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1、第二节、常见离散型随机变量的概率分布 一、两点分布（01分布）只有两个可能值的随机变量X的概率分布称做两点分布两点分布：特别，若x1=0,x2=1,则称X服从参数为p的0-1分布分布，亦称伯伯努利分布努利分布只计“成功”和“失败”两种结局的试验称做伯伯努利努利试验设X是试验成功的次数：则X服从参数为p的0-1分布 若试验成功若试验失败例例2.13 以非还原无次序抽样的方式随机地0=a,b,c,d,e中取出三个元素，设X是a和b同时出现的次数，求X的概率分布 从 中随机取出三个元素，其基本事件空间为二、二项分布二项分布 称随机变量X服从参数为(n,p)的二项分布，记作XB(n,p)，如果有（图）
2、其中q=1p,0p1 图2.4二项分布纵条图0 1 n0 1 n二项分布的概率恰好是二项式 展开的各个项：分布因此而得名 二项分布是非常重要的离散型分布，有极广泛的应用，其应用可以归结为如下两种情形：1、伯努利、伯努利试验成功的次数成功的次数 只计“成功”和“失败”两种结局的试验，称做伯努利伯努利试验将一伯努利试验独立地重复作n次，称做n次伯努利次伯努利试验以vn表示n次伯努利试验成功的次数，则随机变量vn服从参数为(n,p)的二项分布，其中p是每次试验成功的概率.2、自有限、自有限总体的体的还原抽原抽样 设是含N个元素的总体，其中a个元素具有某种特征A，表示自的n次还原随机抽样中特征A,vn
3、出现的次数，每次抽样特征A出现的概率p=a/N，等于中具有特征A的元素的比率因此，假设中具有特征A的元素的比率为P，则自的n次还原随机抽样可视为n次伯努利试验，抽到具有特征A的元素为成功（成功的概率为P），否则为失败，从而成功的次数vn服从参数为(n,p)的二项分布 例例2.14 假设有10台设备，每台的可靠性（无故障工作的概率）为，每台出现故障时需要由一人进行调整问为保证在95%的情况下当设备出现故障时都能及时得到调整，至少需要安排几个人值班？解 由条件知，每台设备出故障的概率为以X表示10台设备中同时出现故障的台数，则X服从参数为(10,0.10)的二项分布假设需要安排k个人值班，则k应该
4、满足条件：通过对不同的k试算，可以找出满足条件的k值设k=1,2,3，有因此，至少需要安排3个人值班 例例 假设一部设备在一个工作日因故停用的概率为一周使用5个工作日可创利润10万元；使用4个工作日可创利润7万元；使用3个工作日只创利润2万元；停用3个及多于3个工作日亏损2万元求所创利润的概率分布 三、超几何分布 称随机变量X服从超几何分布超几何分布，参数为(n,a,b)，如果 假设其中 1、超几何分布的典型超几何分布的典型应用用假设总体含个a+b元素，其中a个元素具有特征，b个元素具有特征以X表示自 的n次非还原抽样具有特征A出现的次数，则X服从参数为（n,a,b）的超几何分布 2、超几何分
5、布与二、超几何分布与二项分布的关系分布的关系 直观上，当a+b充分大而抽样次数n相对较小时，自有限总体的非还原抽样和还原抽样的差别应相对小，因而超几何分布的概率接近二项分布的概率：其中 p=a/(a+b)例例2.18 假设一批产品，其中a件不合格品和b件合格品 按验收规则，对于给定的 n 和 c().在随机抽验的n件中，如果不合格品不超过c件，则接收，否则拒收问这批产品被接受的概率为多少？解：以 表示随机抽样的 n 件不合格产品的件数，自机取 件的 种取法.有 种不同取法，而每一种取法对应着自 b 件合格产品中随为 种：自 a 件不合格产品中随机地抽取 k 件，总共件产品中随机的抽样取 n 件
6、，导致事件 的取法 四、泊松分布、泊松定理和泊松流 称随机变量X服从参数为 的泊松分布，如果 1、泊松定理、泊松定理 假设X服从二项分布，参数年n充分大，而p充分小，且 n p 适中，则可以利用泊松分布概率近似计算二项分布概率、泊松随机、泊松随机质点流点流 以v(t)表示在长为t的时间内出现的随机质点数在相当广泛的情形下，随机变量v(t)服从参数为t的泊松分布：其中是单位时间出现的随机质点的平均个数，称做质点流的点流的强度度我们称服从泊松分布律的随机质点流为泊泊松随机松随机质点流点流，简称泊松流泊松流 例例2.20 某种玻璃器皿在汽车运输中的破损率为2%，现在一次运送1200件，试求，(1)破
7、损件数X的概率分布；(2)最多破损30件的概率解解 (1)为求破损件数X的概率分布，考虑n=1200次伯努利试验，每次试验成功的概率为p，可见X的概率分布是参数为的二项分布由于n=1200和p显然满足泊松定理的条件，可见近似服从参数为np=24的泊松分布(2)最多破损30件的概率 例例2.22 假设一日内到过某商店的顾客人数服从参数为的泊松分布，而每个顾客实际购货的概率为p以X表示一日内到过该商店并且购货的人数，试求X的概率分布 解解 设为一日内到过该商店的顾客的人个数，由条件知服从参数为的泊松分布设X为一日内到过该商店并且购货的人数由全概率公式知，对于n=0,1,2,，有于是，一日内到过该商店的顾客中购货的人数X服从参数为p的泊松分布