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1、第三章第三章 系统的时域响应分析系统的时域响应分析3.1 3.1 3.1 3.1 时间响应及其组成时间响应及其组成时间响应及其组成时间响应及其组成（1 1 1 1）时间响应概念）时间响应概念）时间响应概念）时间响应概念时间响应：时间响应：时间响应：时间响应：系统的响应（输出）在时域上的表现形式，系统的响应（输出）在时域上的表现形式，系统的响应（输出）在时域上的表现形式，系统的响应（输出）在时域上的表现形式，或系统的动力学方程在一定初始条件下的解。或系统的动力学方程在一定初始条件下的解。或系统的动力学方程在一定初始条件下的解。或系统的动力学方程在一定初始条件下的解。动动动动力学方程力学方程力学方
2、程力学方程为为为为：例例例例1 1 1 1 无阻尼的单自由度系统无阻尼的单自由度系统无阻尼的单自由度系统无阻尼的单自由度系统 根据微分方程的结构理论：根据微分方程的结构理论：根据微分方程的结构理论：根据微分方程的结构理论：通解通解特解特解动力学方程动力学方程动力学方程动力学方程的解？的解？的解？的解？二阶线性非齐次方程二阶线性非齐次方程根据根据根据根据 求通解求通解求通解求通解y y1 1(t t)当特征方程当特征方程当特征方程当特征方程 中有一对共轭复根中有一对共轭复根中有一对共轭复根中有一对共轭复根 时时时时特征方程为特征方程为特征方程为特征方程为当当当当 时时时时其中：当其中：当其中：当
3、其中：当 为特征方程根为特征方程根为特征方程根为特征方程根,则则则则=1=1=1=1；否则；否则；否则；否则 =0=0=0=0。根据根据根据根据 求特解求特解求特解求特解y y2 2(t t)代入原方程可求得代入原方程可求得代入原方程可求得代入原方程可求得,b b=maxmax(l l,n n)。特征根特征根特征根特征根代入原方程得代入原方程得代入原方程得代入原方程得A A A A、B B B B根据初始条件及上式决定：根据初始条件及上式决定：根据初始条件及上式决定：根据初始条件及上式决定：，按响应的来源分为：按响应的来源分为：零状态响应：零状态响应：零状态响应：零状态响应：初始状态为零时，系
4、统输入引起的响应；初始状态为零时，系统输入引起的响应；在控制工程中，如无特殊说明，所讲的响应往往是零在控制工程中，如无特殊说明，所讲的响应往往是零 状态响应。状态响应。零输入响应：零输入响应：零输入响应：零输入响应：系统输入为零时，初始状态引起的响应。系统输入为零时，初始状态引起的响应。按振动频率与作用频率的关系分为：按振动频率与作用频率的关系分为：自由响应：自由响应：自由响应：自由响应：振动频率与作用频率无关；振动频率与作用频率无关；强迫响应：强迫响应：强迫响应：强迫响应：振动频率与作用频率相同。振动频率与作用频率相同。（2 2 2 2）一般情况的时间响应）一般情况的时间响应）一般情况的时间
5、响应）一般情况的时间响应n n n n阶线性定常系统，动力学方程表示为：阶线性定常系统，动力学方程表示为：阶线性定常系统，动力学方程表示为：阶线性定常系统，动力学方程表示为：设其特征根为设其特征根为设其特征根为设其特征根为s si i(i i=1,2=1,2n n)，则系统的时间响应为：，则系统的时间响应为：，则系统的时间响应为：，则系统的时间响应为：系统的阶次系统的阶次系统的阶次系统的阶次n n和和和和s si i取决于系统的固有特性，与系统的初态取决于系统的固有特性，与系统的初态取决于系统的固有特性，与系统的初态取决于系统的固有特性，与系统的初态无关；无关；无关；无关；由由由由y y(t
