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1、平均数、标准差与变异系数平均数、标准差与变异系数 第一节第一节 平均数平均数 平均数是统计学中最常用的统计量，用来表明平均数是统计学中最常用的统计量，用来表明平均数是统计学中最常用的统计量，用来表明平均数是统计学中最常用的统计量，用来表明资料中各观测值相对集中较多的中心位置。平均数资料中各观测值相对集中较多的中心位置。平均数资料中各观测值相对集中较多的中心位置。平均数资料中各观测值相对集中较多的中心位置。平均数主要包括有：主要包括有：主要包括有：主要包括有：算术平均数算术平均数算术平均数算术平均数（arithmetic meanarithmetic mean）中位数中位数中位数中位数（medi
2、anmedian）众数众数众数众数（modemode）几何平均数几何平均数几何平均数几何平均数（geometric meangeometric mean）调和平均数调和平均数调和平均数调和平均数（harmonic meanharmonic mean）一、算术平均数一、算术平均数 算术平均数算术平均数是指资料中各观测值的总和除是指资料中各观测值的总和除以观测值个数所得的商，简称以观测值个数所得的商，简称平均数或均数平均数或均数，记为。记为。算术平均数可根据样本大小及分组情况而算术平均数可根据样本大小及分组情况而采用直接法或加权法计算。采用直接法或加权法计算。（三）平均数的基本性质（三）平均数的基
3、本性质 1、样本各观测值与平均数之差的和为零，、样本各观测值与平均数之差的和为零，即即离均差之和等于零离均差之和等于零。或简写成或简写成 式中，式中，式中，式中，NN表示总体所包含的个体数。表示总体所包含的个体数。表示总体所包含的个体数。表示总体所包含的个体数。当一个统计量的数学期望等于所估计的总体参当一个统计量的数学期望等于所估计的总体参当一个统计量的数学期望等于所估计的总体参当一个统计量的数学期望等于所估计的总体参数时，则称此统计量为该总体参数的数时，则称此统计量为该总体参数的数时，则称此统计量为该总体参数的数时，则称此统计量为该总体参数的无偏估计量无偏估计量无偏估计量无偏估计量。统计学中
4、常用样本平均数（统计学中常用样本平均数（统计学中常用样本平均数（统计学中常用样本平均数（）作为总体平均）作为总体平均）作为总体平均）作为总体平均数（数（数（数（）的估计量，并已证明样本平均数是总体平）的估计量，并已证明样本平均数是总体平）的估计量，并已证明样本平均数是总体平）的估计量，并已证明样本平均数是总体平均数均数均数均数 的无偏估计量。的无偏估计量。的无偏估计量。的无偏估计量。二、中位数二、中位数二、中位数二、中位数 将资料内所有观测值从小到大依次排列，位将资料内所有观测值从小到大依次排列，位将资料内所有观测值从小到大依次排列，位将资料内所有观测值从小到大依次排列，位于中间的那个观测值，
5、称为中位数，记为于中间的那个观测值，称为中位数，记为于中间的那个观测值，称为中位数，记为于中间的那个观测值，称为中位数，记为MdMd。当观测值的个数是偶数时，则以中间两个观当观测值的个数是偶数时，则以中间两个观当观测值的个数是偶数时，则以中间两个观当观测值的个数是偶数时，则以中间两个观测值的平均数作为中位数。当所获得的数据资料测值的平均数作为中位数。当所获得的数据资料测值的平均数作为中位数。当所获得的数据资料测值的平均数作为中位数。当所获得的数据资料呈偏态分布时，中位数的代表性优于算术平均数。呈偏态分布时，中位数的代表性优于算术平均数。呈偏态分布时，中位数的代表性优于算术平均数。呈偏态分布时，
