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1、第一章 信号与系统（二）1-1 画出下列各信号的波形【式中)()(tttr】为斜升函数。（2）tetft,)(（3）)()sin()(tttf（4）)(sin)(ttf（5）)(sin)(trtf（7）)(2)(ktfk（10）)() 1(1 )(kkfk解：各信号波形为（2）tetft,)(（3）)()sin()(tttf（4）)(sin)(ttf（5）)(sin)(trtf（7）)(2)(ktfk（10）)()1(1)(kkfk1-2 画出下列各信号的波形式中)()(tttr为斜升函数 。（1）)2() 1(3) 1(2)(ttttf（2）)2()1(2)()(trtrtrtf（5）)2(
2、)2()(ttrtf（8）)5()()(kkkkf（11）)7()()6sin()(kkkkf（12）)()3(2)(kkkfk解：各信号波形为（1）)2() 1(3)1(2)(ttttf（2）)2() 1(2)()(trtrtrtf（5）)2()2()(ttrtf（8）)5()()(kkkkf（11）)7()()6sin()(kkkkf（12）)()3(2)(kkkfk1-3 写出图 1-3 所示各波形的表达式。1-4 写出图 1-4 所示各序列的闭合形式表达式。1-5 判别下列各序列是否为周期性的。如果是，确定其周期。（2）)63cos()443cos()(2kkkf（5）)sin(2co
3、s3)(5tttf解：1-6 已知信号)(tf的波形如图 1-5 所示，画出下列各函数的波形。（1）)()1(ttf（2）)1()1(ttf（5）)21(tf（6）)25 .0(tf（7）dttdf)(（8）dxxft)(解：各信号波形为（1）)()1(ttf（2）)1()1(ttf（5）)21(tf（6）)25.0(tf（7）dttdf)(（8）dxxft)(1-7 已知序列)(kf的图形如图 1-7 所示，画出下列各序列的图形。（1）)()2(kkf（2）)2()2(kkf（3）)4()()2(kkkf（4）)2( kf（5）) 1()2(kkf（6）)3()(kfkf解：1-9 已知信号
4、的波形如图1-11 所示，分别画出)(tf和dttdf)(的波形。解：由图 1-11 知，)3(tf的波形如图 1-12(a) 所示（)3(tf波形是由对)23(tf的波形展宽为原来的两倍而得）。将)3(tf的波形反转而得到)3(tf的波形，如图 1-12(b) 所示。再将)3(tf的波形右移 3 个单位，就得到了)(tf，如图 1-12(c) 所示。dttdf)(的波形如图1-12(d) 所示。1-10 计算下列各题。（1）)()2sin(cos22tttdtd（2）)()1(tedtdtt（5）dtttt)2()4sin(2（8）dxxxt)( )1 (1-12 如图 1-13 所示的电路
5、，写出（1）以)(tuC为响应的微分方程。（2）以)(tiL为响应的微分方程。1-20 写出图 1-18 各系统的微分或差分方程。1-23 设系统的初始状态为)0(x， 激励为)(f， 各系统的全响应)(y与激励和初始状态的关系如下，试分析各系统是否是线性的。（1）ttdxxxfxety0)(sin)0()(（2）tdxxfxtfty0)()0()()(（3）tdxxftxty0)()0(sin)(（4）)2()()0()5 .0()(kfkfxkyk（5）kjjfkxky0)()0()(1-25 设激励为)(f，下列是各系统的零状态响应)(zsy。判断各系统是否是线性的、时不变的、因果的、稳
6、定的？（1）dttdftyzs)()(（2）)()(tftyzs（3）)2cos()()(ttftyzs（4）)()(tftyzs（5）) 1()()(kfkfkyzs（6）)()2()(kfkkyzs（7）kjzsjfky0)()(（8）)1()(kfkyzs1-28 某一阶 LTI 离散系统，其初始状态为)0(x。 已知当激励为)()(1kky时，其全响应为若初始状态不变，当激励为)(kf时，其全响应为)( 1)5.0(2)(2kkyk若初始状态为)0(2x，当激励为)(4kf时，求其全响应。第二章2-1 已知描述系统的微分方程和初始状态如下，试求其零输入响应。（1）1)0( , 1)0(
