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1、 1 微 积 分章学诚 刘西垣 编著普通高等教育普通高等教育“十一五十一五”家级规划教材家级规划教材(经济管理类)第三章1第三章 导数和微分导数概念导数概念求导法则求导法则基本求导公式基本求导公式高阶导数高阶导数函数的微分函数的微分导数和微分在经济学中的简单应用导数和微分在经济学中的简单应用2第三章 导数和微分 他以几乎神一般的思维力，最先说明了行星的运动他以几乎神一般的思维力，最先说明了行星的运动和图像，彗星的轨道和大海的潮汐和图像，彗星的轨道和大海的潮汐 牛顿墓志铭牛顿墓志铭 （微积分）是由牛顿和莱布尼茨大体上完成的，（微积分）是由牛顿和莱布尼茨大体上完成的，但不是由他们发明的但不是由他们
2、发明的恩格斯恩格斯3.13.23.33.43.53.63 微积分学大致产生于 17 世纪下半叶，在整个数学发展史上是自欧几里得几何学(约建立于公元前 3 世纪)之后的一个最大的创造虽然它的思想萌芽可追溯到古希腊时期，但它的创立，首先是为了解决 17 世纪所面临的许多科学问题 一元函数微积分可分成一元函数微分学和一元函数积分学两部分微分学是积分学的基础 导数（或微商）和微分是一元函数微分学中两个密切相关的基本概念4 引发导数概念的问题主要有：1)已知直线运动的路程函数 s(t)，求物体运动的速度 v；2)求曲线的切线；3)求函数的最大、最小值 这些问题最终可归结为求一个函数的因变量相对于自变量变
3、化的快慢，即“变化率”，这就是函数的导数概念从局部来看,微分是函数的线性近似,它在一元函数积分学中起重要作用导数可以看成是函数的微分与自变量的微分之比,故又称微商 本章主要阐述函数的导数和微分的概念以及它们之间的关系，并给出它们的运算法则和计算方法，最后介绍导数和微分概念在经济学中的简单应用53.1 导 数 概 念.2.3.4两个经典问题两个经典问题导数概念和导函数导数概念和导函数单侧导数单侧导数函数可导与连续的关系函数可导与连续的关系6 3.1.1 3.1.1 两个经典问题两个经典问题 在阐述函数的导数概念之前,先介绍两个古典的例子 例例 1 曲线的切线.在 17 世纪,为了设计光学透镜和了
4、解行星的运动方向,必须知道曲线的切线 大家知道,圆的切线是与圆只有一个交点的直线但这样认识曲线的切线没有普遍意义.给定曲线 C：y=f(x)(xD),假设 U(x0)是点 x0 的一个邻域，U(x0)D,则 P0(x0,f(x0)C.现在的问题是：什么是曲线 C 在点 P0 处的切线？这切线的斜率如何计算？7 给定曲线 C：y=f(x)(xD)，假设 U(x0)是点 x0 的一个邻域,U(x0)D,则 P0(x0,f(x0)C.现在的问题是:什么是曲线 C 在点 P0 处的切线？这切线的斜率如何计算？设 xU(x0),xx0,且点 P(x,f(x)C,则直线 P0P 称为 C 的割线.当点 P
5、 沿曲线 C 趋于 P0 时,如果 P0P 绕点 P0 旋转而趋于一个极限位置 P0T,则直线 P0T 就称为曲线 C 在点 P0 处的切线(如图 3-1),即:当点 时,直线 P0P切线 P0T.为确定切线 P0T,关键是要求出它的斜率 k=tan,其中 是 P0T 的倾角 图 3-18 为此,设割线 P0P 的倾角为j,记 x=x-x0，y=f(x)-f(x0)=f(x0+x)-f(x0)，则 而点 P P0 等价于x x0，即x 0故若切线 P0T 存在，则有即切线 P0T 的斜率(3.1)求出了切线 P0T 的斜率,切线 P0T 也就确定了 图 3-19 例例 2 直线运动的瞬时速度.
