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1、第四章 概率和概率分布一、概率与频率一、概率与频率o必然现象：必然现象：在一定条件下一定发生的现象。o必然事件：必然现象的结果。o不可能事件：在一定条件必然不会发生的事情。例：（1）在标准大气压下，纯水加热到100摄氏度，必然会沸腾。（2）投出去的标枪必然会落到地面上。随机事件随机事件o随机现象随机现象：在一定条件下可能发生或可能不发生的现象称为随机现象。o随机试验随机试验：任何一个试验,满足：（1）可在相同条件下重复进行；（2）每次试验得到多个结果；（3）每次试验前不能肯定这次试验将得到什么结果。o例：投掷硬币观察哪一面向上，要求某学生投篮并了解其投篮技术，均为做了一次试验。掷硬币投篮均为随
2、机试验。o随机事件随机事件：随机试验的结果称称为随机事件。一般以大写英文字母A、B、C等表示。例：（1）投篮：投中、投不中是两个随机事件。（2）掷骰子：1点，2点，6点，点数 大于3，点数为奇数，等等均为随机事件。随机事件的概率随机事件的概率o频率频率：随机事件A在n次重复实验中发生了m次则比值m/n称为随机事件A的频率。记作：W(A)=m/n。o含义含义：反映随机事件发生的频繁程度。o频率的频率的稳定性稳定性：随着试验次数的增加，随机事件的频率逐渐稳定在某一个常数附近，这一特性称为频率的稳定性。投硬投硬币币次次数数正面正面向向上上频频率率10104 440%40%100100454545%4
3、5%20020010510552.552.5%50050024024048%48%1000100049549549.549.5%10000100005025502550.2550.25%例：数学家贝努里关于抛硬币的实验。例：数学家贝努里关于抛硬币的实验。o概率概率：随机事件A的频率W(A)随着试验次数的变化而变化，当n充分大时，频率W(A)越来越接近于一个常数p则这个常数p成为随机事件A的概率，记作p(A)即 随机事件A的概率的取值范围（0,1）概率与频率的区别和联系概率与频率的区别和联系（1）概率准确地反映随机现象的内在规律内在规律，往往是未未知知的；频率是通过随机现象反映其内在规律，试验后
4、，便是己知己知的。（2）概率是事件发生的可能性大小的量度，不随试验次数的变化而变化，只要条件不变，每次试验中某事件发生的概率都是一样的；而频率随试验次数的变化而变化，具有随机性随机性。（3）随着试验次数的增大，频率呈现出稳定的趋势，围绕着概率波动，并随试验次数的无限增大，频率以概率为极限，所以，当试验次数n很大时，人们往往用频率 去近似代替概率P。小概率事件原则o小概率事件小概率事件：概率必须很小，那么，究竟要小到什么程度？在体育统计中一般认为在以下为小。o小概率事件原则小概率事件原则：小概率事件在一次试验中是不会发生的。o 一次试验一次试验：若多次试验，尽管是小概率事件，也很可能发生。o原则
5、原则：这是个原则，不是定理，有人为规定的含义，存在犯错误的风险，但是犯错误的概率又是小概率。所以人们共同遵循。二、正态分布o正态分布正态分布：靠近均数分布的频数最多，离开均数越远，分布的数据越少，左右两侧基本对称，这种中间多、两侧逐渐减少的基本对称的分布，称为正态分布。o正态分布是应用最广泛的一种连续型分布。o正态分布在十九世纪前叶由高斯加以推广，所以通常称为高斯分布。身高的分布(a)(b)(d)(c)正态分布的概率密度函数 o如果随机变量X的概率密度函数 则称X服从正态分布,记作XN(,2)，其中，为分布的均数，为分布的标准差。(-X+)正态分布图示x0.1.2.3.4f(x)o正态曲线正态
6、曲线：是一条中央高，两侧逐渐下降、低平，两端无限延伸，与横轴相靠而不相交，左右完全对称的钟形曲线，称为正态曲线。o正态分布是对称分布，但是对称分布不一定是正态分布。正态分布曲线的性质（1）曲线在X轴上方，X轴是他的一条水渐近线。（2）它的图像是由两个参数决定的：均数均数决定他的位置位置，即在图像在x=处对称，并且在该处取到最大值。标准差标准差决定他的形状形状，标准差越小小，图像越瘦高瘦高；标准差越大大，图像越扁平扁平。（3）曲线与X轴之间的面积等于1。方差相等、均数不等的正态分布图示312均数相等、方差不等的正态分布图示213 max（1）y2y1的含义。表示x2处数据分布的密集程度大于x1处