7、),()(6)( 5)( yytftytyty（4）0)0( ,2)0(),()()( yytftyty2-2 已知描述系统的微分方程和初始状态如下，试求其0值)0(y和)0( y。（2）)()(,1)0( , 1)0(),( )(8)( 6)( ttfyytftytyty（4）)()(, 2)0( ,1)0(),( )(5)( 4)( 2tetfyytftytytyt解：2-4 已知描述系统的微分方程和初始状态如下，试求其零输入响应、零状态响应和全响应。（2）)()(,2)0( , 1)0(),(3)( )(4)( 4)( tetfyytftftytytyt解：2-8 如图 2-4 所示的电
8、路，若以)(tiS为输入，)(tuR为输出，试列出其微分方程，并求出冲激响应和阶跃响应。2-12 如图 2-6 所示的电路，以电容电压)(tuC为响应，试求其冲激响应和阶跃响应。2-16 各函数波形如图 2-8 所示，图 2-8(b) 、(c) 、(d) 均为单位冲激函数，试求下列卷积，并画出波形图。（1）)(*)(21tftf（2）)(*)(31tftf（3）)(*)(41tftf（4）)(*)(*)(221tftftf（5）)3()(2*)(341tftftf波形图如图 2-9(a) 所示。波形图如图 2-9(b) 所示。波形图如图 2-9(c) 所示。波形图如图 2-9(d) 所示。波形
9、图如图 2-9(e) 所示。2-20 已知)()(1tttf，)2()()(2tttf，求)2( *) 1(*)()(21ttftfty2-22 某 LTI 系统，其输入)(tf与输出)(ty的关系为dxxfetytxt)2()(1)(2求该系统的冲激响应)(th。2-28 如图 2-19 所示的系统，试求输入)()(ttf时，系统的零状态响应。2-29 如图 2-20 所示的系统，它由几个子系统组合而成，各子系统的冲激响应分别为求复合系统的冲激响应。第三章习题、试求序列k01(k)=2f，的差分(k)f、(k)f和i=-(i)kf。、求下列差分方程所描述的LTI 离散系统的零输入相应、零状态
10、响应和全响应。1）( )- 2 ( -1)( ),( )2 ( ),(-1)-1y ky kf kf kky3）( )2 (-1)( ),( )(34) ( ),(-1)-1y ky kf kf kkky5）1( )2 (-1)( - 2)( ),( )3()( ),(-1)3, (-2)-52ky ky ky kf kf kkyy、求下列差分方程所描述的离散系统的单位序列响应。 2 ）( )- (-2)( )y ky kf k 5 ）( ) -4 ( -1)8 (-2)( )y ky ky kf k、求图所示各系统的单位序列响应。（a）（c）、求图所示系统的单位序列响应。、各序列的图形如图所
11、示，求下列卷积和。（1）12( )( )f kfk（2）23( )( )fkfk（3）34( )( )fkfk（4）213( )- ( )( )fk f kfk、求题图所示各系统的阶跃响应。、求图所示系统的单位序列响应和阶跃响应。、若 LTI 离散系统的阶跃响应( )0.5kg kk，求其单位序列响应。、如图所示系统， 试求当激励分别为 （1）( )( )f kk（2）( )0.5( )kf kk时的零状态响应。、如图所示的离散系统由两个子系统级联组成，已知1=2cos4kh k，2=khkka， 激励=-1f kkak， 求该系统的零状态响应( )zsky。 （提示：利用卷积和的结合律和交换
12、律，可以简化运算。）、如图所示的复合系统有三个子系统组成，它们的单位序列响应分别为1=hkk，2=-5hkk，求复合系统的单位序列响应。第四章习题求下列周期信号的基波角频率和周期T。（1）tje100（2）)3(2cost（3）)4sin()2cos(tt（4）)5cos()3cos()2cos(ttt（5）)4sin()2cos(tt（6）)5cos()3cos()2cos(ttt用直接计算傅里叶系数的方法，求图4-15 所示周期函数的傅里叶系数（三角形式或指数形式）。图 4-15利用奇偶性判断图4-18 示各周期信号的傅里叶系数中所含有的频率分量。图 4-184-11 某 1电阻两端的电压
