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1、数学建模与数学实验数学建模与数学实验山东工商学院数学学院无约束优化与非无约束优化与非线性规划线性规划 1标准形式：标准形式：1.无约束最优化问题及其求解思想无约束最优化问题及其求解思想求解的思想求解的思想 (以二元函数为例)531连续可微22.2.用用MatlabMatlab解无约束优化问题解无约束优化问题 其中（3）、（4）、（5）的等式右边可选用（1）或（2）的等式右边。函数fminbnd的算法基于黄金分割法和二次插值法，它要求目标函数必须是连续函数，并可能只给出局部最优解。常用格式如下：常用格式如下：（1）x=fminbnd(x=fminbnd(fun,xfun,x1 1,x,x2 2)
2、（2）x=fminbnd(x=fminbnd(fun,xfun,x1 1,x,x2 2 ，options)options)（3）xx，fval=fminbndfval=fminbnd（.）（4）xx，fvalfval，exitflag=fminbndexitflag=fminbnd（.）（5）xx，fvalfval，exitflagexitflag，output=fminbndoutput=fminbnd（.）min f（x）3 主程序为主程序为wliti1.m:wliti1.m:f=2*exp(-x).*sin(x);fplot(f,0,8);%作图语句 xmin,ymin=fminbnd(
3、f,0,8)f1=-2*exp(-x).*sin(x);xmax,ymax=fminbnd(f1,0,8)4例例2 2 对边长为3米的正方形铁板，在四个角剪去相等的正方形以制成方形无盖水槽，问如何剪法使水槽的容积最大？解解先编写先编写M M文件如下文件如下:function f=fun0(x)f=-(3-2*x).2*x;主程序为主程序为wliti2.m:wliti2.m:x,fval=fminbnd(fun0,0,1.5);xmax=x fmax=-fval运算结果为运算结果为:xmax=0.5000,fmax=2.0000.即剪掉的正方形的边长为米时水槽的容积最大,最大容积为2立方米.5
4、命令格式为命令格式为:（1）x=fminuncfminunc（fun,X0）；或x=fminsearchfminsearch（fun,X0）（2）x=fminuncfminunc（fun,X0，options）；或x=fminsearchfminsearch（fun,X0，options）（3）x，fval=fminuncfminunc（.）；或x，fval=fminsearchfminsearch（.）（4）x，fval，exitflag=fminuncfminunc（.）；或x，fval，exitflag=fminsearch fminsearch（.）；（5）x，fval，exitfla
5、g，output=fminuncfminunc（.）；或x，fval，exitflag，output=fminsearchfminsearch（.）、多元函数无约束优化问题、多元函数无约束优化问题标准型为标准型为：min F(X)其中X为n维向量说明说明:fun 是待优化的函数是待优化的函数，X0 是初始值。是初始值。6说明说明:fminsearchfminsearch是用单纯形法寻优是用单纯形法寻优.fminuncfminunc的算法见以下几点说明：的算法见以下几点说明：1 fminunc为无约束优化提供了大型优化和中型优化算法。由options中的参数LargeScale控制：LargeS
6、cale=on(默认值),使用大型算法 LargeScale=off(默认值),使用中型算法2 fminunc为中型优化算法的搜索方向提供了4种算法，由 options中的参数HessUpdate控制：HessUpdate=bfgs（默认值），拟牛顿法的BFGS公式；HessUpdate=dfp，拟牛顿法的DFP公式；HessUpdate=steepdesc，最速下降法3 fminunc为中型优化算法的步长一维搜索提供了两种算法，由options中参数LineSearchType控制 LineSearchType=quadcubic(缺省值)，混合的二次和 三次多项式插值；LineSearch
7、Type=cubicpoly，三次多项式插值7使用使用fminuncfminunc和和 fminsearchfminsearch可能会得到局部最优解可能会得到局部最优解.5output:Iterations:迭代次数；Algorithm:所采用的算法；FuncCount：评价的次数。6options中常用的参数Display:off不显示；iter是迭代信息；final显示最终结果。默认为final。Options可以通过optimset来创建和修改。4exitflag:0表示目标函数收敛于解；0表示已达到函数评价或迭代的最大次数；0表示目标函数不收敛。另外：8例例3 3 min f(x)=(
8、4x12+2x22+4x1x2+2x2+1)*exp(x1)1 1）、编写）、编写M-M-文件文件 fun1.m:fun1.m:function f=fun1(x)f=exp(x(1)*(4*x(1)2+2*x(2)2+4*x(1)*x(2)+2*x(2)+1);2 2）、输入）、输入M M文件如下文件如下:x0=-1,1;x=fminunc(fun1,x0);y=fun1(x)3 3）、运行结果）、运行结果:91 1）.用用fminsearchfminsearch函数求解函数求解输入命令:f=100*(x(2)-x(1)2)2+(1-x(1)2;x,fval,exitflag,output=
9、fminsearch(f,-1.2 2)运行结果:x=1.0000 fval102 2）.用用fminunc fminunc 函数函数(1)建立M-文件fun2.m function f=fun2(x)f=100*(x(2)-x(1)2)2+(1-x(1)2(2)主程序x,fval,exitflag,output=fminunc(fun2,-1.2 2)11 Rosenbrock Rosenbrock函数不同算法的计算结果函数不同算法的计算结果可以看出，最速下降法的结果最差.因为最速下降法特别不适合于从一狭长通道到达最优解的情况.12 定义定义 如果目标函数或约束条件中至少有一个是非线性函数时