6、设一物体做直线运动,其运动方程为 s=s(t)(0tt1),其中 s(0)=0，它表示物体行走的路程 s 与所经历的时间 t 之间的关系（如图 3-2）设 t0,t0+t0,t1,则在时间段 t0,t0+t(设t 0)内物体行走的路程s=s(t0+t)-s(t0).在这时间段内物体的平均速度如果物体做匀速直线运动，则其平均速度 v 是一个常数，与 t0 和t 无关，这是最简单的直线运动图 3-2 在自然界和日常生活中人们所遇到的直线运动大多是非匀速运动，例如自由落体，下落的时间越久，在单位时间内下落的距离越大，即它是一个变速运动.在这种情况下，平均速度不能精确地刻画物体的运动状况随之就提出了瞬
7、时速度的概念10 例例 2 直线运动的瞬时速度.如果极限存在，就称此极限值为物体在时刻 t0 的瞬时速度，简称速度，记为 v(t0).所以(3.2)对于曲线运动,其速度不仅有大小,还有方向,速度的方向就是曲线的切线方向.人类在研究天体的运动时,必须知道天体运动的速度.速度的概念对于理解物体的运动具有极其重要的意义.11 3.1.2 3.1.2 导数概念和导函数导数概念和导函数 上面例 1 中的切线问题是一个几何问题,而例 2 中的速度则是一个力学概念,在计算切线的斜率和运动的速度时都要遇到函数值的增量与自变量的增量之比的极限,它们的抽象就导致函数的导数概念 定义 1 设函数 y=f(x)在点
8、x0 的某一邻域 U(x0)上有定义.如果对于自变量 x 在点 x0 的增量x(x0+xU(x0)）和相应的函数值的增量y=f(x0+x)-f(x0),比值 当x 0 时有极限,则称函数 f(x)在点 x0 可导,并称此极限为函数 f(x)在点 x0 的导数（或微商）,记为 f(x0),即(3.3)12 这个定义可以用另一种形式表示：若记 x=x0+x,则x 0 即为 x x0,因此(3.3)函数 y=f(x)在点 x0 的导数也可用 或 或 表示 所以,导数 f(x0)表示曲线 C:y=f(x)在点 P0(x0,f(x0)的切线P0T 的斜率,从而按直线的点斜式方程知,曲线 C:y=f(x)
9、在点P0(x0,f(x0)处切线 P0T 的方程为y-f(x0)=f(x0)(x-x0).(3.4)13 在力学中,导数 s(t0)表示直线运动 s=s(t)在时刻 t0 的瞬时速度,即v(t0)=s(t0).(3.2)在实际应用中,通常把导数 称为变量 y 对变量 x 在点x0 的变化率,它表示函数值的变化相对于自变量的变化的快慢.这样,曲线的切线的斜率可以说成是曲线上点的纵坐标对该点的横坐标的变化率,速度可以说成是行走的路程对于时间的变化率.变化率有广泛的实际意义,例如:加速度就是速度对于时间的变化率,角速度就是旋转的角度对于时间的变化率,线密度就是物质线段的质量对线段长度的变化率,功率就
10、是所做的功对于时间的变化率,等等14小 知 识牛顿(I.Newton,16421727),伟大的英国数学家、物理学家、天文学家和自然哲学家.他给出了求一个变量对另一个变量的变化率的普遍方法,而且证明了求面积的问题可以作为求变化率的反问题而得到解决,这就是现在所称的微积分基本定理.虽然他的先驱者在特殊的例子中观察到了这一点,但并未认识到它的普遍意义.可以说正是牛顿在先前许多杰出的数学家作出的贡献的基础上,以他的敏锐和洞察力,完成最后最高的一步,成就了微积分学的创建工作在他的著述中,用的是无穷小量的方法,他所说的“瞬”,就是无穷小量,或者微元,或者不可分的量.他将现在所说的导数称为“流数”,牛顿关
