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1、第7章 荷载的统计分析概率论与数理统计中的几个基本概念概率论与数理统计中的几个基本概念确定性现象：一定条件下某事件必然发生或必然不发生，确定性现象：一定条件下某事件必然发生或必然不发生，如如1个标准大气压下，水加热到个标准大气压下，水加热到100C必然沸腾。必然沸腾。随机性现象：一定条件下可能出现这样或那样的结果，随机性现象：一定条件下可能出现这样或那样的结果，事前不能准确预言，如抛硬币。事前不能准确预言，如抛硬币。统计规律性：抛硬币试验中，只要试验次数足够多，那统计规律性：抛硬币试验中，只要试验次数足够多，那么出现正（反）面向上的几率就越接近么出现正（反）面向上的几率就越接近50。离散型：离
2、散型：概率分布：概率分布：连续型：连续型：二点分布二点分布二项分布二项分布泊松分布泊松分布超几何分布超几何分布均匀分布均匀分布指数分布指数分布正态分布正态分布分布分布有关正态分布的一个小例子有关正态分布的一个小例子某班考试成绩分析 正态分布概率正态分布概率密度函数密度函数荷载、材料的强度、荷载、材料的强度、构件的尺寸等构件的尺寸等方差（方差（Variance）：）：实际值与期望值之差平方的实际值与期望值之差平方的平均值。平均值。标准差（标准差（Standard deviation）：）：方差的平方根。方差的平方根。变异系数：变异系数：标准差与均值的比值。标准差与均值的比值。两组砖的重量，单位k
3、g均均值值都都为为，但第一，但第一组组方差小，数据集中，第方差小，数据集中，第二二组组方差大，方差大，结结果离散性大，不果离散性大，不稳稳定定 荷载的概率模型荷载的概率模型 平稳随机过程模型：平稳随机过程模型：平稳随机过程模型：平稳随机过程模型：永久荷载永久荷载永久荷载永久荷载 设计基准期内其量值不随时间变化，或其变设计基准期内其量值不随时间变化，或其变设计基准期内其量值不随时间变化，或其变设计基准期内其量值不随时间变化，或其变化与平均值相比可以忽略不计。化与平均值相比可以忽略不计。化与平均值相比可以忽略不计。化与平均值相比可以忽略不计。按随时间的变异分类：按随时间的变异分类：按随时间的变异分
4、类：按随时间的变异分类：持久持久持久持久(可变可变可变可变)荷载荷载荷载荷载设计基准期内其量值随时间变化，且设计基准期内其量值随时间变化，且设计基准期内其量值随时间变化，且设计基准期内其量值随时间变化，且其变化与平均值相比不可忽略其变化与平均值相比不可忽略其变化与平均值相比不可忽略其变化与平均值相比不可忽略 。按随时间的变异分类：按随时间的变异分类：按随时间的变异分类：按随时间的变异分类：偶然作用偶然作用偶然作用偶然作用/荷载荷载荷载荷载设计基准期内出现或不一定出现，而一设计基准期内出现或不一定出现，而一设计基准期内出现或不一定出现，而一设计基准期内出现或不一定出现，而一旦出现其量值很大且持续
5、时间很短，如风压和地震旦出现其量值很大且持续时间很短，如风压和地震旦出现其量值很大且持续时间很短，如风压和地震旦出现其量值很大且持续时间很短，如风压和地震在相同条件下的同类结构上作用的以上各类荷载在任在相同条件下的同类结构上作用的以上各类荷载在任一确定时刻的量值进行统计，发现该量值为一随机变一确定时刻的量值进行统计，发现该量值为一随机变量量Q。由于不同时刻任意时点荷载将不同，因此荷载。由于不同时刻任意时点荷载将不同，因此荷载实际上是一个随时间变化的实际上是一个随时间变化的随机变量随机变量，数学上用，数学上用随机随机过程过程概率模型来描述。概率模型来描述。平平稳稳二二项项随机随机过过程的假定程的
6、假定（1）根据荷）根据荷载载每每变动变动一次在一次在结结构上的构上的时间长时间长短，将短，将设计设计基准期基准期T等分等分为为r个相等的个相等的时时段段，或，或认为设计认为设计基基准期准期T内荷内荷载载均匀均匀变动变动 r=T/(2)在每个在每个时时段段内，荷内，荷载载Q出出现现(即即Q0)的概率的概率为为p，不出，不出现现(即即Q=0)的概率的概率为为q=1-p（3）在每一）在每一时时段段内，荷内，荷载载出出现时现时，其幅，其幅值值是非是非负负的的随机随机变变量，且在不同量，且在不同时时段上的概率分布是相同的，段上的概率分布是相同的，记记时时段段内的荷内的荷载载概率分布概率分布为为（4）不同
