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1、第第14课时二次函数的综合应用课时二次函数的综合应用(每年第每年第24题必考，题必考，10分分)目录典例典例“串串”考点考点12陕西陕西5年真题、副题年真题、副题“明明”考法考法典例典例“串串”考点考点一、二次函数表达式的确定一、二次函数表达式的确定类型一表达式已知类型一表达式已知1. 已知抛物线已知抛物线 yx2bxc的顶点坐标为的顶点坐标为(1，2)，求抛物线的表达式，求抛物线的表达式解：解：抛物线的表达式中抛物线的表达式中a1，将抛物线表达式写成将抛物线表达式写成y(xh)2k，代入顶点坐标代入顶点坐标(1，2)，得，得y(x1)22x22x3，抛物线的表达式为抛物线的表达式为yx22x
2、3.2. 已知抛物线已知抛物线yax22xc经过点经过点(1，3)，(0，3)，求抛物线的表达式，求抛物线的表达式解：解：抛物线经过点抛物线经过点(0，3)c3，将将(1，3)代入代入yax22x3中得，中得，3a23，a2，抛物线的表达式为抛物线的表达式为y2x22x3.类型二类型二 表达式未知表达式未知3. 已知抛物线的顶点坐标为已知抛物线的顶点坐标为(2，3)，且经过点，且经过点(1，2)，求抛物线的表达式，求抛物线的表达式解：解：抛物线的顶点坐标为抛物线的顶点坐标为(2，3)，设抛物线的表达式为设抛物线的表达式为ya(x2)23，将点将点(1，2)代入，得代入，得2a3，解得解得a1.
3、抛物线的表达式为抛物线的表达式为y(x2)23x24x1.4. 已知抛物线与已知抛物线与x轴的交点为轴的交点为(2，0)、(2，0)，且经过点，且经过点(1，3)，求抛物线的表达，求抛物线的表达式式 解：解：抛物线与抛物线与x轴的交点为轴的交点为(2，0)、(2，0)，设抛物线的表达式为设抛物线的表达式为ya(x2)(x2)，将点将点(1，3)代入，得代入，得33a，解得解得a1.抛物线的表达式为抛物线的表达式为y(x2)(x2)x24.5. 已知抛物线经过点已知抛物线经过点(0，6)，(2，4)和和(3，0)，求抛物线的表达式，求抛物线的表达式解：设抛物线表达式为解：设抛物线表达式为yax2
4、bxc，将点将点(0，6)，(2，4)和和(3，0)代入，代入，抛物线的表达式为抛物线的表达式为yx2x6.【提分要点】待定系数法求抛物线表达式方法如下：【提分要点】待定系数法求抛物线表达式方法如下：表达式已给出表达式已给出找出抛物线上的两个点或三个点坐标代入即可表达式未给出表达式未给出当已知抛物线的顶点坐标或对称轴及最大(小)值时，通常设表达式为ya(xh)2k(a0)，其中顶点坐标为(h，k)，对称轴为直线xh当已知抛物线与x轴的两个交点坐标或对称轴、抛物线与x轴的一个交点时，通常设表达式为ya(xx1)(xx2)(a0)，其中抛物线与x轴交点为(x1，0)，(x2，0)当已知抛物线上任意
5、三点时，通常设抛物线的表达式为yax2bxc(a0)二、二次函数综合题二、二次函数综合题类型一二次函数与特殊三角形判定类型一二次函数与特殊三角形判定1. 如图，线段如图，线段AB与直线与直线l交于点交于点A，且，且AB不与直线不与直线l垂直，请在垂直，请在l上找一点上找一点P，使，使ABP为等腰三角形，请在图中画出所有符合要求的点为等腰三角形，请在图中画出所有符合要求的点P，保留作图痕迹，不写作法，保留作图痕迹，不写作法第1题图解：如解图，解：如解图，以以AB为腰，为腰，A为顶角顶点作图得为顶角顶点作图得P1，P2；以以AB为腰，为腰，B为顶角为顶角顶点作图得顶点作图得P3；以以AB为底，作图
6、得为底，作图得P4.所作所作P1，P2，P3，P4即为所求即为所求第1题解图【作法提示】【作法提示】以以A为圆心，为圆心，AB长为半径画圆，交直线长为半径画圆，交直线l于于P1，P2两点；两点；以以B为为圆心，圆心，AB长为半径画圆，交直线长为半径画圆，交直线l于点于点P3；作作AB的垂直平分线，分别以的垂直平分线，分别以A，B为为圆心，大于圆心，大于 AB的任意长为半径画圆，交的任意长为半径画圆，交AB两侧于两点，过两点的直线与两侧于两点，过两点的直线与l的交的交点即为点即为P4.122. 在平面直角坐标系中，已知点在平面直角坐标系中，已知点A(2，2)，B(4，0)，若在，若在y轴上取点轴