13、)(tu如图 4-19 所示，（1）求)(tu的三角形式傅里叶系数。（2）利用（ 1）的结果和1)21(u，求下列无穷级数之和（3）求 1电阻上的平均功率和电压有效值。（4）利用（ 3）的结果求下列无穷级数之和图 4-19根据傅里叶变换对称性求下列函数的傅里叶变换（1）ttttf,)2()2(2sin)(（2）tttf,2)(22（3）ttttf,2)2sin()(2求下列信号的傅里叶变换（1）)2()(tetfjt（2）)1( )()1(3tetft（3）)9sgn()(2ttf（4）)1()(2tetft（5）)12()(ttf试用时域微积分性质，求图4-23 示信号的频谱。图 4-23若
14、已知)(j )(FtfF，试求下列函数的频谱：（1）)2( ttf（3）dttdft)(（5）)-1(t)-(1tf（8）)2-3(tfejt（9）tdttdf1*)(求下列函数的傅里叶变换（1）000,1,)(jF（3）)(3cos2)(jF（5）1)(2n-20sin2)(jjneF试用下列方式求图4-25 示信号的频谱函数（1）利用延时和线性性质（门函数的频谱可利用已知结果）。（2）利用时域的积分定理。（3）将)(tf看作门函数)(2tg与冲激函数)2(t、)2(t的卷积之和。图 4-25试求图 4-27 示周期信号的频谱函数。 图（b）中冲激函数的强度均为1。图 4-27如图 4-29
15、 所示信号)(tf的频谱为)( jF，求下列各值 不必求出)( jF（1）0| )()0(jFF（2）djF)(（3）djF2)(图 4-29利用能量等式计算下列积分的值。（1）dttt2)sin(（2）22)1(xdx一周期为 T 的周期信号)(tf，已知其指数形式的傅里叶系数为nF，求下列周期信号的傅里叶系数（1）)()(01ttftf（2）)()(2tftf（3）dttdftf)()(3（4）0),()(4aatftf求图 4-30 示电路中，输出电压电路中， 输出电压)(2tu对输入电流)(tiS的频率响应)()()(2jIjUjHS，为了能无失真的传输，试确定R1、R2的值。图 4-
16、30某 LTI 系统，其输入为)(tf，输出为式中 a 为常数，且已知)()(jSts，求该系统的频率响应)( jH。某 LTI 系统的频率响应jjjH22)(，若系统输入)2cos()(ttf，求该系统的输出)(ty。一理想低通滤波器的频率响应一个 LTI 系统的频率响应若输入)5cos()3sin()(ttttf，求该系统的输出)(ty。如图 4-35 的系统，其输出是输入的平方，即)()(2tfty（设)(tf为实函数）。该系统是线性的吗？（1）如tttfsin)(，求)(ty的频谱函数（或画出频谱图）。（2）如)2cos(cos21) 1(ttf，求)(ty的频谱函数（或画出频谱图）。
17、如图 4-42(a) 的系统，带通滤波器的频率响应如图(b) 所示，其相频特性0)(，若输入求输出信号)(ty。图 4-42有限频带信号)(tf的最高频率为 100Hz，若对下列信号进行时域取样，求最小取样频率sf。（1）)3( tf（2）)(2tf（3）)2(*)(tftf（4）)()(2tftf有限频带信号)4cos()2cos(25)(11tftftf， 其中kHzf11， 求Hzfs800的冲激函数序列)(tT进行取样（请注意1ffs）。（1）画出)(tf及取样信号)(tfs在频率区间（ -2kHz，2kHz）的频谱图。（2）若将取样信号)(tfs输入到截止频率Hzfc500，幅度为的