7、。由于均数的含义可知均数是一组数据中分布最密集的位置，所以在均数处取到最大值。（2）阴影部分面积的含义？表示落入x1与x2之间的数据占总体的百分比。（3）为什么标准差越小，图像越瘦高？（定性分析）因为标准差越小，说明数据分布的密集程度就越大，那么落入x1和x2之间的数据就增加，那么阴影部分的面积就增加，而区间长度不变，所以图像只能向高处发展。标准正态分布o标准正态分布是均数为0，标准差为1的正态分布。o记为N(0,1)。o标准正态分布是一条曲线。o概率密度函数：(-u+)正态分布转换为标准正态分布o若 XN(,2)，作变换：则u服从标准正态分布。ou称为标准化公式（把一般的正态分布转化成标准正
8、态分布）。或或标准正态分布的重要性o一般的正态分布取决于均值和标准差 o计算概率时，每一个正态分布都需要有自己的正态概率分布表，这种表格是无穷多的o若能将一般的正态分布转化为标准正态分布，计算概率时只需要查一张表。标准正态分布表（p287、288）u0.0287 0.0274 0.02620.0548 0.0526 00u例：例：P(uP(uP(uP(u例1、求求p(u0.96)p(u0.96)。0.96查表：查表：p(u0.96)p(u0.96)p(u0.96)。0.96查表：查表：p(u0.96)=1-p(u0.96)=1-p(u0.96)例例3 3、已知、，求已知、，求p(0.14u1.
9、52)p(0.14u1.52)。0.141.52查表：查表：p(0.14u1.52)p(0.14u1.52)=p(u1.52)-p(u0.14)=p(u1.52)-p(u0.14)（2）已知u落在某个区间的概率p0，求u。例4：p(u，求x。xP=0.8315查表：已知：p(u0.96)p(u0.96)所以：例5：p(u，求x。xP=0.7141查表可知：P(u0.56)=0.7123,即p1时,x1P(u0.57)=0.7157,即p2时,x2插值公式：把 时 时,x2=0.57 带入得：（3）已知x值,求x落在某个区间的概率.例6：已知xN(10,9)，求p(x13)。10 13解：先标准
10、化查表得（4）已知x落在某个区间的概率p0,求x.例7：已知XN（10，4），P（Xx)=0.8,求x。10 x解：先查表得 P(u0.8 由标准化公式可知：所以：总结关于查表的四种情况（1）已知u值，求u落在某个区间的概率值。（2）已知u落在某个区间的概率p0，求u。（3）已知x值，求x落在某个区间的概率值。（4）已知x落在某个区间的概率p0，求x。正态曲线下的常用面积2.5%2.5%95%正态曲线下的常用面积-1.64+1.645%5%90%正态曲线下的常用面积0.5%0.5%99%正态分布的应用（1）利用正态分布估计实际情况 例9：某大型网球中心，每天接待的人数x服从正态分布，其均数=8
11、00 人，标准差=150 人，试求：每天接待人数在 6501000人之间的概率。解解：6508001000先标准化：查表：查表：（2）确定参考值范围例例9 9、现有10000名成年男子，假定身高服从正态分布，其均数=175厘米，标准差=15 厘米。估计这些人中，以均数为中心，概率为75%的身高区间是多少？x标准化公式：175y黄色阴影部黄色阴影部分面积为分面积为0.3751u解：查表得：P(u所以：u1（3）用正态分布比较不同运动项目成绩的优劣o例10：某人推铅球的成绩为米，另一人的400米跑成绩为55秒，这两个人谁的运动成绩好些？本章重点内容o概率与频率的概念，以及它们之间的关系；o小概率事件原则；o正态分布曲线的性质；o正态分布标准化公式；o标准正态分布表；o正态分布的两个应用。0 xy max假设假设p=0.2那么阴那么阴影部分面积的含影部分面积的含义？义？