7、上取点C，使，使ABC为等为等腰三角形，求满足条件的点腰三角形，求满足条件的点C的坐标的坐标第2题图解：设点解：设点C的坐标为的坐标为(0，c)，A(2，2)，B(4，0)，根据勾股定理得，根据勾股定理得，AB2(42)2228，AC222(2c)2c24c8，BC242c2c216.分情况讨论：分情况讨论：当当ABAC时，时，AB2AC2，即，即8c24c8. 解得解得c10，c24.当当c4时，时，A，B，C在同一直线上，不合题意；在同一直线上，不合题意；当当c0时，时，C与原点与原点O重合，即重合，即C(0，0)；ABOB，ABBC，不存在点，不存在点C使使ABBC；当当ACBC时，时，
8、AC2BC2，即，即c24c8c216. 解得解得c2，点点C(0，2)综上所述，满足条件的点综上所述，满足条件的点C的坐标为的坐标为(0，0)或或(0，2)3. 如图，线段如图，线段AB在直线在直线l上方，请在直线上方，请在直线l上求作一点上求作一点P，使，使PAB是直角三角形，请是直角三角形，请在图中画出所有符合要求的点在图中画出所有符合要求的点P，保留作图痕迹，不写作法，保留作图痕迹，不写作法第3题图解：存在点解：存在点P，使，使PAB是直角三角形，如解图中点是直角三角形，如解图中点P1，P2，P3，P4即为满足条件的点即为满足条件的点P.画图依据：画图依据：AB作为直角边：分别过点作为
9、直角边：分别过点A，B作线段作线段AB的垂的垂线，交线，交l于点于点P1，P2；AB作为斜边：以作为斜边：以AB为直径画圆，交为直径画圆，交l于点于点P3，P4，根据直径所对的圆周角是直角得到直角三角，根据直径所对的圆周角是直角得到直角三角形形第3题解图4. 如图，在平面直角坐标系中，点如图，在平面直角坐标系中，点B坐标为坐标为(3，0)，点，点C坐标为坐标为(0，3)在直线在直线x1上有一点上有一点Q，使，使QBC为直角三角形，求点为直角三角形，求点Q的坐标的坐标第4题图解：解：点点Q在直线在直线x1上，上， 可设可设Q点坐标为点坐标为(1，t )，B(3，0)，C(0，3)， BQ2(13
10、)2t2t24，CQ212(t3)2t26t10， BC218.要使要使QBC为直角三角形，可分为为直角三角形，可分为BQC90、CBQ90和和BCQ90三种情况，三种情况，当当BQC90时，则有时，则有BQ2CQ2BC2，即即t24t26t1018当当CBQ90时，则有时，则有BC2BQ2CQ2， 即即t2418t26t10. 解得解得t2.此时点此时点Q坐标为坐标为(1，2)；当当BCQ90时，则有时，则有BC2CQ2BQ2，即即18t26t10t24. 解得解得t4.此时点此时点Q坐标为坐标为(1，4)综上，点综上，点Q的坐标为的坐标为5. 如图，已知点如图，已知点M，N是抛物线是抛物线
11、yx22x3上的两点上的两点(点点M在点在点N的左侧的左侧)，连接，连接MN.若若MNx轴，则在轴，则在x轴上求作一点轴上求作一点Q，使得，使得MNQ为等腰直角三角形，求点为等腰直角三角形，求点Q的坐标的坐标【思维教练】要使【思维教练】要使MNQ为等腰直角三角形，则需分为等腰直角三角形，则需分M，N，Q三点中哪个点为直角三点中哪个点为直角顶点进行分类讨论，此外需满足斜边是直角边的顶点进行分类讨论，此外需满足斜边是直角边的 倍倍2第5题图解：如解图，解：如解图，QMN是直角三角形，直角顶点不确定，则分以下三种情况讨论：是直角三角形，直角顶点不确定，则分以下三种情况讨论：当点当点Q是直角顶点时，根
12、据等腰直角三角形的对称性可知点是直角顶点时，根据等腰直角三角形的对称性可知点Q1(1，0)；当点当点M或或N是直角顶点，且点是直角顶点，且点M、N在在x轴上方时，设点轴上方时，设点Q2(x，0)(x1)，Q1Q21x，MN2Q1Q22(1x)，Q2MN为等腰直角三角形，为等腰直角三角形，y2(1x)，即，即x22x32(1x)(其中其中x1)若点若点M或点或点N是直角顶点，且点是直角顶点，且点M、N在在x轴下方时，设点轴下方时，设点Q4(x，0)(x1)，Q1Q41x，MN2Q1Q42(1x)Q4MN为等腰直角三角形，为等腰直角三角形，y2(1x)，即即(x22x3)2(1x)(其中其中x1)
13、第5题解图【提分要点】二次函数与等腰三角形或直角三角形判定结合的问题，解决的方法一【提分要点】二次函数与等腰三角形或直角三角形判定结合的问题，解决的方法一般为：般为：1. 用点坐标表示三角形三边长的平方；用点坐标表示三角形三边长的平方；2. 根据等腰三角形的性质，分别令三边长中两两相等，得到三组方程；根据直角三根据等腰三角形的性质，分别令三边长中两两相等，得到三组方程；根据直角三角形的性质，对直角顶点进行分类讨论，利用勾股定理分别列方程；角形的性质，对直角顶点进行分类讨论，利用勾股定理分别列方程；3. 分别解这几个方程，若方程有解，则这个解即为所求；若方程无解，则不存在这分别解这几个方程，若方