18、理想低通滤波器，即其频率响应画出滤波器的输出信号的频谱，并求出输出信号)(ty。图 4-47图 4-48图 4-49求下列离散周期信号的傅里叶系数。（2）)4)(30()21()(Nkkfk第五章5-2 求图 5-1 所示各信号拉普拉斯变换，并注明收敛域。5-3 利用常用函数（例如)(t，)(teat，)()sin(tt，)()cos(tt等）的象函数及拉普拉斯变换的性质，求下列函数)(tf的拉普拉斯变换)(sF。（1）)2()()2(tetett（3）)1()()sin(ttt（5）)24( t（7）)()42sin(tt（9）tdxt0)sin(（11）)()sin(22ttdtd（13）
19、)(22tett（15）)1()3(ttet1235-4 如已知因果函数)(tf的象函数11)(2sssF，求下列函数)(ty的象函数)(sY。（1）)2(tfet（4）)12( ttf5-6 求下列象函数)(sF的原函数的初值)0(f和终值)(f。（1）2) 1(32)(sssF（2）) 1(13)(ssssF5-7 求图 5-2 所示在0t时接入的有始周期信号)(tf的象函数)(sF。图 5-25-8 求下列各象函数)(sF的拉普拉斯变换)(tf。（1）)4)(2(1ss（3）235422ssss（5）)4(422sss（7）2)1(1ss（9）)52(52ssss5-9 求下列象函数)(
20、sF的拉普拉斯变换)(tf，并粗略画出它们的波形图。（1）11seTs（3）3)3(2ses（6）222)1(ses其波形如下图所示：其波形如下图所示：其波形如下图所示：5-10 下列象函数)(sF的原函数)(tf是0t接入的有始周期信号，求周期 T并写出其第一个周期（Tt0）的时间函数表达式)(tfo。（1）se11（2）)1(12ses5-12 用拉普拉斯变换法解微分方程)(3)(6)( 5)( tftytyty的零输入响应和零状态响应。（1）已知2)0( , 1)0(),()(yyttf。（2）已知1)0( ,0)0(),()(yytetft。5-13 描述某系统的输出)(1ty和)(2
21、ty的联立微分方程为（1）已知0)(tf，1)0(1y，2)0(2y，求零状态响应)(1tyzs，)(2tyzs。5-15 描述某 LTI 系统的微分方程为)(4)( )(2)( 3)( tftftytyty求在下列条件下的零输入响应和零状态响应。（1）1)0( , 0)0(),()(yyttf。（2）1)0( , 1)0(),()(2yytetft。5-16 描述描述某 LTI 系统的微分方程为)(4)( )(2)( 3)( tftftytyty求在下列条件下的零输入响应和零状态响应。（1）3)0( , 1)0(),()(yyttf。（2）2)0( , 1)0(),()(2yytetft。5
22、-17 求下列方程所描述的LTI 系统的冲激响应)(th和阶跃响应)(tg。（1）)(3)( )(3)( 4)( tftftytyty5-18 已知系统函数和初始状态如下，求系统的零输入响应)(tyzi。（1）656)(2ssssH，1)0( )0(yy（3）)23(4)(2sssssH，1)0( )0( )0(yyy5-22 如图 5-5 所示的复合系统， 由 4 个子系统连接组成， 若各子系统的系统函数或冲激响应分别为11)(1ssH，21)(2ssH，)()(3tth，)()(24tetht，求复合系统的冲激响应)(th。5-26 如图 5-7 所示系统， 已知当)()(ttf时，系统的
23、零状态响应)()551()(32teetyttzs，求系数 a、b、c。5-28 某 LTI 系统，在以下各种情况下起初始状态相同。已知当激励)()(1ttf时，其全响应)()()(1tettyt；当激励)()(2ttf时，其全响应)(3)(2tetyt。（1）若)()(23tetft，求系统的全响应。5-29 如图 5-8 所示电路，其输入均为单位阶跃函数)(t， 求电压)(tu的零状态响应。5-42 某系统的频率响应jjjH11)(，求当输入)(tf为下列函数时的零状态响应)(tyzs。（1）)()(ttf（2）)(sin)(tttf5-50 求下列象函数的双边拉普拉斯变换。（1）3Re1