6、t)=)=L L-1-1 G G(s s)X X(s s)所求得的输出是系统的零状态响应；所求得的输出是系统的零状态响应；所求得的输出是系统的零状态响应；所求得的输出是系统的零状态响应；对于线形定常系统，若对于线形定常系统，若对于线形定常系统，若对于线形定常系统，若x x(t t)引起的输出为引起的输出为引起的输出为引起的输出为y y(t t)，则，则，则，则x x(t t)引起引起引起引起的输出为的输出为的输出为的输出为y y(t t)，如此可求得下式的响应：，如此可求得下式的响应：，如此可求得下式的响应：，如此可求得下式的响应：讨论：讨论：讨论：讨论：（3 3 3 3）微分方程特征根的意义
7、）微分方程特征根的意义）微分方程特征根的意义）微分方程特征根的意义 系统的所有特征根系统的所有特征根系统的所有特征根系统的所有特征根s si i (i i=1,2=1,2n n)均具有负实部，即均具有负实部，即均具有负实部，即均具有负实部，即ReRe s si i 0 0，则其自由响应项最终会趋于，则其自由响应项最终会趋于，则其自由响应项最终会趋于，则其自由响应项最终会趋于0 0 0 0，也就是说系统的，也就是说系统的，也就是说系统的，也就是说系统的自由响应项自由响应项自由响应项自由响应项 收敛。这种系统称为稳收敛。这种系统称为稳收敛。这种系统称为稳收敛。这种系统称为稳定系统。此时自由响应项又
8、称为定系统。此时自由响应项又称为定系统。此时自由响应项又称为定系统。此时自由响应项又称为瞬态响应项瞬态响应项瞬态响应项瞬态响应项，强迫响应，强迫响应，强迫响应，强迫响应项又称为项又称为项又称为项又称为稳态响应项稳态响应项稳态响应项稳态响应项。ReRe s si i 0 0 0，则其自由响应项则其自由响应项则其自由响应项则其自由响应项 最终会趋于最终会趋于最终会趋于最终会趋于+，即系统，即系统，即系统，即系统的自由响应项发散。这种系统称为不稳定系统。的自由响应项发散。这种系统称为不稳定系统。的自由响应项发散。这种系统称为不稳定系统。的自由响应项发散。这种系统称为不稳定系统。若系统有一个特征根的实
9、部为若系统有一个特征根的实部为若系统有一个特征根的实部为若系统有一个特征根的实部为0 0 0 0，而其余特征根的实部均为，而其余特征根的实部均为，而其余特征根的实部均为，而其余特征根的实部均为负数，则其自由响应项最终会变成一等幅振荡，这种系统称负数，则其自由响应项最终会变成一等幅振荡，这种系统称负数，则其自由响应项最终会变成一等幅振荡，这种系统称负数，则其自由响应项最终会变成一等幅振荡，这种系统称为临界稳定系统。为临界稳定系统。为临界稳定系统。为临界稳定系统。结论：结论：结论：结论：系统特征根的实部决定了系统的稳定与否；系统特征根的实部决定了系统的稳定与否；系统特征根的实部决定了系统的稳定与否
10、；系统特征根的实部决定了系统的稳定与否；ReRe s si i 绝对值的大小决定了它所对应的自由响应项衰绝对值的大小决定了它所对应的自由响应项衰绝对值的大小决定了它所对应的自由响应项衰绝对值的大小决定了它所对应的自由响应项衰减的快慢；减的快慢；减的快慢；减的快慢；系统特征根的虚部的分布情况在很大程度上决定了系系统特征根的虚部的分布情况在很大程度上决定了系系统特征根的虚部的分布情况在很大程度上决定了系系统特征根的虚部的分布情况在很大程度上决定了系统自由响应的振荡情况。统自由响应的振荡情况。统自由响应的振荡情况。统自由响应的振荡情况。等效判据：等效判据：由系统特征根与传递函数极点之间的对应关系可得