14、程有解，则这个解即为所求；若方程无解，则不存在这样的三角形样的三角形此类问题也可以利用数形结合，先找点，再计算：此类问题也可以利用数形结合，先找点，再计算：1. 等腰三角形利用两圆一线找交点，等腰三角形利用两圆一线找交点，已知边为腰时，作圆找点；已知边为腰时，作圆找点；已知边为底时，已知边为底时，作线段垂直平分线找点；作线段垂直平分线找点；2. 直角三角形利用两线一圆找交点，直角三角形利用两线一圆找交点，已知边为直角边，分别过边的两端点作边的已知边为直角边，分别过边的两端点作边的垂线找点；垂线找点；已知边为斜边，作以斜边为直径的圆找点已知边为斜边，作以斜边为直径的圆找点类型二二次函数与特殊四边
15、形判定类型二二次函数与特殊四边形判定1. 如图，已知平面上不共线三个点如图，已知平面上不共线三个点A，B，C，求一点，求一点P，使得以，使得以A，B，C，P四个点四个点为顶点的四边形是平行四边形，请在图中画出符合要求的点为顶点的四边形是平行四边形，请在图中画出符合要求的点P，保留作图痕迹，不，保留作图痕迹，不写作法写作法第1题图解：如解图，点解：如解图，点P1、P2、P3即为所求即为所求第1题解图【作法提示】连接【作法提示】连接AB、AC、BC，分别过点，分别过点A、B、C作对边的平行线，三条平行线作对边的平行线，三条平行线的交点即为所有点的交点即为所有点P.2. 在如图所示的网格中，点在如图
16、所示的网格中，点A、B都在格点上，请找出两组格点都在格点上，请找出两组格点C、D，使得以，使得以A、B、C、D为顶点的四边形为平行四边形为顶点的四边形为平行四边形第2题图解：以解：以AB为边的平行四边形为边的平行四边形ABCD如解图如解图(答案不唯一答案不唯一)；以以AB为对角线的平行四边形为对角线的平行四边形ACBD如解图如解图(答案不唯一答案不唯一)第2题解图【作法提示】分两种情况讨论：【作法提示】分两种情况讨论：若若AB为平行四边形的边，将为平行四边形的边，将AB上下左右平移，上下左右平移，确定确定C、D的位置；的位置；若若AB为平行四边形的对角线，取为平行四边形的对角线，取AB中点，旋
17、转经过中点的直中点，旋转经过中点的直线确定线确定C、D的位置的位置3. 如图，在平面直角坐标系中，点如图，在平面直角坐标系中，点A(4，2)，B(1，3)，P是是x轴上的一点，轴上的一点，Q是是y轴上的一点若以点轴上的一点若以点A，B，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形，求点四点为顶点的四边形是平行四边形，求点Q的坐的坐标标第3题图 解：如解图，当解：如解图，当AB为边时，为边时，当四边形当四边形QPBA是平行四边形，是平行四边形，ABPQ，QAPB， Q点的坐标是点的坐标是(0，5)；当当AB为对角线，即当四边形为对角线，即当四边形P1AQ1B是平行四边形，是平行四边形，AP1Q1B，AQ
18、1BP1. Q1点的坐标是点的坐标是(0，1)当四边形当四边形ABQ2P2是平行四边形时，是平行四边形时，ABP2Q2，AP2BQ2.点点A(4，2)，B(1，3)， AB ，则，则OP2OQ25.点点Q2的坐标是的坐标是(0，5)；综上所述，符合题意的点综上所述，符合题意的点Q的坐标为的坐标为(0，5)或或(0，1)或或(0，5)第3题解图4. 如图，在平面直角坐标系中，如图，在平面直角坐标系中，A(2，0)，C(0，6)，连接，连接AC.若点若点M是是y轴上的轴上的一点，点一点，点N是坐标平面内任意一点，若要使以是坐标平面内任意一点，若要使以AC为边，且以点为边，且以点A、C、M、N为顶点
19、为顶点的四边形是菱形，求出点的四边形是菱形，求出点N的坐标的坐标第4题图解：解：A(2，0)，C(0，6)，OA2，OC6，如解图，在菱形如解图，在菱形ACN1M1中，中，N1坐标为坐标为(2，0)；在菱形在菱形ACM3N3中，中，第4题解图5. 如图，在平面直角坐标系中，如图，在平面直角坐标系中，A(3，0)，B(0，3)若点若点D是直线是直线x2上一点，点上一点，点E是平面内任意一点，要使四边形是平面内任意一点，要使四边形ABDE为矩形，求出点为矩形，求出点D、E的坐标的坐标第5题图解：如解图，要使四边形解：如解图，要使四边形ABDE为矩形，设直线为矩形，设直线x2交交x轴于点轴于点F，则
