《广东省广州市天河中学2017高考数学(理科)一轮复习基础知识检测：立体几何向量方法——空间角与距离求解.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《广东省广州市天河中学2017高考数学(理科)一轮复习基础知识检测：立体几何向量方法——空间角与距离求解.docx（12页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、立体几何中的向量方法(二)空间角与距离求解基础热身图 K4311如图 K431 所示，PD 垂直于正方形 ABCD 所在平面，AB2，E 为 PB 的中点，cosDP，AE33.若以 DA、DC、DP 所在直线分别为 x、y、z 轴建立坐标系，则点 E 的坐标为()A(1,1,1)B(2,1,1)C.2，12，12D.1，1，122 若 a(1,2,1)，b(2,0,1)分别是直线 l1，l2的方向向量，则 l1，l2的位置关系是()A平行B异面C相交D相交或异面3两平行平面，分别经过坐标原点 O 和点 A(2,1,1)，且两平面的一个法向量 n(1,0,1)，则两平面间的距离是()A.32B
2、.22C.3D3 24方向向量为 s(1,1,1)的直线 l 经过点 A(1,0,0)，则坐标原点 O(0,0,0)到该直线的距离是()A.3B.2C.62D.63能力提升5如图 K432，长方体 ABCDA1B1C1D1中，底面是边长为 2 的正方形，高为 1，则异面直线 AD1和 C1D 所成角的余弦值是()图 K432A.55B55C.15D.256在平行四边形 ABCD 中，ABAC1，ACD90，将它沿对角线 AC 折起，使AB 和 CD 成 60角(如图 K433)，则 B、D 间的距离为()图 K433A1B2C.2D2 或 272011河南六市联考在正方体 ABCDA1B1C1
3、D1中，E 是 A1B1的中点，则异面直线 AD1与 CE 所成角为()A.6B.4C.3D.28在棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，E、F 分别为棱 AA1、BB1的中点，G 为棱 A1B1上的一点，且 A1G(01)，则点 G 到平面 D1EF 的距离为()A.3B.22C.23D.55图 K4349如图 K434，四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是矩形，PD平面 ABCD，且 PDAD1，AB2，点 E 是 AB 上一点，当二面角 PECD 的平面角为4时，AE()A1B.12C2 2D2 310已知三棱锥 OABC 的侧棱 OA，OB，OC 两两垂直，E 为 O
4、C 的中点，且 OA1，OBOC2，则平面 EAB 与平面 ABC 夹角的余弦值是_11如图 K435，已知四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，底面 ABCD 是边长为 a 的正方形，侧棱 AA1长为 b，且 AA1与 A1B1，A1D1的夹角都是 60，则 AC1的长等于_图 K435图 K43612如图 K436，AO平面，BCOB，BC 与平面的夹角为 30，AOBOBCa，则 AC_13如图 K437，在空间直角坐标系中有棱长为 a 的正方体 ABCDA1B1C1D1，点 M是线段 DC1上的动点，则点 M 到直线 AD1距离的最小值为_图 K43714(10 分)如图 K438，放置
5、在水平面上的组合体由直三棱柱 ABCA1B1C1与正三棱锥 BACD 组成，其中，ABBC.它的主视图、俯视图、左视图的面积分别为 2 21,2 21,1.(1)求直线 CA1与平面 ACD 所成角的正弦值；(2)在线段 AC1上是否存在点 P，使 B1P平面 ACD？若存在，确定点 P 的位置；若不存在，说明理由图 K43815(13 分)如图 K439，已知 AB平面 ACD，DE平面 ACD，ACD 为等边三角形，ADDE2AB，F 为 CD 的中点(1)求证：AF平面 BCE；(2)求证：平面 BCE平面 CDE；(3)求直线 BF 和平面 BCE 所成角的正弦值图 K439难点突破1
6、6(12 分)如图 K4310，已知正三棱柱 ABCA1B1C1的各棱长都是 4，E 是 BC 的中点，动点 F 在侧棱 CC1上，且不与点 C 重合(1)当 CF1 时，求证：EFA1C；(2)设二面角 CAFE 的大小为，求 tan的最小值图 K4310答案解析【基础热身】1A解析 可知 A(2,0,0)、B(2,2,0)、C(0,2,0)，令 P(0,0,2m)(m0)，则 E(1,1，m)，AE(1,1，m)，DP(0,0,2m)，cosDP，AE2m211m22m33，m1.E 的坐标为(1,1,1)2D解析 根据共线向量定理，显然 a，b 不平行，所以 l1，l2的位置关系是相交或
