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1、kzj yi xr 位移位移(矢量矢量)：速度速度(矢量矢量)：加速度加速度(矢量矢量)：1、 描述质点运动的物理量：描述质点运动的物理量：kzj yi xr位矢位矢(矢量矢量)：ktzjtyitxtrvddddddddktzjtyitxktvjtvitvazyx222222dddddddddddd2、运动学中的两类问题：、运动学中的两类问题：2）已知：已知： 及初值条件。及初值条件。 求：求： 解法：积分解法：积分a)(trv及及)(trrrav,1) 已知：质点运动学方程已知：质点运动学方程 。 求：求： 及轨迹方程。及轨迹方程。 解法：求导解法：求导。3、圆周运动：、圆周运动：RaRaR
2、vtn2tvaddRvan2角量与线量的关系角量与线量的关系：4、相对运动：、相对运动：角量描述：角量描述：)(t12tddtdd切向与法向加速度：切向与法向加速度：naaantBCCABAvvv对对对对对对BCCABAaaa对对对对对对一、牛顿运动定律：一、牛顿运动定律：1、第一定律：、第一定律：惯性和力的概念，惯性系的定义。惯性和力的概念，惯性系的定义。2、第二定律：、第二定律：tvmtpFd)(ddd当当m 视为恒量时，视为恒量时，amtvmFdd3、第三定律：、第三定律：2112FF二、运动的守恒定律：二、运动的守恒定律：1、描述运动的状态量：、描述运动的状态量：质点质点 质点系质点系
3、动动 能：能：动动 量：量：角动量：角动量：vmniiivm1221mvvmrniiiivmr1niiivm12212、基本原理：、基本原理：质点质点 质点系质点系动量定理：动量定理：PtFddPtFItt21dLtMdd21dtttMLtLMdd外外AEk内外AAEk非保内外AAE角动量定理：角动量定理：动能定理：动能定理：功能原理：功能原理：PtFdd 外PtFItt21d外21dtttML外3、守恒定律：、守恒定律：角动量守恒：角动量守恒：动量守恒：动量守恒：0合外F恒矢量P条条 件件内内 容容恒矢量L0外M0 内非保内非保外外dAdA量恒E机械能守恒：机械能守恒：4、基本概念：、基本概
4、念：iiicmrmrMdmrrc1 1）质心：）质心：2）惯性力：）惯性力：0amF惯3）力矩：）力矩：FrM( (只有保守力做功）只有保守力做功）4 4）角动量）角动量: : vmrPrL7）势能：）势能：0d)(rrprFrE重力势能：重力势能：mgzmgdzEzP0)(万有引力势能：万有引力势能：rMmGrrmMGErP020d)(弹力势能：弹力势能：2021d)(kxxkxExprFAdd5 5）功：）功：babasFrFAAdcosdd6 6）保守力：）保守力：0drFpEA 质点的运动规律和刚体定轴转动规律的对比质点的运动规律和刚体定轴转动规律的对比(一一)转动动能动能力矩的功力的
5、功转动惯量J , 力矩M质量m, 力F角加速度加速度角速度刚体的定轴转动质点的运动速度trvddt ddtvaddt dd221mvEk221JEkbarFAdbaMAd质点的运动规律和刚体定轴转动规律的对比质点的运动规律和刚体定轴转动规律的对比(二二)动能定理：动能定理：机械能守恒：机械能守恒：角动量守恒：动量守恒：角动量原理：动量定理：转动定律：运动定律：刚体的定轴转动质点的运动amFJMztvmFd)(dtJMzd)d(.constpkEECiiivmCJ.constpCkEEkEMbadkbaErFd 转动惯量的计算：转动惯量的计算：iiirmJ2 若质量离散分布：若质量离散分布：（质