20、，则ABD90，BDCFAC，C(2，1)，F(2，0)，A(3，0)，B(0，3)，D(2，5)，ABDE，ABDE，根据点平移及矩形性质可得，根据点平移及矩形性质可得，E(5，2)使得四边形使得四边形ABDE为矩形，点为矩形，点D、E的坐标分别为的坐标分别为D(2，5)、E(5，2)第5题解图6. 如图，已知抛物线交如图，已知抛物线交x轴于轴于A(1，0)，B(3，0)两点，交两点，交y轴于点轴于点C(0，2)，点，点D为为抛物线的顶点点抛物线的顶点点P为坐标平面内一点，以为坐标平面内一点，以B、C、D、P为顶点的四边形是平行四边为顶点的四边形是平行四边形，求点形，求点P的坐标的坐标第6题
21、图【思维教练】要以【思维教练】要以B、C、D、P为顶点的四边形为平行四边形，为顶点的四边形为平行四边形，B、C、D三点确定，三点确定，则需分则需分CD、BC、BD分别为对角线三种情况讨论分别为对角线三种情况讨论解：设抛物线的解析式为解：设抛物线的解析式为yax2bxc，将，将A(1，0)，B(3，0)，C(0，2)代入得，代入得，C(0，2)，B(3，0)，当当CD、BP为平行四边形的对角线时，为平行四边形的对角线时，CD与与BP互相平分，互相平分，当当BC、PD为平行四边形的对角线时，为平行四边形的对角线时，BC与与PD互相平分，互相平分，当当BD、PC为平行四边形的对角线时，为平行四边形的
22、对角线时，BD与与PC互相平分，互相平分，以以B、C、D、P为顶点的四边形是平行四边形为顶点的四边形是平行四边形【提分要点】二次函数与特殊四边形判定问题，解题思路如下：【提分要点】二次函数与特殊四边形判定问题，解题思路如下：1. 判定平行四边形时，一定要学会分类讨论：判定平行四边形时，一定要学会分类讨论：(1)已知四个顶点已知四个顶点A、B、C、D中的两点中的两点A、B，则分：，则分：线段线段AB为边，根据为边，根据ABCD且且ABCD；线段线段AB为对角线，根据为对角线，根据AB、CD互相平分；互相平分；(2)已知四个顶点已知四个顶点A、B、C、D中的三点中的三点A、B、C，则分：，则分：线
23、段线段AB为对角线，过点为对角线，过点C找点找点D；线段线段AC为对角线，过点为对角线，过点B找点找点D；线段线段BC为对角线，过点为对角线，过点A找点找点D；2. 判定菱形时，在平行四边形的基础上满足邻边相等或对角线互相垂直即可；判定菱形时，在平行四边形的基础上满足邻边相等或对角线互相垂直即可；3. 判定矩形时，在平行四边形的基础上满足有一个角为直角或对角线相等即可；判定矩形时，在平行四边形的基础上满足有一个角为直角或对角线相等即可；4. 判定正方形时，在平行四边形的基础上，满足有一个角为直角且邻边相等或对角判定正方形时，在平行四边形的基础上，满足有一个角为直角且邻边相等或对角线互相垂直且相
24、等即可线互相垂直且相等即可类型三二次函数与图形面积类型三二次函数与图形面积1. 如图，在平面直角坐标系中，点如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为的坐标分别为(1，0)，(1，2)求求OAB的面积的面积第1题图 解：由题意得解：由题意得OA1，在在AOB中，以中，以AO为底，则为底，则AOB的高是点的高是点B的纵坐标的绝对值，的纵坐标的绝对值，2. 如图，在平面直角坐标系中，线段如图，在平面直角坐标系中，线段BCx轴，垂足为轴，垂足为B，点，点C的坐标为的坐标为(4，3)，点点A在在y轴上，求轴上，求ABC的面积的面积第2题图解：解：BCx轴，轴，BC的长度为点的长度为点C的纵坐标的绝
25、对值，当以的纵坐标的绝对值，当以BC为底边，为底边，ABC的高是点的高是点C的横坐标的绝对值，的横坐标的绝对值，3. 如图，在平面直角坐标系中，点如图，在平面直角坐标系中，点A(1，3)，B(3，0)，C(5，4)，求，求ABC的面积的面积第3题图解：如解图，过点解：如解图，过点B作作y轴的平行线交直线轴的平行线交直线AC于点于点D.第3题解图设直线设直线AC的解析式为的解析式为ykxb，将点，将点A、C代入得，代入得，SABCSABDSBCD4. 如图，在平面直角坐标系中，点如图，在平面直角坐标系中，点A(1，3)，B(3，0)，C(5，4)，求四边形，求四边形AOBC的的面积；面积；第4题