7、）不同时时段段上的荷上的荷载载幅幅值值随机随机变变量相互独立，且量相互独立，且与在与在时时段段上是否出上是否出现现荷荷载载无关。无关。由上述假定，可由荷由上述假定，可由荷载载的任意的任意时时点分布，点分布，导导得荷得荷载载在在设设计计基准期基准期T内最大内最大QT的概率分布的概率分布FT（x）。）。为为此，先确定此，先确定任一任一时时段内的荷段内的荷载载概率分布概率分布F(x)。显然当显然当P=1时，时，N=r，则由（，则由（7-2）设荷载在设荷载在T年内出现的平均次数为年内出现的平均次数为N，则，则（7-1）（7-3）FT(x)=1-p1-Fi(x)T则则（7-2）（7-4）N=pr则则显然
8、当显然当P1时，利用近似关系式时，利用近似关系式 e-x=1-x x为小数为小数若式（若式（7-2）中）中p1-Fi(x)充分小，则充分小，则 FT(x)Fi(x)NFT(x)e-p1-Fi(x)推得推得采用平稳二项随机过程模型确定设计基采用平稳二项随机过程模型确定设计基准期准期T T内的荷载最大值的概率分布内的荷载最大值的概率分布 FT(x)需已知需已知三个量三个量：荷载在T内变动次数r或变动一次的时间；在每个时段内荷载出现的概率p；以及荷载在任意时点概率分布Fi(x)FT(x)和和Fi(x)的统计参数关系的统计参数关系在下列情况下，可以直接由任意时点荷载概率分布在下列情况下，可以直接由任意
9、时点荷载概率分布Fi(x)的统计参数推求设计基准期的统计参数推求设计基准期T内荷载概率分布内荷载概率分布FT(x)的统计参数。的统计参数。1、Fi(x)为正态分布为正态分布 可证明可证明FT(x)也近似服从正态分布也近似服从正态分布2、Fi(x)为极值为极值型分布型分布 可证明可证明FT(x)仍为仍为极值型极值型 荷载的各种代表值荷载的各种代表值代表值：设计中用以验算极限状态所采用的荷代表值：设计中用以验算极限状态所采用的荷 载量值，如载量值，如标准值、组合值、频遇值标准值、组合值、频遇值标准值、组合值、频遇值标准值、组合值、频遇值 和和准永久值准永久值准永久值准永久值。恒荷载只有一个代表值恒
10、荷载只有一个代表值标准值。标准值。荷载的各种代表值荷载的各种代表值vv标准值：标准值：荷载的基本代表值，其他代表值可以在荷载的基本代表值，其他代表值可以在标准值的基础上换算得到。标准值的基础上换算得到。为设计基准期内最大荷为设计基准期内最大荷载统计分布的特征值载统计分布的特征值。荷载荷载标准值标准值QT可以定义为可以定义为在结构设计基准期在结构设计基准期T内具有不被超越的概率内具有不被超越的概率pk。v荷载的荷载的标准值也可采用标准值也可采用重现期重现期Tk来定义来定义。重现期为重现期为Tk的荷载值，也称为的荷载值，也称为Tk年一遇的值，年一遇的值，即在年分布中可能出现大于此值的概率为即在年分
11、布中可能出现大于此值的概率为1/Tk正态分布，均值正态分布，均值X,保证率为保证率为50，X+，保证率，保证率，保证率，保证率95荷载的各种代表值荷载的各种代表值荷载的各种代表值荷载的各种代表值准永久值：准永久值：准永久值：准永久值：在结构上经常作用的可变荷载值，它在在结构上经常作用的可变荷载值，它在设计基准期内具有较长的作用时间，对结构的影响设计基准期内具有较长的作用时间，对结构的影响相似于永久荷载，其数值依靠在设计基准期内相似于永久荷载，其数值依靠在设计基准期内达到达到和超越该值的总持续时间和超越该值的总持续时间与与设计基准期设计基准期时间的比值时间的比值（大于等于（大于等于50）而定。）