11、：由系统特征根与传递函数极点之间的对应关系可得：由系统特征根与传递函数极点之间的对应关系可得：由系统特征根与传递函数极点之间的对应关系可得：若系统传递函数的所有极点均分布在若系统传递函数的所有极点均分布在若系统传递函数的所有极点均分布在若系统传递函数的所有极点均分布在ssss平面的左半平平面的左半平平面的左半平平面的左半平面内，则系统稳定；面内，则系统稳定；面内，则系统稳定；面内，则系统稳定；若系统传递函数在若系统传递函数在若系统传递函数在若系统传递函数在ssss平面的右半平面内存在极点，则平面的右半平面内存在极点，则平面的右半平面内存在极点，则平面的右半平面内存在极点，则系统不稳定。系统不稳
12、定。系统不稳定。系统不稳定。1.1.上升时间上升时间t tr r 响应从其稳态值响应从其稳态值的的1010上升到上升到9090所需的时间。所需的时间。快速性(4)(4)(4)(4)控制系统的时域性能指标控制系统的时域性能指标控制系统的时域性能指标控制系统的时域性能指标在典型输入信号作用下，控制系统的时间响应分为在典型输入信号作用下，控制系统的时间响应分为动态过程动态过程和和稳态过稳态过程程两个部分。因此，控制系统在典型输入信号作用下的性能指标由两个部分。因此，控制系统在典型输入信号作用下的性能指标由动态动态性能指标性能指标和和稳态性能指标稳态性能指标两部分组成。两部分组成。通常采用单位阶跃函数
13、输入下的系统响应来衡量系统的控制性能通常采用单位阶跃函数输入下的系统响应来衡量系统的控制性能 ：4.4.超调量超调量MpMp相对稳定性 3.3.调节时间调节时间tsts 响应到达并不再响应到达并不再超出稳态值的超出稳态值的55(或或22)误差误差带所需的时间。带所需的时间。快速性2.2.峰值时间峰值时间tptp 响应超过稳态值响应超过稳态值而到达第一个峰值而到达第一个峰值所需的时间。所需的时间。快速性5.5.稳态误差稳态误差e essss 对对于于单单位位反反馈馈系系统统，当当时时间间t t趋趋于于无无穷穷大大时时，系系统统相相应应的的实实际际值值（稳稳态态值值）与与期期望望值值（输输入入量量
14、之之差。差。准确性3.2 3.2 3.2 3.2 一阶系统的响应分析一阶系统的响应分析一阶系统的响应分析一阶系统的响应分析微分方程微分方程微分方程微分方程：传递传递传递传递函数函数函数函数：（1 1 1 1）单单单单位脉冲响位脉冲响位脉冲响位脉冲响应应应应过渡过程：过渡过程：过渡过程：过渡过程：对一阶系统而言，将其单位脉冲响应曲线衰减到初值对一阶系统而言，将其单位脉冲响应曲线衰减到初值对一阶系统而言，将其单位脉冲响应曲线衰减到初值对一阶系统而言，将其单位脉冲响应曲线衰减到初值的的的的2%2%2%2%之前的过程；之前的过程；之前的过程；之前的过程；过渡过程时间（调整时间）：过渡过程时间（调整时间
15、）：过渡过程时间（调整时间）：过渡过程时间（调整时间）：过渡过程经历的时间。经过计算可过渡过程经历的时间。经过计算可过渡过程经历的时间。经过计算可过渡过程经历的时间。经过计算可得一阶系统的调整时间为得一阶系统的调整时间为得一阶系统的调整时间为得一阶系统的调整时间为4 4 4 4T T。显然，系统的时间常数。显然，系统的时间常数。显然，系统的时间常数。显然，系统的时间常数T T愈小，其愈小，其愈小，其愈小，其过渡过程的持续时间愈短，亦即系统的惯性愈小，系统对输入信过渡过程的持续时间愈短，亦即系统的惯性愈小，系统对输入信过渡过程的持续时间愈短，亦即系统的惯性愈小，系统对输入信过渡过程的持续时间愈短