26、图解：如解图，连接解：如解图，连接AB，过点，过点A作作ADx轴于点轴于点D，过点，过点C作作CEx轴于点轴于点E.A(1，3)，B(3，0)，C(5，4)，DE|xC|xA|4，DB|xB|xA|2，BE|xC|xB|2.S四边形四边形AOBCSAOBSABCSAOBS四边形四边形ADECSADBSBCE第4题解图5. 如图，抛物线如图，抛物线yx24x5与与x轴正半轴交于点轴正半轴交于点A，与，与y轴交于点轴交于点B，在抛物线的，在抛物线的第一象限内求作一点第一象限内求作一点C，使得四边形，使得四边形OACB的面积为的面积为 ，求点，求点C的坐标的坐标552第5题图【思维教练】结合题图可知
27、四边形【思维教练】结合题图可知四边形OACB为不规则图形，在涉及与面积相关的计算时，为不规则图形，在涉及与面积相关的计算时，需将其分割成边在坐标轴上或平行于坐标轴的面积易求解的三角形或四边形，因此想需将其分割成边在坐标轴上或平行于坐标轴的面积易求解的三角形或四边形，因此想到过点到过点C作作x轴的垂线，再求解即可轴的垂线，再求解即可解：如解图，过点解：如解图，过点C作作CDx轴于点轴于点D，设设C(n，n24n5)(n0)， 则则DOn，CDn24n5，AD5n，S四边形四边形OACBS四边形四边形OBCDSADC(n24n5)解得解得n2或或3.点点C的坐标为的坐标为(2，9)或或(3，8)第
28、5题解图【提分要点】二次函数与图形面积问题，解题思路如下：【提分要点】二次函数与图形面积问题，解题思路如下：1. 观察图形，弄清楚所求与面积有关的图形形状；观察图形，弄清楚所求与面积有关的图形形状；2. 作出与图形面积有关的辅助线，将所求面积转化为可以用面积公式进行求解的图作出与图形面积有关的辅助线，将所求面积转化为可以用面积公式进行求解的图形形(一般转化为三角形的面积进行讨论求解一般转化为三角形的面积进行讨论求解)，一般是作三角形的高或，一般是作三角形的高或y轴、轴、x轴的垂线，轴的垂线，再利用面积公式求解再利用面积公式求解类型四二次函数与三角形相似类型四二次函数与三角形相似1. 如图，在如
29、图，在ABC中，中，B90，点，点M为直线为直线l外一点，连接外一点，连接MC，ACM90，在直线在直线l上找一点上找一点P，使得，使得MCP与与ABC相似，请在图中作图画出所有符合要求的相似，请在图中作图画出所有符合要求的点点P.第1题图解：如解图，点解：如解图，点P1、P2就是所求点就是所求点第1题解图2. 如图，已知点如图，已知点A(0，4)，C(1，0)，点，点P(m，m23m4)，过点，过点P作作x轴的垂线轴的垂线PQ，过点过点A作作AQPQ于点于点Q，连接，连接AP，在平面内求作一点，在平面内求作一点P，使，使AQPAOC，求出，求出点点P的坐标的坐标第2题图P(m，m23m4)，
30、 AQ|m|，PQ|4(m23m4)|.|m|4|4(m23m4)|，即，即4|m23m|m|，解方程解方程4(m23m)m得得m10(舍去舍去)，m2解方程解方程4(m23m)m得得m10(舍去舍去)，m2综上所述，点综上所述，点P的坐标为的坐标为3. 如图，在平面直角坐标系中，已知点如图，在平面直角坐标系中，已知点A(3，0)，B(1，0)，C(0，3)，点，点F是线段是线段AC上任意一点，若上任意一点，若AOF与与ABC相似，求满足条件的点相似，求满足条件的点F的坐标的坐标第3题图解：如解图解：如解图，过，过O点作点作BC的平行线，交的平行线，交AC于点于点F1，过，过点点F1作作F1M
31、x轴于点轴于点M.第3题解图点点A(3，0)，B(1，0)，C(0，3)，AO3，OB1，OC3，AC ，OF1BC，AOF1ABC，又又AA，AOF1ABC，3 2OF1BC，AOF1ABC，又又AA，AOF1ABC，AA，AMF1AOC90，AMF1AOC，如解图如解图，过点，过点O作作AOF2ACB交交AC于点于点F2，则，则AOF2ACB时，时，过点过点F2作作F2Nx轴于点轴于点N，ANF2N2，ON1.此时此时F2(1，2)第3题解图综上所述，若综上所述，若AOF与与ABC相似，则点相似，则点F的坐标为的坐标为4. 如图，抛物线如图，抛物线y x2 x3与与x轴交于轴交于A，B两点
