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1、第二章第二章 导数导数一.复变函数极限的概念,极限定理二.复变函数连续的概念三.复变函数导数的概念,可导的判定四.解析函数的定义,判定五.调和函数的概念,相关的计算1(1)复变函数是实变函数在复数范围内的推广.对于复变函数的极限,连续,导数的概念可以按照(1)给出.重点分析:(一)与实变函数中对应概念的不同之处.22.1 2.1 复变函数的极限复变函数的极限2.1.1 复变函数极限的概念定义:3xyOz0dzOuvAef(z)几何意义:4证明:2.1.2 复变函数极限定理?复变函数的极限5定理则运算性质:证明:结合复变函数及实变函数极限的定义.6当 z0 时的极限不存在证 令 z=x+i y,
2、则由此得让 z 沿直线 y=k x 趋于零,我们有故极限不存在.例例2 2 证明函数72.2 复变函数的连续性性质：(1)(1)连续函数的四则运算仍然连续(定理2.3)；(2)(2)连续函数的复合函数仍然连续(定理2.4)；定义:则证明:结合复变函数极限定理,连续的定义.例3(见例2.7,2.8)8x00例49例6解可知例5解102.3 导数2.3.1 导数的概念（实变函数导数概念的推广）定义存在,从实质上讲，复变函数在一点可导，要比实变函数在一点可导要求要高的多，复杂的多。11主要原因就是 第三章，我们将看到，若一个复变函数在一点的邻域内具有一阶导数，就有任意阶的导数。对于实变函数这是不具有
3、的性质。另外，在高等数学中，要举出一个处处连续但处处不可导的函数是十分困难的。在复变函数中，这样的例子很多。例3 讨论的可导性。解:都是在整个复平面上处处连续，但在任何一点都不可导。12在复平面上除原点外处处不可导。所以注:132.3.2 导数的运算规则PP38-39 定理 给出了结论.与实变函数的导数计算规则相同.142.3.3 2.3.3 函数可导的必要与充分条件函数可导的必要与充分条件(可导点的判定可导点的判定)讨论两种特殊情况，15柯西-黎曼方程16定理（1）关于柯西-黎曼方程的记忆注：实部,虚部对应相等得到柯西-黎曼方程17（3）将结论推广至区域D在区域D内处处可导（2）导数公式：(4)实际应用：直接利用定理结论有一定难度。18解：判定函数的可导点,并求导数.19解：20212223