16、，亦即系统的惯性愈小，系统对输入信号反应的快速性愈好。号反应的快速性愈好。号反应的快速性愈好。号反应的快速性愈好。瞬态项瞬态项（2 2 2 2）单单单单位位位位阶跃阶跃阶跃阶跃响响响响应应应应过渡过程：过渡过程：过渡过程：过渡过程：其阶跃响应增长到稳态值的其阶跃响应增长到稳态值的其阶跃响应增长到稳态值的其阶跃响应增长到稳态值的98%98%98%98%之前的过程，同之前的过程，同之前的过程，同之前的过程，同样可算得相应的时间为样可算得相应的时间为样可算得相应的时间为样可算得相应的时间为4 4 4 4T T。因此，时间常数。因此，时间常数。因此，时间常数。因此，时间常数T T确实反映了一确实反映了
17、一确实反映了一确实反映了一阶系统的固有特性，其值愈小，系统的惯性就愈小，系统的阶系统的固有特性，其值愈小，系统的惯性就愈小，系统的阶系统的固有特性，其值愈小，系统的惯性就愈小，系统的阶系统的固有特性，其值愈小，系统的惯性就愈小，系统的响应也就愈快。响应也就愈快。响应也就愈快。响应也就愈快。瞬态项瞬态项稳态项稳态项（3 3 3 3）性能指）性能指）性能指）性能指标标标标调调调调整整整整时间时间时间时间（t ts s）：）：）：）：一一一一阶阶阶阶系系系系统统统统在在在在单单单单位位位位阶跃输阶跃输阶跃输阶跃输入作用下，达到入作用下，达到入作用下，达到入作用下，达到稳态值稳态值稳态值稳态值的的的的
18、1-1-1-1-所需要的所需要的所需要的所需要的时间时间时间时间 例如：例如：例如：例如：=2%=2%=2%=2%时时时时，t ts s =4=4=4=4T T；=5%=5%=5%=5%时时时时，t ts s =3=3=3=3T T；调调调调整整整整时间时间时间时间反映系反映系反映系反映系统统统统响响响响应应应应的快速性。的快速性。的快速性。的快速性。3.3 3.3 3.3 3.3 二阶系统的响应分析二阶系统的响应分析二阶系统的响应分析二阶系统的响应分析特征方程：特征方程：特征根：特征根：特征根：特征根：典型传递函数：典型传递函数：典型传递函数：典型传递函数：无阻尼固有频率无阻尼固有频率无阻尼
19、固有频率无阻尼固有频率 阻尼比阻尼比阻尼比阻尼比其中：其中：其中：其中：（1 1 1 1）单位脉冲响应）单位脉冲响应）单位脉冲响应）单位脉冲响应当当当当00 111时时时时：二阶系统单位脉冲响应二阶系统单位脉冲响应（2 2 2 2）单位阶跃响应）单位阶跃响应）单位阶跃响应）单位阶跃响应当当当当00 111时时时时：在欠阻尼系统中，当在欠阻尼系统中，当在欠阻尼系统中，当在欠阻尼系统中，当时，不仅其过渡过时，不仅其过渡过时，不仅其过渡过时，不仅其过渡过程时间比程时间比程时间比程时间比=1=1=1=1更短，更短，更短，更短，而且振荡也不太严重。而且振荡也不太严重。而且振荡也不太严重。而且振荡也不太严
20、重。因此，一般希望二阶因此，一般希望二阶因此，一般希望二阶因此，一般希望二阶系统工作在系统工作在系统工作在系统工作在的欠阻的欠阻的欠阻的欠阻尼状态。通过选择合尼状态。通过选择合尼状态。通过选择合尼状态。通过选择合适的特征参数适的特征参数适的特征参数适的特征参数、n n，可以使系统具有合，可以使系统具有合，可以使系统具有合，可以使系统具有合适的过渡过程。适的过渡过程。适的过渡过程。适的过渡过程。(3)(3)(3)(3)二阶欠阻尼系统响应的性能指标二阶欠阻尼系统响应的性能指标二阶欠阻尼系统响应的性能指标二阶欠阻尼系统响应的性能指标 上升时间上升时间上升时间上升时间t tr r:响应曲线从原响应曲线
21、从原响应曲线从原响应曲线从原工作状态出发，首次达到输工作状态出发，首次达到输工作状态出发，首次达到输工作状态出发，首次达到输出稳态值所需时间。出稳态值所需时间。出稳态值所需时间。出稳态值所需时间。讨论：讨论：讨论：讨论：当当当当一定时，一定时，n n增大，增大，tr r 减小；当减小；当 n n一定时，一定时，增增大，大，t tr r 增大；增大；峰值峰值峰值峰值时间时间时间时间t tp p:响应曲线达到响应曲线达到响应曲线达到响应曲线达到第一个峰值所需的时间。第一个峰值所需的时间。第一个峰值所需的时间。第一个峰值所需的时间。讨论：讨论：讨论：讨论：当当当当一定时，一定时，n n增大，增大，t