11、于微积分的工作有鲜明的力学和几何色彩15小 知 识牛顿生于英格兰的一个小村庄,出生前即丧父,在地方学校接受初等教育,除对机械设计有兴趣外未显示出有特殊的才华.1661年他进入剑桥大学三一学院,受教于数学家 I.巴罗,并做实验,研究笛卡儿的“几何”以及哥白尼、开普勒、伽利略、沃利斯等人的科学著作,1665 年获文学士学位 此后二年因躲避伦敦的鼠疫回到家乡,开始他在机械、数学和光学方面的伟大工作,其中包括解决微积分问题的一般方法,但他没有及时发表所获得的成果,1667年回到剑桥,当选为三一学院的研究员,次年获硕士学位.1669 年被委任接替巴罗任教授直至 1701 年,由于需处理一些技术问题,以及
12、严重的神经衰弱和经济方面的原因,于1696 年受命任皇家造币厂监督,1703 年任英国皇家学会会长,1705年受女王封爵,晚年潜心于自然哲学和神学16小 知 识他由于 1672 年和 1675 年发表的两篇光学论文曾遭到了不同观点学者的严厉批评,所以直到 1687 年才在天文学家 E.哈雷的鼓励和资助下发表了他的巨著自然哲学的数学原理（三卷）,其中包含它在微积分学方面的工作.他分别于 1669 年、1671 年和 1676 年完成的三本关于微积分的著作直到18世纪才正式出版.从现在的观点来看,牛顿关于微积分的基本概念的阐述和运算方法的证论是不很清晰和严密的18 世纪达朗贝尔(J.L.R.DAl
13、embert,17171783）指出微积分的基础可建立在极限的基础上,导数的这个定义是波尔察诺于 1817 年和柯西于 1823 年给出的.17 如果函数 y=f(x)在开区间 I 中的每一点都可导,则称函数 f(x)在区间 I 上可导 这时,对每一个 xI,f(x)(xI)可以看成是定义在 I 上的一个新的函数,称它为原来的函数 f(x)的导函数（或简称导数）,也可以说成 y 对 x 的导数,并记为 y 或 或 也可记为 或 注意,在这里 或 是一个整体,“”表示对 x 求导,表示 y 作为 x 的函数对 x 求导 由此可见,f(x)在点 x0 的导数 f(x0)就是导函数 f(x)在点 x
14、0 的值,即 或18 例例 3 求函数 f(x)=C（常数）的导数.解 在任意一点 x,由于y=f(x+x)-f(x)=C-C =0,故 f(x)=0.所以常数的导数恒等于零,即(C)=0.19 例例 4 求幂函数 f(x)=x n (nN)的导数.解 对任意一点 x 和它的增量 h,由于 n 是正整数,由二项式定理,有所以即(x n)=n x n-1.20 例例 5 求函数 的导数.解 对任意的 x,x0,21 例例 6 求指数函数 y=a x 的导数 解 由 2.6.3 小节,故即(a x)=a x ln a.特别,(e x)=e x.22 例例 7 求正弦函数 y=sin x 的导数 解
15、 即(sin x)=cos x.同理可证,(cos x)=-sin x.23 例例 8 设函数 f(x)在 x=a 点可导,且求 f(a).解 设x=-2h,则 h 0 即x 0,所以24 例例 9 求双曲线 的平行于直线 L:x+4y+5=0 的切线方程 解 问题的关键是要求出双曲线上的一点,在该点曲线的切线与 L 平行.设点 是双曲线上这样的点.由于故双曲线在点 P0 的切线 P0T 的斜率为 由于 P0TL,而 L 的斜率为 故 即从而x02=4,即 x0=2.25 例例 9 求双曲线 的平行于直线 L:x+4y+5=0 的切线方程 续解 由上可知双曲线在点 和 的切线均与给定的直线 L
16、 平行双曲线在这两点的切线方程分别为 和即 x+4y-4=0 和 x+4y+4=0.26 3.1.3 3.1.3 单侧导数单侧导数 函数的导数实际上是一种特殊形式的函数极限函数有左、右极限的概念,因此也可以定义函数在一点的左、右导数对于分段函数,如何判断它在分段点处的可导性,就要用到在分段点处的左、右导数 定义 2 设函数 y=f(x)在 x0 点及其一个左(右)邻域(x0-,x0)(x0,x0+)有定义.如果极限存在,则称此极限为函数 f(x)在 x0 的左(右)导数,记为 f-(x0)(f+(x0).27 因此 左、右导数统称为单侧导数 由函数极限与其左、右极限之间的关系,可知 函数 f(