6、中位数的代表性优于算术平均数。中位数的计算方法因资料是否分组而有所不中位数的计算方法因资料是否分组而有所不中位数的计算方法因资料是否分组而有所不中位数的计算方法因资料是否分组而有所不同。同。同。同。三、几何平均数三、几何平均数 n n 个观测值相乘之积开个观测值相乘之积开个观测值相乘之积开个观测值相乘之积开 n n 次方所得的方根次方所得的方根次方所得的方根次方所得的方根，称为，称为，称为，称为几何平均数几何平均数几何平均数几何平均数，记为，记为，记为，记为GG。它主要应用于畜牧。它主要应用于畜牧。它主要应用于畜牧。它主要应用于畜牧业、水产业的生产动态分析，畜禽疾病及药物效业、水产业的生产动态
7、分析，畜禽疾病及药物效业、水产业的生产动态分析，畜禽疾病及药物效业、水产业的生产动态分析，畜禽疾病及药物效价的统计分析价的统计分析价的统计分析价的统计分析 。如畜禽如畜禽如畜禽如畜禽 、水产养殖的、水产养殖的、水产养殖的、水产养殖的 增长率，增长率，增长率，增长率，抗体的滴度，药物的效价，畜禽疾病的潜伏期等，抗体的滴度，药物的效价，畜禽疾病的潜伏期等，抗体的滴度，药物的效价，畜禽疾病的潜伏期等，抗体的滴度，药物的效价，畜禽疾病的潜伏期等，用几何平均数比用算术平均数更能代表其平均水用几何平均数比用算术平均数更能代表其平均水用几何平均数比用算术平均数更能代表其平均水用几何平均数比用算术平均数更能代
8、表其平均水平。其计算公式如下：平。其计算公式如下：平。其计算公式如下：平。其计算公式如下：为了计算方便，可将各观测值取对数后相为了计算方便，可将各观测值取对数后相加除以加除以n，得，得lgG，再求，再求lgG的反对数，即得的反对数，即得G值，即值，即 四、众四、众 数数 资料资料 中出现次数最多的那个观测值或次中出现次数最多的那个观测值或次数最多一组的组中值，称为众数，记为数最多一组的组中值，称为众数，记为M0。五、调和平均数五、调和平均数 资料中各观测值倒数的资料中各观测值倒数的 算术平均数算术平均数 的倒的倒数，称为调和平均数数，称为调和平均数，记为，记为H，即，即 （38）调和平均数主要
9、用于反映畜群不同阶段的调和平均数主要用于反映畜群不同阶段的平均增长率或畜群不同规模的平均规模。平均增长率或畜群不同规模的平均规模。对于同一资料：对于同一资料：对于同一资料：对于同一资料：算术平均数算术平均数算术平均数算术平均数几何平均数几何平均数几何平均数几何平均数调和平均数调和平均数调和平均数调和平均数 上述五种平均数，最常用的是算术平均数。上述五种平均数，最常用的是算术平均数。上述五种平均数，最常用的是算术平均数。上述五种平均数，最常用的是算术平均数。第二节第二节 标准差标准差 一、标准差的意义一、标准差的意义 用平均数作为样本的代表，其代表性的强用平均数作为样本的代表，其代表性的强弱受样
10、本资料中各观测值变异程度的影响。仅弱受样本资料中各观测值变异程度的影响。仅用平均数对一个资料的特征作统计描述是不全用平均数对一个资料的特征作统计描述是不全面的，还需引入一个表示资料中观测值变异程面的，还需引入一个表示资料中观测值变异程度大小的统计量。度大小的统计量。全距（极差）全距（极差）全距（极差）全距（极差）是表示资料中各观测值变异是表示资料中各观测值变异是表示资料中各观测值变异是表示资料中各观测值变异程度大小最简便的统计量。但是全距只利用了程度大小最简便的统计量。但是全距只利用了程度大小最简便的统计量。但是全距只利用了程度大小最简便的统计量。但是全距只利用了资料中的最大值和最小值，并不能
11、准确表达资资料中的最大值和最小值，并不能准确表达资资料中的最大值和最小值，并不能准确表达资资料中的最大值和最小值，并不能准确表达资料中各观测值的变异程度，比较粗略。当资料料中各观测值的变异程度，比较粗略。当资料料中各观测值的变异程度，比较粗略。当资料料中各观测值的变异程度，比较粗略。当资料很多而又要迅速对资料的变异程度作出判断时，很多而又要迅速对资料的变异程度作出判断时，很多而又要迅速对资料的变异程度作出判断时，很多而又要迅速对资料的变异程度作出判断时，可以利用全距这个统计量。可以利用全距这个统计量。可以利用全距这个统计量。可以利用全距这个统计量。为为为为 了了了了 准准准准 确确确确 地地地
12、地 表示样本内各个观测值的变表示样本内各个观测值的变表示样本内各个观测值的变表示样本内各个观测值的变异程度异程度异程度异程度 ，人们，人们，人们，人们 首首首首 先会考虑到以平均数为标准，先会考虑到以平均数为标准，先会考虑到以平均数为标准，先会考虑到以平均数为标准，求出各个观测值与平均数的离差，（求出各个观测值与平均数的离差，（求出各个观测值与平均数的离差，（求出各个观测值与平均数的离差，（），称为称为称为称为离均差离均差离均差离均差。虽然离均差能表示一个观测值偏离平均数的虽然离均差能表示一个观测值偏离平均数的虽然离均差能表示一个观测值偏离平均数的虽然离均差能表示一个观测值偏离平均数的性质和程
13、度，但因为离均差有正、有负性质和程度，但因为离均差有正、有负性质和程度，但因为离均差有正、有负性质和程度，但因为离均差有正、有负 ，离均，离均，离均，离均差之和差之和差之和差之和 为零，即（为零，即（为零，即（为零，即（）=0 =0，因，因，因，因 而而而而 不不不不 能能能能 用离均差之和用离均差之和用离均差之和用离均差之和（）来）来）来）来 表表表表 示示示示 资料中所有资料中所有资料中所有资料中所有观测值的总偏离程度。观测值的总偏离程度。观测值的总偏离程度。观测值的总偏离程度。为了解决离均差有正为了解决离均差有正、有负，离均差之、有负，离均差之和为零的问和为零的问 题题 ，可先求可先求
14、离离 均均 差的绝差的绝 对对 值值 并并 将将 各各 离离 均均 差差 绝对绝对 值值 之之 和和 除以除以 观观 测测 值值 个个 数数 n 求求 得得 平平 均均 绝绝 对对 离差，即离差，即|/n。虽然平均绝对离差可以表示资。虽然平均绝对离差可以表示资料中各观测值的变异程度料中各观测值的变异程度，但由于平均绝对，但由于平均绝对离差包含绝对值符号离差包含绝对值符号，使用很不方便，在统，使用很不方便，在统计学中未被采用。计学中未被采用。我们还可以采用将离均差平方的办法来解决离均我们还可以采用将离均差平方的办法来解决离均我们还可以采用将离均差平方的办法来解决离均我们还可以采用将离均差平方的办
15、法来解决离均差有正、有负，离均差之和为零的问题。差有正、有负，离均差之和为零的问题。差有正、有负，离均差之和为零的问题。差有正、有负，离均差之和为零的问题。先将各先将各先将各先将各 个离个离个离个离 均差平方，即均差平方，即均差平方，即均差平方，即()()2 2 ，再求，再求，再求，再求 离均离均离均离均差平方和差平方和差平方和差平方和 ，即即即即 ，简称，简称，简称，简称平方和平方和平方和平方和，记为，记为，记为，记为SSSS；由由由由 于于于于 离差平方和离差平方和离差平方和离差平方和 常常常常 随随随随 样样样样 本本本本 大大大大 小小小小 而而而而 改改改改 变变变变 ，为，为，为，
16、为 了了了了 消消消消 除除除除 样样样样 本大小本大小本大小本大小 的的的的 影影影影 响响响响 ，用平方和用平方和用平方和用平方和 除除除除 以以以以 样样样样 本本本本 大大大大 小，小，小，小，即即即即 ，求出离均差平方和的平均数，求出离均差平方和的平均数，求出离均差平方和的平均数，求出离均差平方和的平均数 ；为了使所得的统计量是相应总体参数的无为了使所得的统计量是相应总体参数的无为了使所得的统计量是相应总体参数的无为了使所得的统计量是相应总体参数的无 偏偏偏偏估计量，统计学证明，在求离均差平方和的平均估计量，统计学证明，在求离均差平方和的平均估计量，统计学证明，在求离均差平方和的平均
17、估计量，统计学证明，在求离均差平方和的平均数时，分母不用样本含量数时，分母不用样本含量数时，分母不用样本含量数时，分母不用样本含量n n，而用自由度，而用自由度，而用自由度，而用自由度 n-n-1 1，于是，我们于是，我们于是，我们于是，我们 采采采采 用统计量用统计量用统计量用统计量 表示资料表示资料表示资料表示资料的变异程度。的变异程度。的变异程度。的变异程度。统计量统计量统计量统计量 称称称称 为为为为 均均均均 方方方方 （mean squaremean square缩写为缩写为缩写为缩写为MSMS）,又称又称又称又称样本方差样本方差样本方差样本方差，记，记，记，记为为为为S S2 2