7、异面3B解析 两平面的一个单位法向量 n022，0，22，故两平面间的距离 d|OAn0|22.4D解析 直线 l 的一个单位法向量 s033，33，33，向量OA(1,0,0)，故点 O到直线 l 的距离为d|OA|2|OAs0|2133263.【能力提升】5 C解析 建立如图所示的空间直角坐标系 则A(2,0,0)，D(0,0,0)，D1(0,0,1)，C1(0,2,1)，AD1(2,0,1)，DC1(0,2,1)，故异面直线 AD1和 C1D 所成角的余弦值为|cosAD1，DC1|AD1DC1|AD1|DC1|15.6D解析 ACD90，ACCD0.同理BAAC0，AB 和 CD 成
8、60角，BA，CD60或 120.BDBAACCD，BD2BA2AC2CD22BACD2BAAC2ACCDBA2AC2CD22BACD3211cosBA，CD4BA，CD60，2BA，CD120，|BD|2 或 2，即 B、D 间的距离为 2 或 2，故选 D.7D解析 建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为 1，则有 A(0,0,0)，D1(1,0,1)，C(1,1,0)，E0，12，1，所以AD1(1,0,1)，CE1，12，1，AD1CE0，即异面直线 AD1与 CE 所成角为2.8D解析 如图，如果过点 G 直接向平面 D1EF 作垂线，垂足为 H，如果我们能求出向量GH，那么|
9、GH|就是点 G 到平面 D1EF 的距离在正方体中，建立空间直角坐标系非常方便，因此用坐标的方法，解决这个问题如图，以射线 DA，DC，DD1分别为 x，y，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则 G(1，1)，E1，0，12，GE0，12，F1，1，12，EF(0,1,0)，D1(0,0,1)，ED11，0，12.过点 G 向平面 D1EF 作垂线，垂足为 H，由于点 H 在平面 D1EF 内，故存在实数 x，y 使GHGExEFyED1y，x，1212y，由于 GHEF，GHED1，所以y，x，1212y0，1，00，y，x，1212y1，0，12 0，解得x，y15，故GH15，0，25
10、，所以|GH|55，即点 G 到平面 D1EF 的距离是55.9D解析 以 D 为原点，射线 DA，DC，DP 为 x，y，z 轴正方向建立空间直角坐标系，如图，设 E(1，y0,0)(0y02)，则EC(1,2y0,0)，设平面 PEC 的法向量为 n1(x，y，z)，n1EC0，n1PC0 xy2y00，,2yz0 xyz(2y0)12，记 n1(2y0,1,2)，而平面 ECD 的法向量 n2(0,0,1)，则二面角 PECD 的平面角满足 cos|cosn1，n2|22，cos|n1n2|n1|n2|22y021222122y02 3.当 AE2 3时，二面角 PECD 的平面角为4.
11、10.7 618解析 以 O 为原点，OB，OC，OA 分别为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系，则有 A(0,0,1)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，E(0,1,0)设平面 ABC 的法向量为 n1(x，y，z)，则由 n1AB知 n1AB2xz0，由 n1AC知n1AC2yz0，取 n1(1,1,2)设平面 EAB 的法向量为 n(x，y，z)，则由 nAB知 nAB2xz0，由 nEB知 nEB2xy0，取 n(1,2,2)则 cosn，n1nn1|n|n1|1249 67 618，所以平面 EAB 与平面 ABC 夹角的余弦值为7 618.11.2a2b22ab解析 由已知AA1
12、，ABAA1，AD120，AB，AD90.|AC1|2|AA1ABAD|2|AA1|2|AB|2|AD|22AA1AB2ABAD2AA1ADb2a2a2abab2a2b22ab，故|AC1|2a2b22ab.12.2a解析 ACAOOBBC，其中AO，OBOB，BC90，AO，BC120，故|AC|2|AOOBBC|2|AO|2|OB|2|BC|22AOOB2OBBC2AOBC3a22a2cos1202a2，故|AC|2a，即 AC 2a.13.33a解析 设 M(0，m，m)(0ma)，AD1(a,0，a)，直线 AD1的一个单位方向向量 s022，0，22，由MD1(0，m，am)，故点
13、M 到直线 AD1的距离 d|MD1|2|MD1s0|2m2am212am232m2am12a2，根式内的二次函数当 ma232a3时取最小值32a32aa312a213a2，故 d 的最小值为33a.14解答 由已知可得 AB平面 BB1C1C，由于三棱锥 BACD 是正三棱锥，所以 CD平面 BB1C1C，D，B，B1三点共线，ABBCBD.设 ABa，BB1b.则其主视图和俯视图的面积都是 ab12a2，左视图的面积是12a2，根据已知解得 a 2，b2.以点 B 为坐标原点，射线 BC，BB1，BA 分别为 x，y，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，如图，则A(0,0，2)，C(2，0