12、而定。可变荷载在设计基准期内超越的总时间约为设可变荷载在设计基准期内超越的总时间约为设可变荷载在设计基准期内超越的总时间约为设可变荷载在设计基准期内超越的总时间约为设计基准期一半的荷载值（任意点荷载概率分布的中计基准期一半的荷载值（任意点荷载概率分布的中计基准期一半的荷载值（任意点荷载概率分布的中计基准期一半的荷载值（任意点荷载概率分布的中位值）。位值）。位值）。位值）。办公楼、住宅办公楼、住宅办公楼、住宅办公楼、住宅Qx 荷载的准永久值荷载的准永久值荷载的各种代表值荷载的各种代表值荷载的各种代表值荷载的各种代表值 频遇值：频遇值：频遇值：频遇值：可变荷载在设计基准期内被超越的总时间仅为可变荷
13、载在设计基准期内被超越的总时间仅为设计基准期的一小部分（设计基准期的一小部分（50%）或在设计基准期内其）或在设计基准期内其被超越频率为规定频率（被超越频率为规定频率（准永久值系数准永久值系数荷载的各种代表值荷载的各种代表值 组合值：组合值：组合值：组合值：多个可变荷载组合后在设计基准期内超越概率多个可变荷载组合后在设计基准期内超越概率与单独出现时相应概率趋于一致，或组合后结构具有统与单独出现时相应概率趋于一致，或组合后结构具有统一规定的可靠指标的荷载值。一规定的可靠指标的荷载值。民用建筑楼面均布活荷载标准值及其组合值民用建筑楼面均布活荷载标准值及其组合值,频遇值和准永久值系数频遇值和准永久值
14、系数0.40.50.50.60.72.0(1)住宅、宿舍、旅馆、办公楼、医院病房、托儿所、幼儿园(2)教室、试验室、阅览室、会议室、医院门诊室1准永久值准永久值系数系数q频遇值频遇值系数系数f组合值组合值系数系数c标准值标准值(kN/m2)类别类别项项次次0.70.73.03.0(1)礼堂、剧场、电影院、有固定座位的看台(2)公共洗衣房30.72.5食堂、餐厅、一般资料档案室20.30.50.50.60.50.6 荷载效应及荷载效应组合 荷载效应荷载效应对应于线弹性结构：结构的荷载效应对应于线弹性结构：结构的荷载效应S与荷载与荷载Q之间呈之间呈线性关系。线性关系。S=CQ荷载效应系数荷载效应系
15、数C。与。与结构形式、荷载形式结构形式、荷载形式及及效应类型效应类型有关。有关。荷载效应系数与结构的尺寸、结构的截面特性和材料荷载效应系数与结构的尺寸、结构的截面特性和材料的特性相关。与荷载的变异性相比，荷载效应系数的的特性相关。与荷载的变异性相比，荷载效应系数的变异性小，可以近似为常数。荷载效应的概率特性变异性小，可以近似为常数。荷载效应的概率特性（概率分布）与荷载的概率特性将相同。（概率分布）与荷载的概率特性将相同。统计参数统计参数：ms=CmQ、s=CQ统计参数：统计参数：=/m、s=Q 荷载效应组合荷载效应组合结构在设计基准期内，可能承受恒载及两种以上的可变荷载，几种可变荷载在设计基准
16、期内以其最大值相遇的概率很小。因此，为确保结构安全，除了单一荷载效应的概率分布外，还必须研究多个荷载效应组合的概率分布问题。1、Turkstra组合2、JCSS组合3、我国规范：基本组合、标准组合、准永久组合、频遇组合。第第8章章 结构抗力的统计分析结构抗力的统计分析 结构抗力的不定性结构抗力的不定性结构抗力：结构承受外加作用的能力。结构抗力：结构承受外加作用的能力。整体结构整体结构抗力抗力结构构件结构构件抗力抗力 构件截面构件截面抗力抗力截面各点截面各点抗力：钢筋、混凝土各纤维高度。抗力：钢筋、混凝土各纤维高度。结构的抗力与结构的作用效应相对应结构的抗力与结构的作用效应相对应结构的承载力结构
17、的承载力-作用效应产生的内力作用效应产生的内力 强度强度结构抵抗变形的能力结构抵抗变形的能力-作用效用产生的变形作用效用产生的变形 刚度刚度变形验算：结构构件或结构整体变形验算：结构构件或结构整体承载力的验算或计算：结构构件。承载力的验算或计算：结构构件。整体：力学整体：力学+延性延性 材料性能不定性材料性能不定性 Xm几何参数不定性几何参数不定性 Xa计算模式不定性计算模式不定性 Xp结构的抗力是多元随机变量的函数结构的抗力是多元随机变量的函数确定结构构件的统计参数和分布类型非常困难确定结构构件的统计参数和分布类型非常困难统计参数：统计参数：对主要因素分别统计分析的基础上对主要因素分别统计分