24、 ,)3)(1(2sss（2）1Re3,)3)(1(2sss（3）0Re,442ss（4）0Re1,)1)(4(42ssss根据下列象函数及所标注的收敛域，求其所对应的原序列。（1）1)(zF，全z平面（2）zzzF,)(3（3）0,)(1zzzF（4）zzzzF0 ,12)(2（5）azazzF,11)(1（6）azazzF,11)(1已知1)(k，azzkak)(，2)1()(zzkk，试利用 z 变换的性质求下列序列的 z 变换并注明收敛域。（1）)() 1(121kk（3）)()1(kkk（5）)1()1(kkk（7）)4()(kkk（9）)()2cos()21(kkk若因果序列的 z
25、 变换)(zF如下，能否应用终值定理？如果能，求出)(limkfk。（1）)31)(21(1)(2zzzzF（3）)2)(1()(2zzzzF求下列象函数的双边逆z 变换。（1）31,)31)(21(1)(2zzzzzF（2）21,)31)(21()(2zzzzzF（3）21,)1()21()(23zzzzzF（4）2131,)1()21()(23zzzzzF求下列象函数的逆z 变换。（1）1,11)(2zzzF（2）1,)1)(1()(22zzzzzzzF（5）1,)1)(1()(2zzzzzF（6）azazazzzF,)()(32如因果序列)()(zFkf，试求下列序列的z 变换。（1）)
26、(0ifakii（2）kikifa0)(用 z 变换法解下列齐次差分方程。（1）1)1(,0)1(9 .0)(ykyky（3）3)1(,0)0(,0)(2)1()2(yykykyky描述某 LTI 离散系统的差分方程为已知)()(,41)2(, 1)1(kkfyy，求该系统的零输入响应)(kyzi，零状态响应)(kyzs及全响应)(ky。图 6-2 为两个 LTI 离散系统框图，求各系统的单位序列响应)(kh和阶跃响应)(kg。如图 6-2 的系统，求激励为下列序列时的零状态响应。（1）)()(kkkf（3）)()31()(kkfk如图 6-5 所示系统。（1）求该系统的单位序列响应)(kh。
27、（2）若输入序列)()21()(kkfk，求零状态响应)(kyzs。图 6-6 所示系统，（1）求系统函数)(zH；（2）求单位序列响应)(kh；（3）列写该系统的输入输出差分方程。已知某 LTI 因果系统在输入)()21()(kkfk时的零状态响应为求该系统的系统函数)(zH，并画出它的模拟框图。图 6-126-29 已知某一阶 LTI 系统，当初始状态1)1(y，输入)()(1kkf时，其全响应)(2)(1kky；当初始状态1)1(y，输入)(21)(2kkkf时，其全响应)()1()(2kkky。求输入)()21()(kkfk时的零状态响应。如图 6-10 所示的复合系统由3 个子系统组
28、成，已知子系统2 的单位序列响应)()1()(2kkhk，子系统 3 的系统数1)(3zzkH，当输入)()(kkf时复合系统的零状态响应)()1(3)(1kkky。求子系统 1 的单位序列响应)(1kh。设某 LTI 系统的阶跃响应为)(kg，已知当输入为因果序列)(kf时，其零状态响应求输入)(kf。因果序列)(kf满足方程求序列)(kf。移动平均是一种用以滤除噪声的简单数据处理方法。当接收到输入数据)(kf后，就将本次输入数据与其前3 次的输入数据（共4 个数据）进行平均。求该数据处理系统的频率响应。如图 6- 所示为因果离散系统，)(kf为输入，)(ky为输出。（1）列出该系统的输入输
29、出差分方程。（2）问该系统存在频率响应否？为什么？（3）若频响函数存在，求输入)8.302cos(20)(kkf时系统的稳态响应)(kyss。如图 7-5 的 RC带通滤波电路，求其电压比函数)()()(12sUsUsH及其零、极点。连续系统 a 和 b，其系统函数)(sH的零点、极点分布如图7-12 所示，且已知当s时，1)(H。（1）求出系统函数)(sH的表达式。（2）写出幅频响应)( jH的表达式。图 7-17 所示电路的输入阻抗函数)()()(11sIsUsZ的零点在 -2 ，极点在31j，且21)0(Z，求 R、L、C的值。如图 7-27 所示的离散系统，已知其系统函数的零点在2，极