32、，与两点，与y轴交于点轴交于点C，在抛物线，在抛物线上求作点上求作点 Q(点点 C除外除外)，使以点，使以点 Q，A，B为顶点的三角形与为顶点的三角形与ABC相似求点相似求点Q的的坐标坐标第4题图18 14【思维教练】要使以点【思维教练】要使以点 Q，A，B为顶点的三角形与为顶点的三角形与ABC相似，对应顶点不确定，相似，对应顶点不确定，故需分故需分ABCBAQ；ABCAQB；ABCBQA三种情况讨论三种情况讨论【提分要点】二次函数与三角形相似问题，解题思路如下：【提分要点】二次函数与三角形相似问题，解题思路如下：一般由相似三角形对应边成比例，建立比例关系特别是用文字叙述的相似三角形，一般由相
33、似三角形对应边成比例，建立比例关系特别是用文字叙述的相似三角形，需要分情况找到对应边，由比例关系得出相应的关系式，列出方程求解，通常会用需要分情况找到对应边，由比例关系得出相应的关系式，列出方程求解，通常会用到方程思想到方程思想解：根据抛物线解析式可得，解：根据抛物线解析式可得，A(4，0)，B(6，0)，C(0，3)，分为三种情况讨论：分为三种情况讨论：当当ABCBAQ时，如解图时，如解图，即即ABCBAQ，第4解题图第4题解图过点过点Q作作QFx轴于点轴于点F，由，由QFOC3得得Q(2，3)；当当ABCAQB时，如解图时，如解图，过点过点Q作作QDx轴于点轴于点D，Q(12，12)；当当
34、ABCBQA时，如解图时，如解图，第4题解图过点过点Q作作QEx轴于点轴于点E，同理可得同理可得Q(10，12)综上所述，点综上所述，点Q的坐标为的坐标为(2，3)或或(12，12)或或(10，12)陕西陕西5年真题、副题年真题、副题“明明”考法考法类型一二次函数与特殊三角形判定类型一二次函数与特殊三角形判定(2016.24)1. (2016陕西陕西24题题10分分)如图，在平面直角坐标系中，点如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线为坐标原点，抛物线yax2bx5经过点经过点M(1，3)和和N(3，5)(1)试判断该抛物线与试判断该抛物线与x轴交点的情况；轴交点的情况；(2)平移这条
35、抛物线，使平移后的抛物线经过点平移这条抛物线，使平移后的抛物线经过点A(2，0)，且与且与y轴交于点轴交于点B，同时满足以，同时满足以A、O、B为顶点的三角形为顶点的三角形是等腰直角三角形，请你写出平移过程，并说明理由是等腰直角三角形，请你写出平移过程，并说明理由第1题图抛物线的表达式为抛物线的表达式为yx23x5.(2分分)对于方程对于方程x23x50，b24ac(3)2415920110，抛物线与抛物线与x轴无交点；轴无交点；(3分分)(2)将原抛物线先向左平移将原抛物线先向左平移3个单位，再向下平移个单位，再向下平移3个单位或将原抛物线先个单位或将原抛物线先向左平移向左平移2个单位，再向
36、下平移个单位，再向下平移5个单位理由如下：个单位理由如下：如解图，如解图，AOB是等腰直角三角形，点是等腰直角三角形，点A的坐标为的坐标为(2，0)，点，点B在在y轴上，轴上，点点B的坐标为的坐标为B1(0，2)或或B2(0，2)(5分分)设平移后的抛物线的表达式为设平移后的抛物线的表达式为yx2mxn.当平移后的抛物线经过点当平移后的抛物线经过点A(2，0)、B1(0，2)时，时，平移后的抛物线为平移后的抛物线为yx23x2.(7分分)该抛物线的顶点坐标为该抛物线的顶点坐标为将原抛物线先向左平移将原抛物线先向左平移3个单位，再向下平移个单位，再向下平移3个单位即可获得符合条件个单位即可获得符
37、合条件的抛物线；的抛物线；(8分分)当平移后的抛物线过点当平移后的抛物线过点A(2，0)，B2(0，2)时，时，平移后的抛物线为平移后的抛物线为yx2x2.(9分分)将原抛物线先向左平移将原抛物线先向左平移2个单位，再向下平个单位，再向下平移移5个单位即可获得符合条件的抛物线个单位即可获得符合条件的抛物线(10分分)第1题解图类型二类型二 二次函数与特殊四边形判定二次函数与特殊四边形判定(2017.24)2. (2017陕西陕西24题题10分分)在同一直角坐标系中，抛物线在同一直角坐标系中，抛物线C1：yax22x3与抛物线与抛物线C2：yx2mxn关于关于y轴对称，轴对称，C2与与x轴交于轴