18、析的基础上求出。求出。概率分布类型：概率分布类型：据各主要影响因素的概率分布据各主要影响因素的概率分布类型，应类型，应 数学分析或经验判断的方法确定。数学分析或经验判断的方法确定。结构构件的抗力的主要影响因素：结构构件的抗力的主要影响因素：在推求结构构件抗力及其各项影响的统计参数时，通常采用下列近似公式：随机随机变变量量Y均均值值：方差：方差：变变异系数异系数：结构构件材料性能的不定性结构构件材料性能的不定性由于材料本身品质的差异，以及制作工艺、环境条件由于材料本身品质的差异，以及制作工艺、环境条件等因素引起的材料性能的变异所导致的。等因素引起的材料性能的变异所导致的。强度强度：混凝土（拉、压
19、、剪）、钢筋（拉、压、剪）刚度刚度：弹性模量（剪切模量）、面积（高宽）、惯性矩、抵抗矩等。结构构件材料的不定性用随即变量Xm表达令：则：均值：变异系数：材料Q235f钢的屈服强度的统计参数。试件材料强度的平均值f y三2；试件材料强度标准差fy=21.3 N/mm2实际构件中材料的屈服强度低于试件材料的屈服强度两者比值的均值：X0；方差X0；规范规定的构件材料屈服强度值为：k0 fk=240 N/mm2fy=fy/fy；X0=X0/X0；fy=X0fs/k0 fk 结构构件几何参数的不定性结构构件几何参数的不定性由于制作安装后实际结构与设计中预期的几何特征会有差异，构成了构件的几何参数的不定性
20、。结构的几何参数的统计参数，可根据正常生产情况下结构构件的几何尺寸实测数据，经统计分析得到。钢管面积的统计参数钢管外径均值：D;变异系数：D;钢管壁厚均值：t;变异系数：t；A=/4D2-(d-2t)2=t(D-t)均值：将外径及壁厚的均值带入求得；A=t(D-t方差：变异系数：结构构件计算模式的不定性结构构件计算模式的不定性抗力计算中采用的基本假定不完全符合实际抗力计算中采用的基本假定不完全符合实际或计算公式的近似引起的变异。或计算公式的近似引起的变异。理想的弹性、理想的塑性、均值、各向同性、平截面理想的弹性、理想的塑性、均值、各向同性、平截面变形、小变形变形、小变形等假定，采用等假定，采用
21、铰支、固定端支撑等铰支、固定端支撑等理想理想边界条件，采用边界条件，采用线性化方法线性化方法来简化分析计算等。来简化分析计算等。钢筋混凝土梁斜压抗剪强度计算公式的统计参数钢筋混凝土梁斜压抗剪强度计算公式的统计参数。实测值：实际测得的斜压破坏时对应的剪力值。实测值：实际测得的斜压破坏时对应的剪力值。计算值：将实测数据代入计算公式所得的强度值。计算值：将实测数据代入计算公式所得的强度值。结构构件抗力的统计特征结构构件抗力的统计特征 结构构件抗力的统计参数结构构件抗力的统计参数结构构件可能有几种材料组成，故有：对于结构构件为单一材料构成，则可以简化为：则：令：此时R的变异系数为 结构构件抗力的分布类
22、型结构构件抗力的分布类型结构抗力结构抗力R是多个随机变量的函数是多个随机变量的函数。即使每个随机变量的分布函数已知，在理论上推求抗力R的概率分布函数也很困难。概率论的中心极限定理：如果一个随机变量概率论的中心极限定理：如果一个随机变量Y是由很多是由很多独立随机变量独立随机变量X1、X2、Xn的乘积构成的，即的乘积构成的，即Y=Xi，则，则lnY=lnXi趋近于正态分布，而趋近于正态分布，而Y的分布则为的分布则为对数对数正态分布。正态分布。均值：将各个随机变量带入公式求得。方差：偏导数代入均值乘以其各自方差的平方和。思考题思考题 将荷载处理为平稳二项随机过程有何优点？将荷载处理为平稳二项随机过程有何优点？荷载有哪些代表值？有何意义？荷载有哪些代表值？有何意义？荷载效应与荷载有何区别？有何联系？荷载效应与荷载有何区别？有何联系？结构抗力的含义是什么？结构抗力的含义是什么？影响结构抗力的因素有哪些？影响结构抗力的因素有哪些？结构材料不定性是什么原因引起的？结构材料不定性是什么原因引起的？结构构件的抗力分布可近似为什么类型？其统计参数如结构构件的抗力分布可近似为什么类型？其统计参数如何让计算？何让计算？