22、p p 减小；当减小；当 n n一定时，一定时，增增大，大，t tp p 增大；增大；调整时间调整时间调整时间调整时间t ts s:在过渡过程中，在过渡过程中，在过渡过程中，在过渡过程中，x xo o(t t)取的值满足如下不等式时取的值满足如下不等式时所需时间。所需时间。讨论：讨论：讨论：讨论：当当当当一定时，一定时，n n增大，增大，tp p 减小；当减小；当 n n一定时，一定时，增大，增大，t tp p 增大；增大；振荡次数：振荡次数：振荡次数：振荡次数：在过渡过程时间在过渡过程时间在过渡过程时间在过渡过程时间内，内，内，内，x xo o(t t)穿越其稳态值的次穿越其稳态值的次数的一
23、半。数的一半。讨论：讨论：讨论：讨论：振荡次数振荡次数振荡次数振荡次数N N N N 随着随着随着随着的增的增的增的增大而减小，它的大小直接反映大而减小，它的大小直接反映大而减小，它的大小直接反映大而减小，它的大小直接反映了系统的阻尼特性。了系统的阻尼特性。了系统的阻尼特性。了系统的阻尼特性。最大超调量最大超调量最大超调量最大超调量MpMp：讨论：讨论：讨论：讨论：MpMp与与与与 n n无关，而只与无关，而只与无关，而只与无关，而只与 有关，有关，有关，有关，增大增大增大增大MpMp减小减小减小减小.从二阶系统的瞬态性能指标与其特征参数之间的关系中可以看出：系统性能指标的矛盾性。一般说来，系
24、统的上升时间、峰值时间等反映系统响应快速性的性能指标与最大超调量、振荡次数等指标是相互矛盾的。为了使二阶系统具有满意的动态特性，必须合理选择系统的阻尼比和无阻尼固有频率。一般的做法是先根据最大超调量、振荡次数等要求选择系统的阻尼比，然后再根据上升时间、峰值时间、调整时间等要求，确定系统无阻尼固有频率。结论结论3.5 3.5 系统的稳定性与劳斯判据系统的稳定性与劳斯判据（1 1 1 1）引例）引例）引例）引例原理：外力原理：外力原理：外力原理：外力阀芯初始阀芯初始阀芯初始阀芯初始位移位移位移位移X Xi i阀口阀口阀口阀口2 2 2 2、4 4 4 4活活活活塞右移（随动）塞右移（随动）塞右移（
25、随动）塞右移（随动）阀口阀口阀口阀口关闭（回复平衡位置）关闭（回复平衡位置）关闭（回复平衡位置）关闭（回复平衡位置）（反馈）（反馈）（反馈）（反馈）活塞继续右活塞继续右活塞继续右活塞继续右移（惯性）移（惯性）移（惯性）移（惯性）阀口阀口阀口阀口1 1 1 1、3 3 3 3开启开启开启开启活塞左移活塞左移活塞左移活塞左移阀口阀口阀口阀口关闭关闭关闭关闭活塞继续左移活塞继续左移活塞继续左移活塞继续左移（惯性）（惯性）（惯性）（惯性）阀口阀口阀口阀口2 2 2 2、4 4 4 4开启开启开启开启 随动：活塞跟随阀芯运动随动：活塞跟随阀芯运动随动：活塞跟随阀芯运动随动：活塞跟随阀芯运动反馈与惯性：引
26、起振荡反馈与惯性：引起振荡反馈与惯性：引起振荡反馈与惯性：引起振荡振荡结果：（与外界作用无关）振荡结果：（与外界作用无关）振荡结果：（与外界作用无关）振荡结果：（与外界作用无关）系统是否稳定，取决于系统本身（结构，参数），系统是否稳定，取决于系统本身（结构，参数），系统是否稳定，取决于系统本身（结构，参数），系统是否稳定，取决于系统本身（结构，参数），与输入无关；与输入无关；与输入无关；与输入无关；不稳定现象的存在是由于反馈作用；不稳定现象的存在是由于反馈作用；不稳定现象的存在是由于反馈作用；不稳定现象的存在是由于反馈作用；稳定性是指自由响应的收敛性。稳定性是指自由响应的收敛性。稳定性是指自由