38、交于A、B两点，其中点两点，其中点A在点在点B的左侧的左侧(1)求抛物线求抛物线C1、C2的函数表达式；的函数表达式；(2)求求A、B两点的坐标；两点的坐标；(3)在抛物线在抛物线C1上是否存在一点上是否存在一点P，在抛物线，在抛物线C2上是否存上是否存在一点在一点Q，使得以，使得以AB为边，且为边，且A、B、P、Q四点为顶点四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出的四边形是平行四边形？若存在，求出P、Q两点的坐标；两点的坐标；若不存在，请说明理由若不存在，请说明理由第2题图解：解：(1)抛物线抛物线C1与与C2关于关于y轴对称，轴对称，C1与与C2交点一定在交点一定在y轴上，且轴上，且C
39、1与与C2的形状、大小均相同的形状、大小均相同a1，n3.(2分分) C1的对称轴为直线的对称轴为直线x1.C2的对称轴为直线的对称轴为直线x1. m2.(3分分)C1：yx22x3，C2：yx22x3；(4分分)(2)令令C2中中y0，则，则x22x30，解得解得x13，x21，点点A在点在点B左侧，左侧，A(3，0)、B(1，0)；(6分分)(3)存在存在(7分分)如解图，设如解图，设P(a，b)，则，则Q(a4，b)或或(a4，b)第2题解图当当Q(a4，b)时，得：时，得：a22a3(a4)22(a4)3.解得解得a2.ba22a34435.P1(2，5)、Q1(2，5)；(9分分)当
40、当Q(a4，b)时，得：时，得：a22a3(a4)22(a4)3.解得解得a2.ba22a34433.P2(2，3)、Q2(2，3)综上所述，所求点的坐标为综上所述，所求点的坐标为P1(2，5)、Q1(2，5)；P2(2，3)、Q2(2，3)(10分分)类型三二次函数与图形面积类型三二次函数与图形面积(5年年2考考)3. (2017陕西副题陕西副题24题题10分分)如图，已知抛物线如图，已知抛物线L：yax2bxc(a0)与与x轴交于轴交于A、B两点，与两点，与y轴交于轴交于C点，且点，且A(1，0)，OBOC3OA.(1)求抛物线求抛物线L的函数表达式；的函数表达式；(2)在抛物线在抛物线L
41、的对称轴上是否存在一点的对称轴上是否存在一点M，使，使ACM周长最小？若存在，求出点周长最小？若存在，求出点M的坐标；若不存在，的坐标；若不存在，请说明理由；请说明理由；(3)连接连接AC、BC，在抛物线，在抛物线L上是否存在一点上是否存在一点N，使使SABC2SOCN？若存在，求出点？若存在，求出点N的坐标；的坐标；若不存在，请说明理由若不存在，请说明理由第3题图解：解：(1)A(1，0)，OBOC3OA，B(3，0)，C(0，3)yx22x3；(4分分)(2)存在存在由题意知，抛物线对称轴为直线由题意知，抛物线对称轴为直线x1.记直线记直线BC与直线与直线x1的交点为的交点为M，点点M即为
42、所求即为所求(5分分)理由：如解图，连接理由：如解图，连接AM.第3题解图点点A与点与点B关于直线关于直线x1对称，对称，AMMB. CMAMCMMBBC.ACM的周长的周长ACBC.在直线在直线x1上任取一点上任取一点M，连接，连接CM、BM、AM.AMMB， CMAMCMMBBC.ACCMAMACBC. ACM的周长最小的周长最小(6分分)设直线设直线x1与与x轴交于点轴交于点D，则，则MDOC.M(1，2)；(7分分)(3)存在存在设点设点N坐标为坐标为(n，n22n3)SABC2SOCN，|n|2. n2.(8分分)当当n2时，时，n22n33.N(2，3)当当n2时，时，n22n35
43、. N(2，5)综上所述，符合条件的点综上所述，符合条件的点N有有(2，3)或或(2，5)(10分分)4. (2018陕西陕西24题题10分分)已知抛物线已知抛物线L：yx2x6与与x轴相交于轴相交于A、B两点两点(点点A在点在点B的左侧的左侧)，与，与y轴相交于点轴相交于点C.(1)求求A、B、C三点的坐标，并求三点的坐标，并求ABC的面积；的面积；(2)将抛物线将抛物线L向左或向右平移，得到抛物线向左或向右平移，得到抛物线L，且，且L与与x轴相交于轴相交于A、B两点两点(点点A在点在点B的左侧的左侧)，并与，并与y轴相交于点轴相交于点C，要使，要使ABC和和ABC的面积相等，求所有的面积相
44、等，求所有满足条件的抛物线的函数表达式满足条件的抛物线的函数表达式解：解：(1)在在yx2x6中，令中，令y0，得，得x2x60，解得解得x13，x22，A(3，0)，B(2，0)(2分分)令令x0，得，得y6， C(0，6)，(3分分) AB5，OC6，(2)由题意，得由题意，得ABAB5，要使要使SABCSABC，只要抛物线，只要抛物线L与与y轴的交点为轴的交点为C( 0，6)或或C(0，6)即可即可设所求抛物线设所求抛物线L的函数表达式为的函数表达式为yx2mx6或或yx2nx6，(7分分)抛物线抛物线L与抛物线与抛物线L的顶点纵坐标相同，的顶点纵坐标相同，解得解得m7，n1(n1舍去舍