10、的最优化问题就叫做非线性规划问题非线性规划问题3.非线性规划的基本概念非线性规划的基本概念 一般形式一般形式:（1）其中 ，是定义在 En 上的实值函数，简记:其它情况其它情况:求目标函数的最大值或约束条件为小于等于零的情况，都可通过取其相反数化为上述一般形式13 定义定义1 1 把满足问题（1）中条件的解 称为可行解可行解（或可行（或可行点点），），所有可行点的集合称为可行集可行集（或（或可行域可行域）记为D即 问题(1)可简记为 定义定义2 2 对于问题(1)，设 ，若存在 ,使得对一切 ，且 ，都有 ，则称X*是f(X)在D上的局部极小值点局部极小值点（局部最优解局部最优解）特别地当 时
11、，则称X*是f(X)在D上的严格局部极小值点严格局部极小值点（严格局部最优解严格局部最优解）定义定义3 3 对于问题(1),设 ,对任意的 ,都有 则称X*是f(X)在D上的全局极小值点全局极小值点（全局最优解全局最优解）特别地当 时，若 ，则称X*是f(X)在D上的严格全局极小值点严格全局极小值点（严格全局最优解严格全局最优解）14用MATLAB软件求解,其输入格式输入格式如下:1.x=quadprog(H,C,A,b);2.x=quadprog(H,C,A,b,Aeq,beq);3.x=quadprog(H,C,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB);4.x=quadprog(H,C,A
12、,b,Aeq,beq,VLB,VUB,X0);5.x=quadprog(H,C,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB,X0,options);6.x,fval=quaprog(.);7.x,fval,exitflag=quaprog(.);8.x,fval,exitflag,output=quaprog(.);4、二次规划、二次规划15例例5 5 min f(x1,x2)=-2x1-6x2+x12-2x1x2+2x22 s.t.x1+x22 -x1+2x22 x10,x20 1、写成标准形式写成标准形式：2、输入命令输入命令：H=2-2;-2 4;c=-2;-6;A=1 1;-1 2;b=2
13、;2;Aeq=;beq=;VLB=0;0;VUB=;x,z=quadprog(H,c,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB)3、运算结果运算结果为：s.t.16 1.首先建立M文件fun.m,定义目标函数F（X）:function f=fun(X);f=F(X);5、一般非线性规划、一般非线性规划 其中X为n维变元向量，G(X)与Ceq(X)均为非线性函数组成的向量，其它变量的含义与线性规划、二次规划中相同.用Matlab求解上述问题，基本步骤分三步：173.建立主程序.非线性规划求解的函数是fmincon,命令的基本格式如下：(1)x=fmincon(fun,X0,A,b)(2)x=fmi
14、ncon(fun,X0,A,b,Aeq,beq)(3)x=fmincon(fun,X0,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB)(4)x=fmincon(fun,X0,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB,nonlcon)(5)x=fmincon(fun,X0,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB,nonlcon,options)(6)x,fval=fmincon(.)(7)x,fval,exitflag=fmincon(.)(8)x,fval,exitflag,output=fmincon(.)输出极值点M文件迭代的初值参数说明变量上下限18注意：注意：1 fmincon函数提供了大型优
15、化算法和中型优化算法。默认时，若在fun函数中提供了梯度（options参数的GradObj设置为on），并且只有上下界存在或只有等式约束，fmincon函数将选择大型算法。当既有等式约束又有梯度约束时，使用中型算法。2 fmincon函数的中型算法使用的是序列二次规划法。在每一步迭代中求解二次规划子问题，并用BFGS法更新拉格朗日Hessian矩阵。3 fmincon函数可能会给出局部最优解，这与初值X0的选取有关。191、写成标准形式写成标准形式：s.t.2x1+3x2 6 s.t x1+4x2 5 x1,x2 0例例6202、先建立先建立M-文件文件 fun3.m:function f=
16、fun3(x);f=-x(1)-2*x(2)+(1/2)*x(1)2+(1/2)*x(2)23、再建立主程序：x0=1;1;A=2 3;1 4;b=6;5;Aeq=;beq=;VLB=0;0;VUB=;x,fval=fmincon(fun3,x0,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB)4、运算结果为：运算结果为：fval211先建立先建立M文件文件 fun4.m,定义目标函数定义目标函数:function f=fun4(x);f=exp(x(1)*(4*x(1)2+2*x(2)2+4*x(1)*x(2)+2*x(2)+1);x1+x2=0 s.t.1.5+x1x2-x1-x2 0 -x1x2
17、 10 0例例72再建立再建立M文件定义非线性约束：文件定义非线性约束：function g,ceq=mycon(x)g=x(1)+x(2);1.5+x(1)*x(2)-x(1)-x(2);-x(1)*x(2)-10;223主程序为主程序为:x0=-1;1;A=;b=;Aeq=1 1;beq=0;vlb=;vub=;x,fval=fmincon(fun4,x0,A,b,Aeq,beq,vlb,vub,mycon)3.运算结果为运算结果为：fval23 例8 1先建立先建立M-文件定义目标函数文件定义目标函数:function f=fun(x);f=-2*x(1)-x(2);2再建立再建立M文件定义非线性约束：文件定义非线性约束：function g,ceq=mycon2(x)g=x(1)2+x(2)2-25;x(1)2-x(2)2-7;243.主程序为主程序为:x0=3;2.5;VLB=0 0;VUB=5 10;x,fval,exitflag,output =fmincon(fun,x0,VLB,VUB,mycon2)254.运算结果为运算结果为:x=fvalexitflag=1output=iterations:4 funcCount:17 stepsize:1 algorithm:1x44 char firstorderopt:cgiterations:26