27、响应的收敛性。稳定性是指自由响应的收敛性。（2 2 2 2）结论）结论）结论）结论（3 3 3 3）定义）定义）定义）定义 系统在初始状态作用下无输入时的初态 输入引起的初态 输出（响应）收敛（回复平衡位置）发散（偏离越来越大）系统稳定系统不稳定（4 4 4 4）系统是否稳定完全取决于系统的特征根）系统是否稳定完全取决于系统的特征根）系统是否稳定完全取决于系统的特征根）系统是否稳定完全取决于系统的特征根 线性定常系统：线性定常系统：线性定常系统：线性定常系统：当系统所有的特征根均具有负实部当系统所有的特征根均具有负实部当系统所有的特征根均具有负实部当系统所有的特征根均具有负实部s si i(i
28、 i=0,1,2,=0,1,2,n n)（位于（位于（位于（位于 s s 平面的左半平面）平面的左半平面）平面的左半平面）平面的左半平面）自由响应收敛，系统稳定。自由响应收敛，系统稳定。自由响应收敛，系统稳定。自由响应收敛，系统稳定。若有任一若有任一若有任一若有任一 s si i具有正实部具有正实部具有正实部具有正实部 （位于（位于（位于（位于 s s 平面的右半平面）平面的右半平面）平面的右半平面）平面的右半平面）自由响应发散，系统不稳定自由响应发散，系统不稳定自由响应发散，系统不稳定自由响应发散，系统不稳定 。若有特征根若有特征根若有特征根若有特征根 s sk k=jwjw具有正实部具有正
29、实部具有正实部具有正实部 （位于（位于（位于（位于 s s 平面的虚轴平面的虚轴平面的虚轴平面的虚轴上），其余极点位于上），其余极点位于上），其余极点位于上），其余极点位于 s s s s 平面的左半平面平面的左半平面平面的左半平面平面的左半平面 简谐运动，自由响应等幅振动，系统临界稳定简谐运动，自由响应等幅振动，系统临界稳定简谐运动，自由响应等幅振动，系统临界稳定简谐运动，自由响应等幅振动，系统临界稳定 。若有特征根若有特征根若有特征根若有特征根 s sk k=0 0 0 0（位于（位于（位于（位于 s s 平面的原点），其余极点平面的原点），其余极点平面的原点），其余极点平面的原点），其余
30、极点位于位于位于位于 s s s s 平面的左半平面平面的左半平面平面的左半平面平面的左半平面 自由响应收敛于常值，系统稳定自由响应收敛于常值，系统稳定自由响应收敛于常值，系统稳定自由响应收敛于常值，系统稳定 。（5 5 5 5）线性定常系统稳定的）线性定常系统稳定的）线性定常系统稳定的）线性定常系统稳定的充要条件充要条件充要条件充要条件 若系统的若系统的若系统的若系统的全部特性根全部特性根全部特性根全部特性根（传递函数的全部极点）均具（传递函数的全部极点）均具（传递函数的全部极点）均具（传递函数的全部极点）均具有有有有负实部负实部负实部负实部（位于（位于（位于（位于 s s 平面的平面的平面
31、的平面的左半平面左半平面左半平面左半平面），则系统稳定。），则系统稳定。），则系统稳定。），则系统稳定。求出闭环极点？求出闭环极点？求出闭环极点？求出闭环极点？高阶难求；高阶难求；高阶难求；高阶难求；不必要。不必要。不必要。不必要。（6 6 6 6）系统稳定的判别方法）系统稳定的判别方法）系统稳定的判别方法）系统稳定的判别方法实验？实验？实验？实验？如果不稳定，可能导致严重后果。如果不稳定，可能导致严重后果。如果不稳定，可能导致严重后果。如果不稳定，可能导致严重后果。特征方程特征方程特征方程特征方程 根的分布（避免求解）；根的分布（避免求解）；根的分布（避免求解）；根的分布（避免求解）；开环传