45、去)，抛物线抛物线L的函数表达式为的函数表达式为yx27x6，yx27x6或或yx2x6.(10分分)5. (2015陕西陕西24题题10分分)在平面直角坐标系中，抛物线在平面直角坐标系中，抛物线yx25x4的顶点为的顶点为M，与，与x轴交于轴交于A、B两点，与两点，与y轴交于轴交于C点点(1)求点求点A、B、C的坐标；的坐标；(2)求抛物线求抛物线yx25x4关于坐标原点关于坐标原点O对称的抛物线的函数表达式；对称的抛物线的函数表达式；(3)设设(2)中所求抛物线的顶点为中所求抛物线的顶点为M，与，与x轴交于轴交于A、B两点，与两点，与y轴交于轴交于C点在以点在以A、B、C、M、A、B、C、
46、M这八个点中的四个点为顶点的平行四边形中，求这八个点中的四个点为顶点的平行四边形中，求其中一个不是菱形的平行四边形的面积其中一个不是菱形的平行四边形的面积解：解：(1)令令y0，得，得x25x40.x14，x21，令令x0，得，得y4，A(4，0)、B(1，0)、C(0，4)；或或A(1，0)、B(4，0)、C(0，4)也也正确正确(3分分)(2)点点A、B、C关于原点关于原点O对称的点分别为对称的点分别为(4，0)、(1，0)、(0，4)，设所求抛物线的函数表达式为设所求抛物线的函数表达式为yax2bx4.(5分分)将将(4，0)、(1，0)代入上式，得代入上式，得yx25x4；(7分分)(
47、3)如解图，取四点如解图，取四点A、M、A、M，连接，连接AM、MA、AM、MA、MM.第5题解图由中心对称性可知，由中心对称性可知，MM过点过点O，OAOA，OMOM，四边形四边形AMAM为平行四边形为平行四边形又知又知AA与与MM不垂直，不垂直，AMAM不是菱形不是菱形(8分分) 过点过点M作作MDx轴于点轴于点D.（求得符合题意的（求得符合题意的BMBM的面积为的面积为 或或CMCM的面积为的面积为20亦正确）亦正确）又又A(4，0)、A(4，0)，AA8.SAMAM2SAMA6. (2016陕西副题陕西副题24题题10分分)如图，在平面直角坐标系中，如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原
48、点，为坐标原点，AOB是是等腰直角三角形，等腰直角三角形，AOB90，点，点A(2，1)(1)求点求点B的坐标；的坐标；(2)求经过求经过A、O、B三点的抛物线的函数表达式；三点的抛物线的函数表达式；(3)在在(2)所求的抛物线上，是否存在一点所求的抛物线上，是否存在一点P，使四边形，使四边形ABOP的面积最大？若存在，的面积最大？若存在，求出点求出点P的坐标；若不存在，请说明理由的坐标；若不存在，请说明理由第6题图解：解：(1)如解图，过点如解图，过点A作作ACx轴，垂足为轴，垂足为C，过点，过点B作作BDy轴，垂足为轴，垂足为D.AOB为等腰直角三角形，为等腰直角三角形，且且A(2，1)，
49、OBOA，DOAAOCDOABOD90，AOCBOD.又又BDOACO90，AOCBOD.BDAC1，ODOC2，B(1，2)；(2分分)第6题解图(2)设经过设经过A、O、B三点的抛物线的函数表达式为三点的抛物线的函数表达式为yax2bx(a0)，将点，将点A(2，1)、B(1，2)代入，代入，经过经过A、O、B三点的抛物线的函数表达式为三点的抛物线的函数表达式为(3)存在存在(6分分)由题意知，点由题意知，点P在线段在线段OA下方的抛物线上，下方的抛物线上，则则0m2，如解图，过点，如解图，过点P作作PQy轴交轴交OA于点于点Q，连接，连接OP、AP.点点A(2，1)，S四边形四边形ABO
50、PSAOPSAOB当当m1时，四边形时，四边形ABOP的面积最大，此时的面积最大，此时P(1， )(10分分)类型四二次函数与三角形相似类型四二次函数与三角形相似(2019.24)7. (2019陕西陕西24题题10分分)在平面直角坐标系中，已知抛物线在平面直角坐标系中，已知抛物线L：yax2(ca)xc经过经过点点A(3，0)和点和点B(0，6)，L关于原点关于原点O对称的抛物线为对称的抛物线为L.(1)求抛物线求抛物线L的表达式；的表达式；(2)点点P在抛物线在抛物线L上，且位于第一象限，过点上，且位于第一象限，过点P作作PDy轴，垂足为轴，垂足为D.若若POD与与AOB相似，求相似，求符