17、x0)在点 x0 可导 f(x)在点 x0 的左、右导数存在且相等28 例例 10 求绝对值函数 y=f(x)=|x|的导数 解 当 x 0 时,f(x)=x.故 f(x)=1.当 x 0 时直线 y=x 的斜率 y =1,当 x 0 时直线 y=-x 的斜率 y =-1,当 x=0 时图形上原点 O 是一个尖点,没有切线29 例例 11 设 求 g(x).解 当 x 1 时,g(x)=x2+1.设 x+x 1 时,g(x)=2x.设 x+x 1,则 30 例例 11 设 求 g(x).续解 当 x=1 时,g(1)=2,所以,g-(1)=g+(1)=2,从而 g(1)=2.综上所述,有 或
18、从例 11 可见,对分段函数求在分段点处的导数比较麻烦,下面的定理给出了较为快捷的方法（参见习题四第 8 题）31 定理 设0.1)如果函数 f(x)在 x0,x0+)上连续,在(x0,x0+)上可导,且当 x x0+时 f(x)A,则 f+(x0)=A.2)如果函数 f(x)在(x0-,x0 上连续,在(x0-,x0)上可导,且当 x x0-时 f(x)B,则 f-(x0)=B.依此定理,在例11中,g(x)在(-,+)上连续,在(1,+)和(-,1)上可导,且 故 g+(1)=2,g-(1)=2,从而 g(1)=2.例 11 设 求 g(x).32 3.1.4 3.1.4 函数可导与连续的
19、关系函数可导与连续的关系 由导数 f(x0)的定义可知,如果导数 f(x0)存在,则当x 0 时必有y=f(x0+x)-f(x0)0（见习题二第 13 题）,即函数 f(x)在点 x0 连续.所以,可导与连续的关系是：函数 f(x)在点 x0 连续是 f(x)在点 x0 可导的必要条件,但不是充分条件.从例 10 可见,虽然函数 f(x)=|x|在点 x=0 连续,但在点 x=0 不可导 例 10 求绝对值函数 y=f(x)=|x|的导数.答案:f(x)=|x|在点 x=0 不可导,33 例例 12 判断分段函数在点 x=0 是否可导 解 因为j(0+)=j(0)=0,j(0-)=1,故 j(
20、x)在点 x=0 不连续,从而在点 x=0 必不可导343.2 求 导 法 则.2.3函数的和、差、积、商的求导法则函数的和、差、积、商的求导法则反函数求导法则反函数求导法则复合函数求导法则复合函数求导法则35 3.2.1 3.2.1 函数的和、差、积、商的求导法则函数的和、差、积、商的求导法则 定理 设函数 u(x)和 v(x)均在 x 点可导,则它们的和、差、积、商(分母不等于 0)也均在 x 点可导,且(u(x)v(x)=u(x)v(x),(3.5)(u(x)v(x)=u(x)v(x)+u(x)v(x),(3.6)(3.7)证 只证明()式,()和()可同样证明36 (3.7)证 由导数
21、的定义,设 则 记u=u(x+x)-u(x),v=v(x+x)-v(x),则这就得到().37 (u(x)v(x)=u(x)v(x),(3.5)(u(x)v(x)=u(x)v(x)+u(x)v(x),(3.6)公式()和()可推广到多个函数的情况,如(uvw)=uvw+uvw+uvw.由于(C)=0,从()可得(Cu(x)=Cu(x).38 例例 1 设 f(x)=3x4+5x2 x+8.求 f(x).解 由 节例 3 和例 4,f(x)=(3x4+5x2 x+8)=(3x4)+(5x2)-(x)+(8)=3(x4)+5(x2)-1+0 =34x3+52x-1 =12x3+10 x-1.例 3