32、递函数开环传递函数开环传递函数开环传递函数 闭环系统的稳定性；闭环系统的稳定性；闭环系统的稳定性；闭环系统的稳定性；（开环极点易知，闭环极点难求）（开环极点易知，闭环极点难求）（开环极点易知，闭环极点难求）（开环极点易知，闭环极点难求）思路：思路：思路：思路：稳定判据稳定判据稳定判据稳定判据 3 3.5.2 Routh5.2 Routh判据判据（1 1 1 1）RouthRouthRouthRouth判据判据判据判据代数判据，依据根与系数的关系判断根的分布。代数判据，依据根与系数的关系判断根的分布。代数判据，依据根与系数的关系判断根的分布。代数判据，依据根与系数的关系判断根的分布。系统稳定的充
33、要条件：系统稳定的充要条件：系统稳定的充要条件：系统稳定的充要条件：Routh表：Routh Routh Routh Routh判据：判据：判据：判据：RouthRouthRouthRouth表中第一列各元符号改变的次数表中第一列各元符号改变的次数表中第一列各元符号改变的次数表中第一列各元符号改变的次数等于系统特征方程具有正实部特征根的个数。因此，系等于系统特征方程具有正实部特征根的个数。因此，系等于系统特征方程具有正实部特征根的个数。因此，系等于系统特征方程具有正实部特征根的个数。因此，系统稳定的充要条件是：统稳定的充要条件是：统稳定的充要条件是：统稳定的充要条件是：RouthRouthRo
34、uthRouth表中第一列各元的符号均为表中第一列各元的符号均为表中第一列各元的符号均为表中第一列各元的符号均为正，且值不为零。正，且值不为零。正，且值不为零。正，且值不为零。例1：系统的特征方程第一列各元符号改变次数为第一列各元符号改变次数为2 2，因此：，因此：（1 1）系统不稳定；（）系统不稳定；（2 2）系统有两个具有正实部的特征根。）系统有两个具有正实部的特征根。例2：已知 ，试确定K取何值时，系统方能稳定。（1）7500K0,亦即K0 （2）故能使系统稳定的参数K的取值范围为：(2)(2)劳斯判据的特殊情况劳斯判据的特殊情况第一第一，劳斯表中某一行的第一个元素为零，其它各元素不为零
35、，或不全，劳斯表中某一行的第一个元素为零，其它各元素不为零，或不全为零。为零。这时可用一个任意小的正数这时可用一个任意小的正数代替这一行第一个为零的元素，然后继续代替这一行第一个为零的元素，然后继续劳斯表的计算并进行判断。这样处理的理由是因为特征方程式的阶次不劳斯表的计算并进行判断。这样处理的理由是因为特征方程式的阶次不变时，根是系数的连续函数。用变时，根是系数的连续函数。用代替零，相当于特征方程式的某些项代替零，相当于特征方程式的某些项或所有项的系数有一很小的变动。只要变动足够小，且原特征方程式没或所有项的系数有一很小的变动。只要变动足够小，且原特征方程式没有纯虚根（若有纯虚根必然出现下文中
36、第二种特殊情况），则根的变动有纯虚根（若有纯虚根必然出现下文中第二种特殊情况），则根的变动也是微小的，因此根在也是微小的，因此根在s s平面上虚轴左、右的分布情况不会改变。平面上虚轴左、右的分布情况不会改变。,试用劳斯判据判断系统稳定性例题s41416s3312s216s216s1s016 当很小时，s1行的12-（48/）0，这就可以判断劳斯表第一列元素符号改变两次，系统不稳定，并有两个正实部根。第二第二，劳斯表中第，劳斯表中第k行元素全为零行元素全为零 这说明系统的特征根中存在关于原点对称的根（或是两个符号相异，绝对值相同的实根；或是一对共轭纯虚根；或上述两种类型的根兼而有之；或是实部符号
