每个瞬时径向的流动速度。(hz,t)（均匀压缩，（均匀压缩，Vz线性分布）线性分布）接触表面的相对滑动速度为：接触表面的相对滑动速度为：（作为均匀变形
17、问题，到此为止）下面考虑不均匀变形问题：下面考虑不均匀变形问题：（其中（其中A、B为待定参数）为待定参数）v流函数模式及上限单元法（略）总结与复习总结与复习Summarization and Reviewq 场量理论：场量理论：场的定义、分类、特性及稳定性场的定义、分类、特性及稳定性 求和约定求和约定 张量张量 曲线坐标（迪卡尔坐标系为主曲线坐标（迪卡尔坐标系为主极坐标、圆柱坐标、极坐标、圆柱坐标、球坐标球坐标正交曲线坐标）正交曲线坐标）q 应力场应力场（主要是复习）（主要是复习）：应力的定义、点的应力状态、应力张量及分解、特殊应力的定义、点的应力状态、应力张量及分解、特殊应力、应力、应力平衡
18、微分方程及曲线坐标下的表达等等应力平衡微分方程及曲线坐标下的表达等等 Summarization and Review q 应变场：应变场：小应变理论（小应变理论（柯西应变张量或柯西应变张量或应变增量理论）应变增量理论）几何方程及曲线坐标下的表达几何方程及曲线坐标下的表达 应变张量的分解应变张量的分解大变形理论或有限应变理论（大变形理论或有限应变理论（拉格朗日有限应变张量、拉格朗日有限应变张量、欧拉有限应变张量欧拉有限应变张量）对数应变对数应变q 速度场及流函数：速度场及流函数：流动景象的描述、流线与轨迹的表达、应变速率、流流动景象的描述、流线与轨迹的表达、应变速率、流函数及特性、梯度、散度与
19、旋度等函数及特性、梯度、散度与旋度等 Summarization and Reviewq屈服条件与本构方程屈服条件与本构方程：塑性变形力学特点塑性变形力学特点弹性变形本构方程弹性变形本构方程基本假设与塑性变形简化模式基本假设与塑性变形简化模式屈服条件屈服条件 Mises、Tresca屈服准则屈服准则双剪应力准则、双剪应力准则、Hill准则、硬准则、硬 化材料的屈服准则等化材料的屈服准则等塑性本构关系：增量与全量理论塑性本构关系：增量与全量理论塑性势及应用（求解屈服条件与本构关系的关联）塑性势及应用（求解屈服条件与本构关系的关联）Drucker公式与最大塑性功耗原理公式与最大塑性功耗原理 对材料塑性的本质的讨论对材料塑性的本质的讨论Summarization and Reviewq 能量法及应用能量法及应用 极值原理（上限法、下限法）：力平衡极值原理（上限法、下限法）：力平衡能量平衡能量平衡 虚功原理：强调求解思路虚功原理：强调求解思路 Johnson 模式模式（刚性速度场模式）（刚性速度场模式）Avitzur 模式（连续速度场模式）模式（连续速度场模式）力学是基础！力学是基础！博士应博学！博士应博学！学无止境；大胆怀疑！学无止境；大胆怀疑！谢谢 谢！谢！