22、 求函数 f(x)=C(常数)的导数.例 4 求幂函数 f(x)=x n (nN)的导数.答案:(C)=0;(x n)=n x n-1.39 例例 2 设 g(x)=x23x.求 g(x)和 g(2).解 由 节例 4 和例 6,g(x)=(x2)3x+x2(3x)=2x3x+x23x ln 3.所以 g(2)=(2x3x+x23x ln 3)|x=2 =432+432 ln 3 =36(1+ln 3).例 4 求幂函数 f(x)=x n (nN)的导数.例 6 求指数函数 y=a x 的导数.答案:(x n)=n x n-1;(a x)=a x ln a.40 例例 3 设 y=tan x,
23、求 y.解 由 节例 7,所以(tan x)=sec2x.同理可证,(cot x)=-csc2x.例 7 求正弦函数 y=sin x 的导数.答案:(sin x)=cos x.41 例例 4 设 y=sec x,求 y.解 即(sec x)=tan x sec x.同理,(csc x)=-cot x csc x.42 3.2.2 3.2.2 反函数求导法则反函数求导法则 定理（反函数求导法则）设函数 x=f(y)在区间 I1 上单调,可导,且 f(y)0,则它的反函数 y=f-1(x)在区间 I2=R(f)=x=f(y)|yI1上也可导,且()即()下面给出证明大意.43 ()证 由于函数 x
24、=f(y)在 I1 上单调,可导,从而连续,所以它的反函数 y=f -1(x)在 I2 上单调,连续 对于任意的 xI2 和它的增量x0(x+xI2),相应地有y=f-1(x+x)-f-1(x)0,且x 0 等价于y 0,故 反函数求导法则说明：反函数的导数等于直接函数的导数的倒数44 例例 5 求(loga x).解 设 y=loga x,即 x=a y,所以即 特别,45 例例 6 求(arcsin x).解 y=arcsin x(|x|0,y=f(x0+x)-f(x0)0,则 P0Q=x,PQ=y,RQ=f(x0)x=dy|x=x0,PR=y-dy|x=x0=o(x)(x 0).近似计算
25、公式)说明：当x 很小时,PQ RQ,其差 PR 是 P0Q 的高阶无穷小.所以在点 P0 的邻近,为了计算 PQ,可由切线 P0T 代替曲线 C,此即通常所说的“以直代曲”.P0Q R 在一元微分学中占有重要地位,称为微分三角形或特征三角形,它的两条直角边分别表示自变量的微分和函数的微分.图 3-4f(x0+x)f(x0)+f(x0)x.(3.13)88 在任意一点 x,函数 y=f(x)的微分dy=y dx 或 d f(x)=f(x)dx.(3.14)由(3.14),导数 可以看成是函数的微分 dy 与自变量的微分 dx 之比,所以导数也称为“微商”（即微分的商）例例 1 求函数 y=si
26、n x 在点 x=0 和 的微分.解 dy=(sin x)dx=cos x dx.所以 dy|x=0=(cos 0)dx=dx,89 例例 2 求函数 在点 x=1 的微分当x=时的值.解 所以 例例 3 求下列函数的微分:1)e cos x;2)ln|x|(x0).解 1)因为(e cos x)=-e cos x sin x,故d e cos x=-e cos x sin x dx.90 例例 3 求下列函数的微分:1)e cos x;2)ln|x|(x0).解 2)因为 故当 x 0 时,当 x MC(100),故 ML(100)=MR(100)-MC(100)0.所以公司在q=100 时
