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1、第五节第五节 正态总体均值与方差的区间估计正态总体均值与方差的区间估计单个总体单个总体 的情况的情况两个总体两个总体 的情况的情况小结小结一、单个总体一、单个总体 的情况的情况并设并设 为来自总体的为来自总体的 样本样本,分别为样本均值和样本方差分别为样本均值和样本方差.均值均值 的置信区间的置信区间为已知为已知可得到可得到 的置信水平为的置信水平为 的置信区间的置信区间为为或或为未知为未知可得到可得到 的置信水平为的置信水平为 的置信区间的置信区间为为此分布不依赖于此分布不依赖于任何未知参数任何未知参数由由或或 例例1 有一大批糖果有一大批糖果.现从中随机地取现从中随机地取 16 袋袋,称得
2、重量称得重量(以克计以克计)如下如下:506 508 499 503 504 510 497 512 514 505 493 496 506 502 509 496设袋装糖果的重量近似地服从正态分布设袋装糖果的重量近似地服从正态分布,试求总试求总体均值体均值 的置信水平为的置信区间的置信水平为的置信区间.解解 这里这里于是得到于是得到 的置信水平为的置信水平为 的置信区间的置信区间为为即即方差方差 的置信区间的置信区间由由可得到可得到 的置信水平为的置信水平为 的置信区间的置信区间为为由由可得到标准差可得到标准差 的置信水平为的置信水平为 的置信区间的置信区间为为 例例2 有一大批糖果有一大批
3、糖果.现从中随机地取现从中随机地取 16 袋袋,称得重量称得重量(以克计以克计)如下如下:506 508 499 503 504 510 497 512 514 505 493 496 506 502 509 496设袋装糖果的重量近似地服从正态分布设袋装糖果的重量近似地服从正态分布,试求总试求总体标准差体标准差 的置信水平为的置信区间的置信水平为的置信区间.解解 这里这里于是得到于是得到 的置信水平为的置信水平为 的置信区间为的置信区间为即即二、两个总体二、两个总体 的情况的情况设已给定置信水平为设已给定置信水平为 ,并并设设 是来自第一个总体的样本是来自第一个总体的样本,是来自第二是来自第
4、二个总体的样本个总体的样本,这两个样本相互独立这两个样本相互独立.且设且设 分分别别为第一、二个总体的样本均值为第一、二个总体的样本均值,为第一、二为第一、二个总体的样本方差个总体的样本方差.因为因为 相互独立相互独立,所以所以 相互独立相互独立.故故或或两个总体均值差两个总体均值差 的置信区间的置信区间为已知为已知于是得到于是得到 的置信水平为的置信水平为 的置信区间的置信区间为为为未知为未知其中其中于是得到于是得到 的置信水平为的置信水平为 的置信区间的置信区间为为其中其中 例例3 为比较为比较 I,两种型号步枪子弹的枪口两种型号步枪子弹的枪口速度速度,随机地取随机地取 I 型子弹型子弹
5、10 发发,得到枪口速度的平得到枪口速度的平 均值均值 为为 标准差标准差 随随机地取机地取 型子弹型子弹 20 发发,得到枪口速度的平均值为得到枪口速度的平均值为 标准差标准差 假设两总假设两总体都可认为近似地服从正态分布体都可认为近似地服从正态分布.且生产过程可认且生产过程可认为方差相等为方差相等.求两总体均值差求两总体均值差 的置信水平为的置信水平为 0.95 的置信区间的置信区间.解解 依题意依题意,可认为分别来自两总体的样本可认为分别来自两总体的样本是相互独立的是相互独立的.又因为由假设两总体的又因为由假设两总体的方差相等方差相等,但但数值未知数值未知,故两总体均值差故两总体均值差
6、的置信水平为的置信水平为的置信区间的置信区间为为其中其中这里这里故两总体均值差故两总体均值差 的置信水平为的置信水平为0.95 的置信区的置信区间间为为即即 (3.07,4.93).两个总体方差比两个总体方差比 的置信区间的置信区间(为未知为未知)由由即即可得到可得到 的置信水平为的置信水平为 的置信区间为的置信区间为 例例5 研究由机器研究由机器 A 和机器和机器 B 生产的钢管的内生产的钢管的内径径,随机地抽取机器随机地抽取机器 A生产的钢管生产的钢管18只只,测得样本测得样本方差方差 随机地取机器随机地取机器 B 生产的钢管生产的钢管13只只,测得样本方差测得样本方差 设两样本相互设两样
7、本相互独立独立,且设由机器且设由机器 A 和机器和机器 B 生产的钢管的内径生产的钢管的内径分别服从正态分布分别服从正态分布 这里这里 (i=1,2)均未知均未知.试求方差比试求方差比 的置信水平为的置信水平为 0.90 的置信区间的置信区间.这里这里即即 (0.45,2.79).解解故两总体方差比故两总体方差比 的置信水平为的置信水平为0.90 的置信区的置信区间间为为 某单位要估计平均每天职工的总医疗费，观察某单位要估计平均每天职工的总医疗费，观察了了30天天,其总金额的平均值是其总金额的平均值是170元元,标准差为标准差为30元，元，试决定职工每天总医疗费用平均值的区间估计（置试决定职工
8、每天总医疗费用平均值的区间估计（置信水平为）信水平为）.解解 设每天职工的总医疗费为设每天职工的总医疗费为X，近似服从正态分布近似服从正态分布由中心极限定理，由中心极限定理，E(X)=,D(X)=则有则有三、课堂练习三、课堂练习近似近似 N(0,1)分布分布 使使得均值得均值 的置信水平为的置信水平为 的区间估计的区间估计为为未知，用样本标准差未知，用样本标准差S近似代替近似代替.将将 =170,S=30,=1.96,n=30代入得代入得,的置信水平为的置信水平为0.95的置信区间是的置信区间是 159.27,180.74得均值得均值 的置信水平为的置信水平为 的区间估计为的区间估计为四、小结四、小结 在本节中在本节中,我们学习了单个正态总体均值、方我们学习了单个正态总体均值、方差的置信区间差的置信区间,两个正态总体均值差、方差比的两个正态总体均值差、方差比的置信区间置信区间.