6、点，质点系）（质点，质点系）mrJd2 若质量连续分布：若质量连续分布： 平行轴定理：平行轴定理：2mdJJco 正交轴定律：正交轴定律：yxzJJJxzyozoCd2）均匀圆盘）均匀圆盘 （圆柱体）：（圆柱体）：221mRJoo4）均匀球体：）均匀球体：o252mRJo3）薄圆环）薄圆环（薄圆筒）：（薄圆筒）：o2mRJo常用的转动惯量：常用的转动惯量：1) 均匀细棒均匀细棒o231mLJoo2121mLJo练习：求下列刚体对练习：求下列刚体对O 轴的转动惯量：轴的转动惯量：mmlRoo222)(2131RlmmRmlJ第五章第五章 作业题作业题5-2-3一半圆形细棒，半径为一半圆形细棒，半
7、径为R，质量为，质量为m，如图所示。求细，如图所示。求细棒对轴棒对轴 的转动惯量。的转动惯量。AA 解解 建立图示坐标系建立图示坐标系，据转动惯量的定义式据转动惯量的定义式 0222RdsinRdmxJAA202221mRdsinmR xdm xyRm 其中：其中：1v2v2131lmJ P124,5-5有一质量为有一质量为m1、长为、长为l的均匀细棒，静止平放在滑动的均匀细棒，静止平放在滑动摩擦系数为摩擦系数为的水平桌面上，它可绕通过其端点的水平桌面上，它可绕通过其端点O且与桌面垂直且与桌面垂直的固定光滑轴转动另有一水平运动的质量为的固定光滑轴转动另有一水平运动的质量为m2的小滑块，从的小滑
8、块，从侧面垂直于棒与棒的另一端侧面垂直于棒与棒的另一端A相碰撞，设碰撞时间极短已知相碰撞，设碰撞时间极短已知小滑块在碰撞前后的速度分别为小滑块在碰撞前后的速度分别为 如图所示如图所示和和求碰撞后从细棒开始转动到停止转动的过程所需的时间求碰撞后从细棒开始转动到停止转动的过程所需的时间.(已知已知棒绕棒绕O点的转动惯量点的转动惯量) O A m2 m1 ,l 1v 2v 俯视图 解：解：对棒和滑块系统，在碰撞过程对棒和滑块系统，在碰撞过程中，由于碰撞时间极短，所以棒所中，由于碰撞时间极短，所以棒所受的摩擦力矩远小于滑块的冲力受的摩擦力矩远小于滑块的冲力矩故可认为合外力矩为零，因而矩故可认为合外力矩
9、为零，因而系统的系统的角动量守恒角动量守恒，即，即 2131lmm2v1lm2v2lglmxxlmgMlf10121d210310lmdtMtf碰后棒在转动过程中所受的碰后棒在转动过程中所受的摩擦力矩摩擦力矩为为 由由角动量定理角动量定理 由上面三式解得：由上面三式解得： gmmt12122vv O A m2 m1 ,l 1v 2v 俯视图 f2131lmm2v1lm2v2l5-6解解 由角动量定理由角动量定理: :解得：解得：12 JJMt NRM 221mRJ 02 其中：其中：508112002602900215021.NtmR 5-9解解解得：解得：其中：其中：(1)以飞轮以飞轮A，B
10、为研究对象，在啮合过程中为研究对象，在啮合过程中,系统受到轴向系统受到轴向的正压力和啮合的切向摩擦，前者对轴的力矩为零，后者的正压力和啮合的切向摩擦，前者对轴的力矩为零，后者对轴的力矩为系统的内力矩，对轴的力矩为系统的内力矩，系统对转轴的角动量守恒系统对转轴的角动量守恒， )JJ(JJBABBAA s/radnmkgJJAA 20210121 s/radnB32020 AABJJ )mkg(2201032032020 (2)在啮合的过程中，部分机械能转化为热在啮合的过程中，部分机械能转化为热能，损失的机械能为能，损失的机械能为 :2222 )JJ(JEBAAA 2232020105020105
11、0)/()(.)(. )J(.410321 m rmm2m 2r补充习题补充习题质量分别为质量分别为m和和2m、半径分别为、半径分别为r和和2r的两个均匀圆的两个均匀圆盘，同轴地粘在一起，可以绕通过盘心且垂直盘面的水平光滑盘，同轴地粘在一起，可以绕通过盘心且垂直盘面的水平光滑固定轴转动，对转轴的转动惯量为固定轴转动，对转轴的转动惯量为9mr2 / 2，大小圆盘边缘都，大小圆盘边缘都绕有绳子，绳子下端都挂一质量为绕有绳子，绳子下端都挂一质量为m的重物，如图所示求盘的重物，如图所示求盘的角加速度的大小的角加速度的大小 T2 a2 T1 2P 1P a1 解：解：受力分析如图受力分析如图 mgT2
12、= ma2 T1mg = ma1 T2 (2r)T1r = 9mr2 / 2 2r = a2 r = a1 rg192解上述解上述5 5个联立方程，得：个联立方程，得：1、 质量为质量为20 g的子弹，以的子弹，以400 m/s的速率沿图示方向射入的速率沿图示方向射入一原来静止的质量为一原来静止的质量为980 g的摆球中，摆线长度不可伸的摆球中，摆线长度不可伸缩子弹射入后开始与摆球一起运动的速率为缩子弹射入后开始与摆球一起运动的速率为 (A) 2 m/s (B) 4 m/s (C) 7 m/s (D) 8 m/s 30v202212101sin30()20400 sin304/20980m v
13、 lmm lvvm S绕悬点角动量守恒绕悬点角动量守恒练练 习习 题题 2、有一质量为、有一质量为M（含炮弹含炮弹）的炮车，在一倾角为）的炮车，在一倾角为q 的光滑斜面上下滑，的光滑斜面上下滑，当它滑到某处速率为当它滑到某处速率为v0时，从炮内射出一质量为时，从炮内射出一质量为m的炮弹沿水平方向。的炮弹沿水平方向。 欲使炮欲使炮车在发射炮弹后的瞬时停止下滑，则炮弹射出时对地的速率车在发射炮弹后的瞬时停止下滑，则炮弹射出时对地的速率v_。 3、质量为、质量为100kg的货物，平放在卡车底板上。卡车以的货物，平放在卡车底板上。卡车以4 ms2的加速度的加速度启动。货物与卡车底板无相对滑动。则在开始
14、的启动。货物与卡车底板无相对滑动。则在开始的 4 秒钟内摩擦力对该货物作秒钟内摩擦力对该货物作的功的功W_。 考点：动量守恒定律。考点：动量守恒定律。考点：动能定理。考点：动能定理。vvmM cos0mMvJ12800J1280016100212122 mvAfkfEA m/s16 atv沿斜面方向动量守恒。沿斜面方向动量守恒。 cosmvMv 0 cosmMvv0 5、一圆盘正绕垂直于盘面的水平光滑固定轴、一圆盘正绕垂直于盘面的水平光滑固定轴O 转动，射来两个转动，射来两个 质量相同，速度大小相同，方向相反的子弹，子弹射入圆盘质量相同，速度大小相同，方向相反的子弹，子弹射入圆盘 并留在盘内，
15、则子弹射入后的瞬间，圆盘的角速度：并留在盘内，则子弹射入后的瞬间，圆盘的角速度：A）增大。）增大。 B）不变。）不变。C）减小。）减小。 D）不能确定。）不能确定。mmMo4、一质量为、一质量为m的均质细杆，的均质细杆，A端靠在光滑的竖直墙壁上，端靠在光滑的竖直墙壁上，B端端置于粗糙水平地面上而静止，杆身与竖直方向成角度置于粗糙水平地面上而静止，杆身与竖直方向成角度,则则A端端对墙壁的压力大小为对墙壁的压力大小为 。 tanmg21 ABGN以以B点为参考点，则力矩平衡。点为参考点，则力矩平衡。 cosNlsinlmg 2 7、一个能绕固定轴转动的轮子，除受到轴承的恒定摩擦力矩、一个能绕固定轴
16、转动的轮子，除受到轴承的恒定摩擦力矩Mr 外，还受外，还受到恒定外力矩到恒定外力矩 M 的作用。若的作用。若M = 20 Nm，轮子对固定轴的转动惯量为，轮子对固定轴的转动惯量为J = 15 kgm2，在，在 t10s内，轮子的角速度由内，轮子的角速度由w = 0 增大到增大到w = 10 rad/s，则，则Mr =_。 6、半径为、半径为20 cm的主动轮，通过皮带拖动半径为的主动轮，通过皮带拖动半径为50 cm的被动轮转动，皮的被动轮转动，皮带与轮之间带与轮之间无相对滑动无相对滑动。主动轮从静止开始作匀角加速转动。在。主动轮从静止开始作匀角加速转动。在4 s内被动轮的内被动轮的角速度达到角
17、速度达到8 rads-1，则主动轮在这段时间内转过了，则主动轮在这段时间内转过了_圈。圈。考点：刚体定轴动定律。考点：刚体定轴动定律。考点：刚体运动学。考点：刚体运动学。tt121112121 2048254141221211 trrn221121 rrvv 1221rr JM JMMr 20t 12t12 Nm5100101520 JMMrNm5例例1湖中一小船，岸边的人用跨过高处的定滑轮的绳子拉船靠湖中一小船，岸边的人用跨过高处的定滑轮的绳子拉船靠岸岸(如图所示如图所示)。当收绳速度为。当收绳速度为v0时，试问：时，试问：(1)船的运动速度船的运动速度u比比v大还是小大还是小?(2)若若v
18、=常量，船能否作匀速运动常量，船能否作匀速运动?如果不能，其加速如果不能，其加速度为何值度为何值? 解解 ：(1) 由图知由图知 222hsL 两边对两边对t 求导，求导， dtdss2dtdLL2 dt/dsu,dt/dLv uv dtdusdtdsudtdLv savu22 322322222s/vhs/v )sL(s/ )vu(a 0vLSh cosLsuv suLv 即：即：(2) 将将 式两边对式两边对t求导，并考虑到求导，并考虑到v是常量是常量vsLu 例例2质量质量m2.0 kg的均匀绳，长的均匀绳，长L1.0 m，两端分别连接重物，两端分别连接重物A和和B，mA8.0 kg，m
19、B5.0 kg，今在，今在B 端施以大小为端施以大小为F180 N的竖直拉力，使绳和物体向上的竖直拉力，使绳和物体向上运动，求距离绳的下端为运动，求距离绳的下端为x处绳中的张力处绳中的张力T（x）。）。 解解 1）以）以A、B、绳为研究对象、绳为研究对象 ，受力分析如图。，受力分析如图。选竖直向上为正方向，则选竖直向上为正方向，则考点：牛顿运动定律。考点：牛顿运动定律。xLFABBAmmmFga )()(xmmmLmxmFBAA2496 FgmgmBgmA2）以绳下段）以绳下段 x 长和物体长和物体 A 为研究对象，为研究对象，受力受力分析如图分析如图xLA)(xTgmxgmAammmgmmm
20、FBABA)()( aLmxmgLmxmxTAA)()()( )()(agLmxmxTA 例例3一个质点在指向中心的平方反比力一个质点在指向中心的平方反比力 F = k / r2（k为常数）的作用下，作半为常数）的作用下，作半径为径为r 的圆周运动，求质点运动的速度和总机械能，选取距力心无穷远处的势的圆周运动，求质点运动的速度和总机械能，选取距力心无穷远处的势能为零。能为零。解解 1）质点速度为）质点速度为v，向心加速度为，向心加速度为v 2/r，向心力为，向心力为k / r2考点：牛顿运动定律，机械能、势能的定义。考点：牛顿运动定律，机械能、势能的定义。rvmrk22 mrkv rkrdrk
21、rdFErrp 2rkmvEEEpK/ 221rkrkrk22 取取 r = 为势能零点为势能零点 2）总机械能）总机械能由牛顿第二定律由牛顿第二定律 例例4滑冰运动员滑冰运动员A、B的质量各为的质量各为70kg，以，以6.5m/s的速率在光滑冰的速率在光滑冰面上沿相反方向滑行，滑行路线间的垂直距离为面上沿相反方向滑行，滑行路线间的垂直距离为10m，当彼，当彼 此交错此交错时，各抓住时，各抓住10m绳索的一端，相对旋转，问：绳索的一端，相对旋转，问：（1）在抓住绳索之前后，各对绳中心的角动量是多少？）在抓住绳索之前后，各对绳中心的角动量是多少？（2）他们各自收拢绳索，到绳长为）他们各自收拢绳索
22、，到绳长为5m时，各自速率？时，各自速率？（3）绳长为）绳长为5m时，绳内张力？时，绳内张力？（4）绳长为）绳长为5m时，设收绳速率相同，二人各做多少功？时，设收绳速率相同，二人各做多少功？解：解：1 1）抓住绳之前）抓住绳之前A A对对O O的角动量的角动量: :20DmvLAO 抓住绳之后，抓住绳之后，A受受B的拉力，对的拉力，对O的力矩为零，的力矩为零，A对对O的角动量不变的角动量不变LAO=2275 Kg.m 2/s B同同同同Bsmkg 2,/2275 AB00v0v2D（3 3）张力（大小为向心力）张力（大小为向心力）NdvmT4732212 （4 4）运动员）运动员A A对对B
23、B所做的功（与所做的功（与B B对对A A的功相同），的功相同），根据动能定理根据动能定理JvvmA4436)(21202 （2 2）绳原长）绳原长D=10mD=10m，收拢后，收拢后d=5md=5m，因因A A对对O O角动量守恒角动量守恒，故有，故有 Dmvdvm,21210 sm dDvv /130 vvAB00v0v2D2d 例例77在光滑的水平面上，有一原长为在光滑的水平面上，有一原长为l0 = 0.6m，倔强系数，倔强系数k = 8N/m 的弹性绳，绳的一端系着一质量为的弹性绳，绳的一端系着一质量为m = 0.2kg的小球，另一端的小球，另一端 固定在水平面的固定在水平面的A点，最
24、初弹性绳是松弛的，小球点，最初弹性绳是松弛的，小球B的位置的位置 及初速度如图所示，当小球的速率为及初速度如图所示，当小球的速率为v时，它与时，它与A的距离最大，的距离最大， 此时此时l = 0.8m, ,求：此时的速率求：此时的速率v及初速率及初速率v0 0解：解： B与与A端的距离最大时，端的距离最大时，小球的速度与绳垂直。小球的速度与绳垂直。对对A端角动量守恒端角动量守恒：）1sin0mlvmdv机械能守恒机械能守恒：)2)(21212120220llkmvmv由由1 1）40vv smmllv/306. 115)(16200md4 .0AB0v030smv/33. 0 例例88 在一个
25、较大无摩擦的平均半径为在一个较大无摩擦的平均半径为R R的水平圆槽内，放有的水平圆槽内，放有两个小球。质量分别为两个小球。质量分别为m和和M。两球可在圆槽内自由滑动。两球可在圆槽内自由滑动。现将一不计长度的压缩的轻弹簧置于两球之间，如图：现将一不计长度的压缩的轻弹簧置于两球之间，如图：(1)(1)将弹簧压缩释放后，两球沿相反方向被射出，而弹簧本将弹簧压缩释放后，两球沿相反方向被射出，而弹簧本身仍留在原处不动。问小球将在槽内何处发生碰撞？身仍留在原处不动。问小球将在槽内何处发生碰撞？(2)(2)设压缩弹簧具有弹性势能设压缩弹簧具有弹性势能E E0 0，问小球问小球射出后，经多少时间发生碰撞？射出
26、后，经多少时间发生碰撞？R解：解：(1)(1)设两小球被射出后的速度分别为设两小球被射出后的速度分别为 m和和 M，由，由对圆心的对圆心的角动量守恒角动量守恒有：有：mMMm MmMRmR22MmMmtt MmmM 由由机械能守恒定律机械能守恒定律得：得：0MMmE2)Mm(MMmmR2t 2Mmm 2MmMMm 解解得得：02M2mE)R(M21)R(m21 )Mm(MmE2R10M mMMm 又又 2Mm 相相碰碰时时：(2)(2)设压缩弹簧具有弹性势能设压缩弹簧具有弹性势能E E0 0，问小球射出后，经多少时问小球射出后，经多少时间发生碰撞？间发生碰撞？ 例例9 9 如图所示，将单摆和一
27、等长的匀质直杆悬挂在同一点，如图所示，将单摆和一等长的匀质直杆悬挂在同一点，杆的质量杆的质量m与单摆的摆锤相等。开始时直杆自然下垂，将单摆与单摆的摆锤相等。开始时直杆自然下垂，将单摆的摆锤拉到的摆锤拉到h h0 0高度高度，令它自静止状态下，令它自静止状态下垂垂, ,于铅垂位置和直杆于铅垂位置和直杆作弹性碰撞。求碰撞后直杆下端达到的高度作弹性碰撞。求碰撞后直杆下端达到的高度h。 解解 碰撞前单摆摆锤碰撞前单摆摆锤的速度为的速度为002ghv 令碰撞后直杆的角速度令碰撞后直杆的角速度为为 ，摆锤的速度为，摆锤的速度为v由由角动量守恒角动量守恒，有，有2031,mlJJvmlmlv 式式中中 chchhmlhol在弹性碰撞过程中在弹性碰撞过程中机械能守恒机械能守恒: :lvvv23,200 二式联立解得：二式联立解得：2220212121vmJmv 按机械能守恒按机械能守恒, ,碰撞后碰撞后摆锤摆锤达到的高度：达到的高度：40hh 而而杆的质心杆的质心达到的高度满足达到的高度满足cmghJ 221 2320hhhc 由此得由此得chchhmlhol002ghv hgv 2