37、相异，虚部数值相同的两对共轭复根）。此时，系统必然是不稳定的。在这种情况下，可作如下处理：（1）用k-1行元素构成辅助方程。辅助方程的最高阶次为n-k+2，然后s的次数递降2。（2）将辅助方程对s求导，其系数作为全零行的元素，继续完成劳斯表。（3）解辅助方程，得到所有数值相同、符号相异的特征根。,试用劳斯判据判断系统稳定性例题s513-4s439-12s3000辅助方程求导s513-4s439-12s31218s2s1s0-12符号改变一次，有一个正实部根3.6 3.6 3.6 3.6 系统误差与分析系统误差与分析系统误差与分析系统误差与分析 （1 1 1 1）误差与偏差的关系）误差与偏差的关
38、系）误差与偏差的关系）误差与偏差的关系误差：误差：误差：误差：控制系统的理控制系统的理控制系统的理控制系统的理想输出想输出想输出想输出x xoror(t t)与实际输与实际输与实际输与实际输出出出出x xo o(t t)之差，即之差，即之差，即之差，即其拉氏变换为其拉氏变换为其拉氏变换为其拉氏变换为:偏差：偏差：偏差：偏差：其拉氏变换为其拉氏变换为其拉氏变换为其拉氏变换为:当当当当当当当当时时时时 故：故：故：故：时时时时 （2 2 2 2）稳态误差与稳态偏差）稳态误差与稳态偏差）稳态误差与稳态偏差）稳态误差与稳态偏差稳态误差：稳态误差：稳态误差：稳态误差：终值定理终值定理稳态偏差：稳态偏差：
39、稳态偏差：稳态偏差：终值定理终值定理（3 3）与输入有关的稳态偏差）与输入有关的稳态偏差当输入为单位阶跃信号当输入为单位阶跃信号当输入为单位阶跃信号当输入为单位阶跃信号 定义定义定义定义位置无偏系数：位置无偏系数：位置无偏系数：位置无偏系数：系统的稳态偏差与输入信号、系统的稳态偏差与输入信号、系统的稳态偏差与输入信号、系统的稳态偏差与输入信号、系统的结构特征有关。系统的结构特征有关。系统的结构特征有关。系统的结构特征有关。当输入为单位斜坡信号当输入为单位斜坡信号当输入为单位斜坡信号当输入为单位斜坡信号 定义定义定义定义速度无偏系数：速度无偏系数：速度无偏系数：速度无偏系数：当输入为单位加速度信
40、号当输入为单位加速度信号当输入为单位加速度信号当输入为单位加速度信号 定义定义定义定义加速度无偏系数：加速度无偏系数：加速度无偏系数：加速度无偏系数：设系统的开环传递函数为：设系统的开环传递函数为：设系统的开环传递函数为：设系统的开环传递函数为：其中：其中：其中：其中：v v为系统的型次，当为系统的型次，当为系统的型次，当为系统的型次，当v v分别为分别为分别为分别为0 0 0 0、1 1 1 1、2 2 2 2、时，分时，分时，分时，分别称系统为别称系统为别称系统为别称系统为0 0 0 0型系统、型系统、型系统、型系统、I I I I型系统、型系统、型系统、型系统、IIIIIIII型系统等等
41、。型系统等等。型系统等等。型系统等等。（4 4 4 4）系统存在干扰作用时误差和偏差）系统存在干扰作用时误差和偏差）系统存在干扰作用时误差和偏差）系统存在干扰作用时误差和偏差误差：误差：偏差：偏差：结论：结论：结论：结论：稳态误差与输入信号有关；稳态误差与输入信号有关；稳态误差与输入信号有关；稳态误差与输入信号有关；系统型次越高，偏差越小；系统型次越高，偏差越小；系统型次越高，偏差越小；系统型次越高，偏差越小；开环增益越大，偏差越小；开环增益越大，偏差越小；开环增益越大，偏差越小；开环增益越大，偏差越小；当系统存在多个输入时，按叠加原理计算；当系统存在多个输入时，按叠加原理计算；当系统存在多个输入时，按叠加原理计算；当系统存在多个输入时，按叠加原理计算；单位反馈系统得稳态误差与稳态偏差相同。单位反馈系统得稳态误差与稳态偏差相同。单位反馈系统得稳态误差与稳态偏差相同。单位反馈系统得稳态误差与稳态偏差相同。