30、点在，求各系数 a，b。图 7-29 所示连续系统的系数如下，判断该系统是否稳定。（1）3,210aa；（2）3,210aa；（3）3,210aa。图 7-30 所示离散系统的系数如下，判断该系统是否稳定。（1）1,2110aa；（2）1,2110aa；（3）1,2110aa。图 7-31 所示为反馈系统，已知44)(2ssssG，K为常数。为使系统稳定，试确定 K值的范围。已知某离散系统的差分方程为（1）若该系统为因果系统，求系统的单位序列响应h(k) 。（2）若该系统为稳定系统， 求系统的单位序列响应h(k)，并计算输入)()5 .0()(kkfk时的零状态响应)(kyzs。求图 7-36
31、 所示连续系统的系统函数)(sH。画出图 7-40 所示的信号流图，求出其系统函数)(sH。解 (a) 由 s 域系统框图可得系统的信号流图如图7-41(a) 。 流图中有一个回路。其增益为(b) 由 s 域系统框图可得系统的信号流图如图7-41(b) 。流图中有一个回路。其增益为如连续系统的系统函数如下，试用直接形式模拟此系统，画出其方框图。（1）)3)(2)(1(1ssss（3）)3)(2)(1(542sssss(e)(f)图 7-31相应的方框图为图7-31(c)用级联形式和并联形式模拟题的系统，并画出框图。信号流图为图 7-32（a），响应的方框图为图7-32（b）。信号流图为图 7-
32、32（c），响应的方框图为图7-32（d）。(b)(c)(d)分别画出)(1sH和)(2sH的信号流图，将两者级联即得)(sH的信号流图，如图 7-50(a) 所示，其相应的方框图如图7-50(b) 所示。分别画出)(1sH和)(2sH和)(3sH的信号流图，将三者并联即得)(sH的信号流图，如图 7-50(c) 所示，其相应的方框图如图7-50(d) 所示。图 7-61 所示为离散 LTI 因果系统的信号流图。（1）求系统函数)(zH。（2）列写出输入输出差分方程。（3）判断该系统是否稳定。在系统的稳定性研究中，有时还应用“罗斯（Routh）判据或准则”，利用它可确定多项式的根是否都位于s
33、左半平面。这里只说明对二、三阶多项式的判据。二阶多项式ss2的根都位于 s 左半平面的充分必要条件是：0,0；对三阶多项式sss23的根都位于 s左半平面的充分必要条件是：并且,0,0,0。根据上述结论，试判断下列各表达式的根是否都位于s 左半平面。（1）652ss（2）9222ss（3）112523sss（4）sss21823（5）112523sss在系统的稳定性研究中，有时还应用“朱里判据或准则”，利用它可确定多项式的根是否都位于单位圆内。这里只说明对二阶多项式的判据。二阶多项式zz2的根都位于 z 单位圆内的充分必要条件是：1,1。根据上述结论，试判断下列各表达式的根是否都位于单位圆内。
34、（1）9 .08.12zz（2）zz5.02（3）11252zz（4）5.022zz对图 8-1所示电路，列写出以)(tuC、)(tiL为状态变量x1、x2，以)(1ty、)(2ty为输出的状态方程和输出方程。描述某连续系统的微分方程为写出该系统的状态方程和输出方程。描述连续系统的微分方程组如下，写出系统的状态方程和输出方程。（1）)()()(2)(3)(211)1(1)2(1tftftytyty（2）)()()(12)1(1tftyty以x1、x2、x3为状态变量，写出图8-3 所示系统的状态方程和输出方程。如图 8-7 所示连续系统的框图。（1）写出以x1、x2为状态变量的状态方程和输出方
35、程。（2）为使该系统稳定，常数a，b 应满足什么条件？描述某连续系统的系统函数为画出其直接形式的信号流图，写出相应的状态方程和输出方程。解： 将系统函数)(sH改写成由此可画出直接形式的信号流图，如图8-10 所示。选取图 8-10 中积分器的输出作为状态变量。由图8-10 可写出如下方程21xx?fxxx?212412fxxxxy224922122?将式和式写成矩阵形式，得状态方程将式写成矩阵形式，得输出方程某离散系统的信号流图如图8-13 所示。写出以x1（k）、x2（k）为状态变量的状态方程和输出方程。如图 8-14 所示离散系统，状态变量x1、x2、x3如图 8-14 所示。列出系统的状态方程和输出方程。