27、增加产量可以获得更大利润图 3-5109 3.6.2 3.6.2 弹性分析弹性分析 设 y=f(x)是一个经济函数,x 在 x0 点的改变量为x.相应的 y 在 y0=f(x0)处的改变量为y=f(x0+x)-f(x0),导数y|x=x0=f(x0)考虑的是y 与x 之比的极限 但在经济学中,常常需要知道的是当 x 在 x0 改变 1 个百分数时,y 在 y0 处要改变多少个百分数,即要求考虑 与 之比.110 定义 2 设 y=f(x)是一个经济函数,当经济变量 x 在点 x0 改变x 时,经济变量 y 相应地在 y0=f(x0)处改变y=f(x0+x)-f(x0).如果极限存在,则称此极限
28、值为 y=f(x)在 x0 点的弹性,记为 其中比值称为 y=f(x)在点 x0 与点 x0+x 之间的弧弹性.111 在任意一点 x 的弹性,记为 它作为 x 的函数称为 y=f(x)的弹性函数所以由此可见,只要函数 y=f(x)在 x0 点可导,在 x0 点的弹性 就存在 从弹性的定义可知：当 时,这说明当自变量 x 在点 x0 增加 1%时,因变量 y 在 y0=f(x0)近似地改变 确个百分数,或简单地直接说成改变 个百分数,这就是“弹性”概念的实际含义112 由于 与 都是相对改变量（x,y 是 x 和 y 的绝对改变量）,而 是这种相对改变量之比的极限,故它是一种相对变化率,按百分
29、数来衡量（百分数是一种相对的指标,与变量 x 和 y 所用的计量单位无关）y 对于由 x 的变化所产生的反应的灵敏度的量化指标113 例例 3 设 S=S(p)是市场对某一种商品的供给函数,其中 p 是商品价格,S 是市场的供给量,则称为供给价格弹性.由于 S 一般随 p 的上升而增加,S(p)是单调增加函数,当p 0 时 S 0,故 其意义是：当价格从 p 上升 1%时,市场供给量从 S(p)增加 个百分数114 例例 4 设 D=D(p)是市场对某一商品的需求函数,其中 p 是商品价格,D 是市场需求量,则称为需求价格弹性,可简单地记为 Ep.由于需求函数 D(p)一般是 p 的单调减少函
30、数,当p 0 时D 0,故 D(p)0.因此 一般为负数,其意义是：当价格从 p 上升 1%时,需求量从 D(p)减少 个百分数；反之,当价格下降 1%时,需求量增加 个百分数.115 如果 R=R(p)是收益函数,则 R=pD(p).所以可见,当 时,商品需求量变动的百分数高于价格变动的百分数（就绝对值而言,下同）,故称为高弹性,此时 R(p)0,从而随着价格上升收益会增加;当 时,商品需求量变动的百分数等于价格变动的百分数,故称为单位弹性,此时 R(p)=0,收益相对于价格处于临界状态.116 例例 5 随着人们收入的增加,对某种商品的需求量也将发生变化.设人均收入为 M,对该种商品的需求
31、量为 Q,则 Q=Q(M)为单调增加函数,其弹性称为需求收入弹性117 例例 6 设某商品的市场需求函数为 (p:百元,D:台),求 1)需求价格弹性函数 2)并说明其实际意义;解 1)于是 118 例例 6 设某商品的市场需求函数为 (p:百元,D:台),求 1)需求价格弹性函数 2)并说明其实际意义;解 2)所以当价格 p 从 9(百元/台)上涨 1%时,该商品的需求量在 D(9)=12 台的基础上下降 0.25%(或价格下降 1%时需求量增加0.25%).由于 所以当价格上涨时收益能够增加119 例例 6 设某商品的市场需求函数为 (p:百元,D:台),求 3)时的价格,并说明这时的收益情况 解 3)若 则 于是 (百元).这时 R(p)=0.由于故当 时,(百元)为最大收益 第第 三 章章 完完 120 Thank you!121