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1、一、函数的连续性的概念一、函数的连续性的概念二、函数的间断点二、函数的间断点四、小结四、小结 思考题思考题第七节第七节 函数的连续性函数的连续性三、初等函数的连续性三、初等函数的连续性一、函数的连续性1.函数的增量函数的增量注意：注意：2.连续的定义连续的定义即：函数在某点连续等价于函数在该点的极限存在且等于该点的函数值.例例1 1证证由定义由定义2知知例例2 2证证3.单侧连续单侧连续定理定理例例3 3解解右连续但不左连续右连续但不左连续,4.连续函数与连续区间连续函数与连续区间在区间上每一点都连续的函数在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上叫做在该区间上的的连续函数连续函数,或者说函数
2、在该区间上连续或者说函数在该区间上连续.连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.5.基本初等函数的连续性基本初等函数的连续性二、函数的间断点(points of discontinuity)1.可去间断点可去间断点(a removable discontinuity)例例4 4解解注意注意 可去间断点只要改变或者补充可去间断可去间断点只要改变或者补充可去间断处函数的定义处函数的定义,则可使其变为连续点则可使其变为连续点.如例如例4中中,例例5 5解解2.跳跃间断点跳跃间断点跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点.特
3、点：特点：左右极限相等，则为可去间断点；左右极限相等，则为可去间断点；左右极限不相等，则为跳跃间断点左右极限不相等，则为跳跃间断点例例5 5中的间断点为跳跃间断点中的间断点为跳跃间断点3.第二类间断点第二类间断点例例6 6解解例例7 7解解注意：注意：函数的间断点可能不只是个别的几个点函数的间断点可能不只是个别的几个点.这时也称其为振荡间断点这时也称其为振荡间断点狄利克雷函数狄利克雷函数(Dirichlets function)在定义域在定义域R内每一点处都间断内每一点处都间断,且都是第二类间且都是第二类间断点断点.仅在仅在x=0处连续处连续,其余各点处处间断其余各点处处间断.在定义域在定义域
4、 R内每一点处都间断内每一点处都间断,但其绝对值处但其绝对值处处连续处连续.判断下列间断点类型判断下列间断点类型:例例8 8解解定理定理1 1例如例如,三、初等函数的连续性1.连续函数的和、差、积、商的连续性连续函数的和、差、积、商的连续性定理定理2 2 严格单调递增（递减）的连续函数必有严格单调递增（递减）的连续函数必有严格单调递增（递减）的连续反函数严格单调递增（递减）的连续反函数 例如例如,反三角函数在其定义域内皆连续反三角函数在其定义域内皆连续.2.反函数与复合函数的连续性反函数与复合函数的连续性定理定理例例9定理定理 一切初等函数在其一切初等函数在其定义区间定义区间内都是内都是连续的
5、连续的.定义区间是指包含在定义域内的区间定义区间是指包含在定义域内的区间.初等函数的连续性初等函数的连续性1.初等函数仅在其定义区间内连续初等函数仅在其定义区间内连续,在在其定义域内不一定连续其定义域内不一定连续;例如例如,这些孤立点的去心邻域内没有定义这些孤立点的去心邻域内没有定义.注意注意例例1010例例1111解解解解注意注意2.初等函数在连续点求极限可用初等函数在连续点求极限可用代入法代入法.四、小结 思考题1.函数在一点连续必须满足的三个条件函数在一点连续必须满足的三个条件;3.间断点的分类与判别间断点的分类与判别;2.区间上的连续函数区间上的连续函数;第一类间断点第一类间断点:可去型可去型,跳跃型跳跃型.第二类间断点第二类间断点:无穷型无穷型,振荡型振荡型.间断点间断点(见下图见下图)可去型可去型第第一一类类间间断断点点oyx跳跃型跳跃型无穷型无穷型振荡型振荡型第第二二类类间间断断点点oyxoyxoyx4.初等函数的连续性初等函数的连续性（1）初等函数在其定义区间上连续；）初等函数在其定义区间上连续；（2）初等函数的连续性在求极限时的应用：）初等函数的连续性在求极限时的应用：代入法。代入法。思考题思考题思考题解答思考题解答且且但反之不成立但反之不成立.例例但但思考题思考题思考题解答思考题解答是它的可去间断点是它的可去间断点练练 习习 题题练习题答案练习题答案