14、,0)，D(0，2，0)，B1(0,2,0)，C1(2，2,0)，A1(0,2，2)(1)由于三棱锥 BACD 是正三棱锥，该三棱锥的重心 G23，23，23，则 BG平面 ACD，故可取向量 n(1，1,1)为平面 ACD 的一个法向量，CA1(2，2，2)，故可取 v(1，2，1)为直线 CA1的一个方向向量设直线 CA1与平面 ACD 所成角为，则sin|cosn，v|nv|n|v|22 366.(2)设APmAC1(2m,2m，2m)，则B1PB1AAP(2m,2m2，2 2m)，如果 B1P平面 ACD，则B1Pn，即(2m,2m2，2 2m)(，)，由此得方程组2m，2m2，2 2
15、m，由得 m12，22，代入则122，矛盾，这说明不存在满足题目要求的点P.15解答 方法一：(1)证法一：取 CE 的中点 G，连接 FG、BG.F 为 CD 的中点，GFDE 且 GF12DE，AB平面 ACD，DE平面 ACD，ABDE，GFAB.又 AB12DE，GFAB.又 DE2AB，四边形 GFAB 为平行四边形，则 AFBG.AF 平面 BCE，BG平面 BCE，AF平面 BCE.证法二：取 DE 的中点 M，连接 AM、FM，F 为 CD 的中点，FMCE.AB平面 ACD，DE平面 ACD，DEAB.又 AB12DEME，四边形 ABEM 为平行四边形，则 AMBE.FM、
16、AM 平面 BCE，CE、BE平面 BCE，FM平面 BCE，AM平面 BCE.又 FMAMM，平面 AFM平面 BCE.AF平面 AFM，AF平面 BCE.(2)证明：ACD 为等边三角形，F 为 CD 的中点，AFCD.DE平面 ACD，AF平面 ACD，DEAF.又 CDDED，故 AF平面 CDE.BGAF，BG平面 CDE.BG平面 BCE，平面 BCE平面 CDE.(3)在平面 CDE 内，过 F 作 FHCE 于 H，连接 BH，平面 BCE平面 CDE，FH平面 BCE.FBH 为 BF 和平面 BCE 所成的角设 ADDE2AB2a，则 FHCFsin4522a，BF AB2
17、AF2 a23a22a，在 RtFHB 中，sinFBHFHBF24.直线 BF 和平面 BCE 所成角的正弦值为24.方法二：设 ADDE2AB2a，建立如图所示的坐标系 Axyz，则 A(0,0,0)，C(2a,0,0)，B(0,0，a)，D(a，3a,0)，E(a，3a,2a)F 为 CD 的中点，F32a，32a，0.(1)证明：AF32a，32a，0，BE(a，3a，a)，BC(2a,0，a)，AF12(BEBC)，AF 平面 BCE，AF平面 BCE.(2)证明：AF32a，32a，0，CD(a，3a,0)，ED(0,0，2a)，AFCD0，AFED0，AFCD，AFED.AF平面
18、 CDE，又 AF平面 BCE，平面 BCE平面 CDE.(3)设平面 BCE 的法向量为 n(x，y，z)，由 nBE0，nBC0 可得x 3yz0,2xz0，取 n(1，3，2)又BF32a，32a，a，设 BF 和平面 BCE 所成的角为，则sin|BFn|BF|n|2a2a2 224.直线 BF 和平面 BCE 所成角的正弦值为24.【难点突破】16解答 解法 1：过 E 作 ENAC 于 N，连接 EF.(1)如图，连接 NF、AC1，由直棱柱的性质知，底面 ABC侧面 A1C，又底面 ABC侧面 A1CAC，且 EN底面 ABC，所以 EN侧面 A1C，NF 为 EF 在侧面 A1
19、C 内的射影，在 RtCNE 中，CNCEcos601，则由CFCC1CNCA14，得 NFAC1.又 AC1A1C，故 NFA1C，由三垂线定理知 EFA1C.(2)如图，连接 AF，过 N 作 NMAF 于 M，连接 ME，由(1)知 EN侧面 A1C，根据三垂线定理得 EMAF，所以EMN 是二面角 CAFE 的平面角，即EMN，设FAC，则 045.在 RtCNE 中，NEECsin60 3，在 RtAMN 中，MNANsin3sin，故 tanNEMN33sin.又 045，0sin22，故当 sin22，即当45时，tan达到最小值，tan33 263，此时 F 与 C1重合解法
20、2：(1)建立如图所示的空间直角坐标系，则由已知可得 A(0,0,0)，B(2 3，2,0)，C(0,4,0)，A1(0,0,4)，E(3，3,0)，F(0,4,1)，于是CA1(0，4,4)，EF(3，1,1)，则CA1EF(0，4,4)(3，1,1)0440，故 EFA1C.(2)设 CF(04)，平面 AEF 的一个法向量为 m(x，y，z)，则由(1)得 F(0,4，)，AE(3，3,0)，AF(0,4，)，于是由 mAE，mAF可得mAE0，mAF0，即3x3y0，4yz0，取 m(3，4)，又由直三棱柱的性质可取侧面 A1C 的一个法向量为 n(1,0,0)，于是由为锐角可得 cos|mn|m|n|32 24，sin2162 24，所以 tan2163131632，由 04，得114，即 tan131363，故当4，即点 F 与点 C1重合时，tan取得最小值63.