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1、一、引例一、引例二、二、导数的定数的定义三、三、导数的几何意数的几何意义四、函数的可四、函数的可导性与性与连续性的关系性的关系五、五、单侧导数数第一节第一节导数的概念导数的概念 第二章 二、二、导数的定数的定义定定义1.设函数在点存在,并称此极限为记作:即则称函数若的某邻域内有定义,在点处可可导,在点的导数数.运动质点的位置函数在 时刻的瞬时速度曲线在 M 点处的切线斜率说明明:在经济学中,边际成本率,边际劳动生产率和边际税率等从数学角度看就是导数.例例1.设存在,求极限解解:原式解解:因为例例2.设存在,且求所以三、三、导数的几何意数的几何意义曲线在点的切线斜率为若曲线过上升;若曲线过下降;
2、若切线与 x 轴平行,称为驻点点;若切线与 x 轴垂直.曲线在点处的切切线方程方程:法法线方程方程:例例3.问曲线哪一点有垂直切线?哪一点处的切线与直线平行?写出其切线方程.解解:令得对应则在点(1,1),(1,1)处与直线平行的切线方程分别为即故在原点(0,0)有垂直切线四、四、函数的可函数的可导性与性与连续性的关系性的关系定理定理1.设解解:又例例4.所以 在处连续.即在处可导.处的连续性及可导性.在点的某个右右 邻域内五、五、单侧导数数若极限则称此极限值为在 处的右右 导数数,记作即(左)(左左)例如例如,在 x=0 处有定定义2.设函数有定义,存在,定理定理2.函数在点且存在简写为在点
3、处右右 导数存在定理定理3.函数在点必 右右 连续.(左左)(左左)若函数与都存在,则称显然:在闭区间 a,b 上可导在开区间 内可导,在闭区间 上可导.可导的充分必要条件是且 判断可导性不连续,一定不可导.直接用导数定义;看左右导数是否存在且相等.思考与思考与练习1.函数 在某点 处的导数区别:是函数,是数值;联系:注意注意:有什么区别与联系?？与导函数2.设存在,则3.已知则4.若时,恒有问是否在可导?解解:由题设由夹逼准则故在可导,且5.设,问 a 取何值时,在都存在,并求出解解:故时此时在都存在,显然该函数在 x=0 连续.在 处连续,且存在，证明:在处可导.证：因为存在，则有又在处连续,所以即在处可导.6.设故7.7.设在处连续,且求解解:8.8.设存在,求解解:原式=9.9.若且存在,求解解:原式=且联想到凑导数的定义式10.10.设,试确定常数a,b解解:得即使f(x)处处可导,并求是否为连续函数?判判别: