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1、|2004 年数学四试题分析、详解和评注一、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 把答案填在题中横线上）(1) 若 ，则 a = ，b = .5)(cosinlm0bxaex 14【分析】本题属于已知极限求参数的反问题.【详解】因为 ，且 ，所以)(csil0xex 0)(cosinlm0bxx，得 a = 1. 极限化为)(limx，得 b = 4.51)(cosli)cosnli 00 bxbxe因此，a = 1，b = 4.【评注】一般地，已知 A ，)(limxgf(1) 若 g(x) 0，则 f (x) 0；(2) 若 f (x) 0，且 A 0，则 g(x)
2、0.(2) 设 ，则 .1lnarct2xey 121edyx【分析】本题为基础题型，先求导函数即可.【详解】因为 ， ，)1ln(2arctxxeey 12xxey所以， .12dx【评注】 本题属基本题型，主要考查复合函数求导.类似例题在一般教科书上均可找到.(3) 设 ，则 .21,)(2xexf 21)(21dxf【分析】本题属于求分段函数的定积分，先换元：x 1 = t，再利用对称区间上奇偶函数的积分性质即可.【详解】令 x 1 = t， 12122 )()()( dtxftfdxf| .21)(0)1(221 dxxe【评注】一般地，对于分段函数的定积分，按分界点划分积分区间进行求
3、解. （4） 设 ， ，其中 为三阶可逆矩阵, 则10AAPB12204B3【分析】 将 的幂次转化为 的幂次, 并注意到 为对角矩阵即得答案.A2A【详解】因为, .102 PB2041204故,EPAB1102204)(.2204103【评注】本题是对矩阵高次幂运算的考查(5) 设 是实正交矩阵，且 ， ，则线性方程组 的解3ijaA1aTb)0,( bAx是 T)0,1(【分析】利用正交矩阵的性质即可得结果.【详解】因为 , 而且 是实正交矩阵 , 于是 , 的每一个行bx13ijaA1T(列)向量均为单位向量, 所以.011321axT【评注】本题主要考查正交矩阵的性质和矩阵的运算(6
4、) 设随机变量 服从参数为 的指数分布, 则 .XDXPe1|【分析】 根据指数分布的分布函数和方差立即得正确答案.【详解】 由于 , 的分布函数为21DX.0,)(xexF故.DXP1DXP1P)(Fe1【评注】本题是对重要分布, 即指数分布的考查, 属基本题型.二、选择题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）(7) 函数 在下列哪个区间内有界 .2)(1sin|)(xxf(A) (1 , 0). (B) (0 , 1). (C) (1 , 2). (D) (2 , 3). A 【分析】如 f (
5、x)在(a , b)内连续，且极限 与 存在，则函数 f (x)(limxfa)(lixfb在(a , b) 内有界.【详解】当 x 0 , 1 , 2 时，f ( x)连续，而 ， ，183sin)(li1xfx 42sin)(lim0xf， ， ，4sin)(lim0fx )(li1fx)(lim2fx所以，函数 f (x)在(1 , 0)内有界，故选(A).【评注】一般地，如函数 f (x)在闭区间a , b 上连续，则 f (x)在闭区间a , b上有界；如函数 f (x)在开区间(a , b)内连续，且极限 与 存在，则函数 f (x)lifaxli在开区间(a , b)内有界.(8
6、) 设 f (x)在( , + )内有定义，且 ，fx)(lim，则0,1(fg(A) x = 0 必是 g(x)的第一类间断点. (B) x = 0 必是 g(x)的第二类间断点.(C) x = 0 必是 g(x)的连续点.(D) g(x)在点 x = 0 处的连续性与 a 的取值有关. D 【分析】考查极限 是否存在，如存在，是否等于 g(0)即可，通过换元 ，lim xu1可将极限 转化为 .)(li0x)(lixf|【详解】因为 = a(令 )，又 g(0) = 0，所以，)lim)1(li)(lim00ufxfgxx1当 a = 0 时， ，即 g(x)在点 x = 0 处连续，当
7、a 0 时，即 x = 0 是 g(x)的第一类间断点，因此，g(x)在点 x = 0 处的连续性)(lix与 a 的取值有关，故选(D).【评注】本题属于基本题型，主要考查分段函数在分界点处的连续性.(9) 设 f (x) = |x(1 x)|，则(A) x = 0 是 f (x)的极值点，但(0 , 0) 不是曲线 y = f (x)的拐点.(B) x = 0 不是 f (x)的极值点，但(0 , 0)是曲线 y = f (x)的拐点.(C) x = 0 是 f (x)的极值点，且(0 , 0)是曲线 y = f (x)的拐点.(D) x = 0 不是 f (x)的极值点，(0 , 0)
8、也不是曲线 y = f (x)的拐点. C 【分析】由于 f (x)在 x = 0 处的一、二阶导数不存在，可利用定义判断极值情况，考查 f (x)在 x = 0 的左、右两侧的二阶导数的符号，判断拐点情况.【详解】设 0 0，而 f (0) = 0，所以 x = 0 是 f (x)的极小值点.显然，x = 0 是 f (x)的不可导点. 当 x ( , 0)时，f (x ) = x(1 x)， ，2(f当 x (0 , )时，f ( x) = x(1 x)， ，所以(0 , 0) 是曲线 y = f (x)的拐点.02f故选(C).【评注】对于极值情况，也可考查 f (x)在 x = 0 的
9、某空心邻域内的一阶导数的符号来判断.(10) 设 ， ，则0,1,)(xf xdtfF0)()(A) F(x)在 x = 0 点不连续.(B) F(x)在( , +)内连续，但在 x = 0 点不可导.(C) F(x)在( , +)内可导，且满足 .)(xfF(D) F(x)在( , +)内可导，但不一定满足 . B 【分析】先求分段函数 f (x)的变限积分 ，再讨论函数 F(x)的连续性与xdtf0)()(可导性即可.【详解】当 x 0 时， ，当 x = 0 时，F(0) = 0. 即 F(x) = |x|，tFx(显然，F( x)在( , +)内连续，但在 x = 0 点不可导. 故选
10、(B).【评注】本题主要考查求分段函数的变限积分. 对于绝对值函数： 在 处|00|不可导；f (x) = 在 处有 n 阶导数，则 .|0xn0 |)!1(0)(xnxf(11) 设 在a , b上连续，且 ，则下列结论中错误的是)(f 0)(,)(bfaf(A) 至少存在一点 ，使得 f (a).,0bxx(B) 至少存在一点 ，使得 f (b).)()0f(C) 至少存在一点 ，使得 .,0axx(D) 至少存在一点 ，使得 = 0. D )(b)(0f【分析】利用介值定理与极限的保号性可得到三个正确的选项，由排除法可选出错误选项.【详解】首先，由已知 在a , b 上连续，且 ，则由介
11、值定理，)(xf 0)(,)(bfaf至少存在一点 ，使得 ；0ba0)(xf另外， ，由极限的保号性，至少存在一点)(lim)(ffax ),(0bax使得 ，即 . 同理，至少存在一点00ff )(0afxf ),(使得 . 所以，(A) (B) (C) 都正确，故选(D).)(bfxf【评注】 本题综合考查了介值定理与极限的保号性，有一定的难度.(12) 设 阶矩阵 与 等价, 则必须nAB(A) 当 时, . (B) 当 时, .)0(|aa| )0(|aAaB|(C) 当 时, . (D) 当 时, . D | |【分析】 利用矩阵 与 等价的充要条件: 立即可得.AB)(r【详解】
12、因为当 时, , 又 与 等价, 故 , 即 , 从而选 0|nr)(ABn0|B(D). 【评注】本题是对矩阵等价、行列式的考查, 属基本题型. (13) 设随机变量 服从正态分布 , 对给定的 , 数 满足 , X)10(N)10(uuXP若 , 则 等于xP|(A) . (B) . (C) . (D) . B 2u21u21uu1【分析】 利用标准正态分布密度曲线的对称性和几何意义即得.【详解】 由 , 以及标准正态分布密度曲线的对称性可得xXP|.21xP故正确答案为(B).【评注】本题是对标准正态分布的性质, 严格地说它的上分位数概念的考查. (14) 设随机变量 独立同分布，且方差
13、 令随机变量nX,21 )1(02， 则niiXY1(A) (B) 21)(nYD21)(nYXD(C) (D) C XCov1, 21,Cov【分析】 利用协方差的性质立即得正确答案.【详解】 由于随机变量 独立同分布, 于是可得nX,21 )(),(1,),( 111 niiii XCovCovYov),(),(111nXni i.2D故正确答案为(C).【评注】本题是对协方差性质的考查, 属于基本题. 三、解答题(本题共 9 小题，满分 94 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)(15) (本题满分 8 分)求 .)cossin1lm20xx【分析】先通分化为“ ”型极限，再
14、利用等价无穷小与罗必达法则求解即可.【详解】 xxx 2020 sincolim)cossin1(l |= .304220 4sin21limsin1li xxxx .6)(li6cosli 2020xx【评注】本题属于求未定式极限的基本题型，对于“ ”型极限，应充分利用等价无穷小替换来简化计算.(16) (本题满分 8 分)求 ，其中 D 是由圆 和 所围成的Ddyx2 42yx1)(2yx平面区域(如图).【分析】首先，将积分区域 D 分为大圆 减去小圆|),(21yx，再利用对称性与极坐标计算即可.)1(|,22yxy【详解】令 ，1)(|,4| 22yxy由对称性， .0Dd2122D
15、dyxdyxyx .cos0230rdr)(9163所以， .)23(9162Ddyx【评注】本题属于在极坐标系下计算二重积分的基本题型，对于二重积分，经常利用对称性及将一个复杂区域划分为两个或三个简单区域来简化计算.(17) (本题满分 8 分)设 f (u , v)具有连续偏导数，且满足 .uvfvuf),(),(求 所满足的一阶微分方程，并求其通解.,2xexy【分析】先求 ，利用已知关系 ，可得到关于 y 的一阶微分方程. vfvfu),(),(|【详解】 ，xvxuxx eyfefefey 2222 ),(),(),( 因此，所求的一阶微分方程为 .y解得 (C 为任意常数).xdx
16、dx eCeey 2322 )1()( 【评注】 本题综合了复合函数求偏导数与微分方程，但是，求偏导数与解微分方程都是基本题型.(18) (本题满分 9 分)设某商品的需求函数为 Q = 100 5P，其中价格 P (0 , 20)，Q 为需求量.(I) 求需求量对价格的弹性 ( 0)；dE(II) 推导 (其中 R 为收益) ，并用弹性 说明价格在何范围内变化时，)1dPRdE降低价格反而使收益增加.【分析】由于 0，所以 ；由 Q = PQ 及 可推导dEdPdPQ.)1(QPR【详解】(I) .d20(II) 由 R = PQ，得.)1()1(dEQdPQP又由 ，得 P = 10.20
17、Ed当 10 1，于是 ，d0R故当 10 0 时，需求量对价格的弹性公式为 .dE dPQEd利用需求弹性分析收益的变化情况有以下四个常用的公式：， ， ，QpRd)1(QRd)1(pRd)1(收益对价格的弹性 ).Ep|(19) (本题满分 9 分)设 ，S 表示夹在 x 轴与曲线 y = F(x)之间的面积. 对任何 t 0，0,2xexF表示矩形t x t，0 y F(t)的面积. 求)(1S(I) S(t) = S 的表达式；)(1(II) S(t)的最小值.【分析】曲线 y = F(x)关于 y 轴对称，x 轴与曲线 y = F(x)围成一无界区域，所以，面积 S 可用广义积分表示
18、.【详解】(I) ，12020ed，tt1)(因此 ，t (0 , +).eS2(II) 由于 ，tt)()故 S(t)的唯一驻点为 ，21t又 ， ，e)8 04)(eS所以， 为极小值，它也是最小值.12(【评注】本题综合了面积问题与极值问题，但这两问题本身并不难，属于基本题型.(20) (本题满分 13 分)设线性方程组 ,14)()2(3 02,31 xxx已知 是该方程组的一个解，试求T),() 方程组的全部解，并用对应的齐次线性方程组的基础解系表示全部解；() 该方程组满足 的全部解32x【分析】 含未知参数的线性方程组的求解, 当系数矩阵为非方阵时一般用初等行变换法化增广矩阵为阶
19、梯形, 然后对参数进行讨论. 由于本题已知了方程组的一个解, 于是可先由它来(部分) 确定未知参数.【详解】 将 代入方程组，得 对方程组的增广矩阵 施以初等行变换, T)1,(A|得， 12)12(0314231 A() 当 时，有21，21010A，故方程组有无穷多解，且 为其一个特解，43)(r T)0,21,(0对应的齐次线性方程组的基础解系为 ，故方程组的全部解为T),1( 为任意常数) Tkk2)0,12,(0 k当 时，有21，001312A，故方程组有无穷多解，且 为其一个特解，42)(r T)0,12(0对应的齐次线性方程组的基础解系为 ， ,T),31( T)2故方程组的全部解为TTTkkk ),01()0,()0,2( 21210 ( 为任意常数)2,() 当 时，由于 ，即232x，k1解得 ， 故方程组的解为1kTTT )1,0()2,1()0,2,(