18、，即，即，即，即 S S2 2=相应的总体参数叫相应的总体参数叫 总体方差总体方差，记为记为2。对于有限总体而言，。对于有限总体而言，2的的计算公式为：计算公式为：由于由于 样本方差样本方差 带有原观测单位的带有原观测单位的 平方平方单位，在仅表示一个资料中各观测值的变异单位，在仅表示一个资料中各观测值的变异程度而不作其它分析时程度而不作其它分析时 ，常需要与平均数常需要与平均数配合使用配合使用，这，这 时应时应 将平方单位还原，即应将平方单位还原，即应求出样本方差的平方根。统计学上把样本方求出样本方差的平方根。统计学上把样本方差差 S2 的平方根叫做的平方根叫做样本标准样本标准 差差，记为，
19、记为S，即：即：由于由于 所以（所以（3-11）式可改写为：）式可改写为：（3-12）相应的总体参数叫相应的总体参数叫总体标准差总体标准差，记，记为为。对于有限总体而言，。对于有限总体而言，的计算公式的计算公式为：为：（3-13）在统计学中，常用样本标准差在统计学中，常用样本标准差S估计估计总体标准差总体标准差。标准差的特性标准差的特性标准差的特性标准差的特性 （一）（一）（一）（一）标准差的大小，受资料中每个观测值的影标准差的大小，受资料中每个观测值的影标准差的大小，受资料中每个观测值的影标准差的大小，受资料中每个观测值的影响，如观测值间变异大，求得的标准差也大，反之则响，如观测值间变异大，
20、求得的标准差也大，反之则响，如观测值间变异大，求得的标准差也大，反之则响，如观测值间变异大，求得的标准差也大，反之则小。小。小。小。（二）（二）（二）（二）在计算标准差时，在各观测值加上或减去在计算标准差时，在各观测值加上或减去在计算标准差时，在各观测值加上或减去在计算标准差时，在各观测值加上或减去一个常数，其数值不变。一个常数，其数值不变。一个常数，其数值不变。一个常数，其数值不变。（三）（三）（三）（三）当每个观测值乘以或除以一个常数当每个观测值乘以或除以一个常数当每个观测值乘以或除以一个常数当每个观测值乘以或除以一个常数a a，则所，则所，则所，则所得的标准差是原来标准差的得的标准差是原
21、来标准差的得的标准差是原来标准差的得的标准差是原来标准差的a a倍或倍或倍或倍或1 1/a/a倍。倍。倍。倍。（四）（四）在资料服从正态分布的条件下，资在资料服从正态分布的条件下，资料中约有料中约有68.26%的观测值在平均数左右一的观测值在平均数左右一倍标准差（倍标准差（S）范围内；约有）范围内；约有95.43%的观测值在平均数左右两倍标准差（的观测值在平均数左右两倍标准差（2S）范围内；约有）范围内；约有99.73%的观测值在平的观测值在平均数左右三倍标准差（均数左右三倍标准差（3S）范范 围内。围内。也就是说全距近似地等于也就是说全距近似地等于6倍标准差，可用倍标准差，可用（全距（全距/
22、6）来粗略估计标准差。）来粗略估计标准差。第三节第三节 变异系数变异系数 变异系数是衡量资料中各观测值变异变异系数是衡量资料中各观测值变异 程度的另一个统计量程度的另一个统计量。标标 准差与平均数的比值称为准差与平均数的比值称为 变异系数变异系数，记为记为CV。变异系数可以消除单位变异系数可以消除单位 和和（或）平（或）平 均数不同对两个或多个资料变异程度比较均数不同对两个或多个资料变异程度比较的影响。的影响。变异系数的计算公式为：变异系数的计算公式为：（315）注意，变异系数的大小，同时受平均数和注意，变异系数的大小，同时受平均数和标准差两个统计量的影响，因而在利用变异系标准差两个统计量的影响，因而在利用变异系数表示资料的变异程度时，最好将平均数和标数表示资料的变异程度时，最好将平均数和标准差也列出。准差也列出。