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1、概率论与数理统计第三讲第三讲 概率的运算法则概率的运算法则经济数学基础第三节 概率的运算法则一、概率的加法公式二、条件概率三、概率的乘法公式一.概率的加法法则性质1性质2（有限可加性）性质3性质4 性质3证明：证明 性质3证明：证明 性质4例1 设有一批产品共100件，其中5件是次品，任取3件，求：至少有一件是次品的概率。解 法一.设A表示“任取三件至少有一件次品”，Bi表示“任取三件恰好有i件次品”，则法二.表示“任取三件全是正品”，而定理1（加法公式）证明：因为且故若A,B互不相容，有一般地，定理1可以推广到多个事件的情形。推论1 若A1,A2,A3为任意三个事件，则例2 设 、为两事件，
2、且设 ，求解而所以于是二、条件概率解解 而求P(B|A)实质上是求在事件A发生的条件下B发生的概率（即甲车间生产的合格品率），由于甲车间产品有60件，而其中合格品有54件 所以 同理 同理(3)可以验证，条件概率P(|A)满足概率公理化定义中的三条公理 定义1为事件A发生的条件下事件B发生的条件概率1 非负性2 规范性3 可列可加性概率概率 P(B|A)与与P(AB)的区别与联系的区别与联系联系联系：事件：事件A，B都发生了都发生了 区别区别：（1）在）在P(B|A)中，事件中，事件A，B发生有时间上的差异，发生有时间上的差异，A先先B后；在后；在P（AB）中，事件）中，事件A，B同时发生。同
3、时发生。（2）样本空间不同，）样本空间不同，在在P(B|A)中，事件中，事件A成为样本成为样本空间；在空间；在P（AB）中，样本空间仍为）中，样本空间仍为 。因而有因而有？例4 一袋中有10 个球，其中3个黑球，7个白球，依次从袋中不放回取两球。试求：已知第一次取出的是黑球，求第二次取出的仍是黑球的概率.解 记因为所以 例例5 考虑恰有两个小孩的家庭，若已知某一家有男孩求这家有两个男孩的概率；若已知某家第一个是男孩，求这家有两个男孩（相当于第二个也是男孩）的概率（假定生男生女为等可能）于是得 所求的两个条件概率为 三、概率的乘法公式定理1（乘法公式）则由归纳法可得：则由可得例6 关于某产品的检验方案为从100件中任取一件，无放回，如为次品，认为不合格；如为正品，再抽一件；如此连续至多4次，如连续抽取4件正品，则认为这批产品合格，现假定这批产品中5%是次品，问产品被拒收的概率。解 设则因此例7 在一次对一年级学生上、下两学期数学成绩的统计调查中发现，上、下两学期成绩均优的学生占5%，仅上学期得优的占7.9%,仅下学期得优的占8.9%.(1)已知某学生上学期得优，求下学期得优的概率；(2)已知某学生上学期没得优，求下学期得优的概率；(3)求上、下学期均未得优的概率。解 设已知故则由已知故 作业习题3