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1、高考数学综合复习(六)解析几何高考解析几何试题一般共有4题(2个选择题, 1个填空题, 1个解答题), 共计30分左右, 考查的知识点约为20个左右. 其命题一般紧扣课本, 突出重点, 全面考查. 选择题和填空题考查直线, 圆, 圆锥曲线, 参数方程和极坐标系中的基础知识. 解答题重点考查圆锥曲线中的重要知识点, 通过知识的重组与链接, 使知识形成网络, 着重考查直线与圆锥曲线的位置关系, 求解有时还要用到平几的基本知识, 这点值得考生在复课时强化. 一、圆锥曲线的几类基本习题 一. 弦的中点问题 具有斜率的弦中点问题，一般设曲线上两点为，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式，消
2、去四个参数。 例1 给定双曲线。过A（2，1）的直线与双曲线交于两点及，求线段的中点P的轨迹方程。 分析：设，代入方程得，。 两式相减得 。 又设中点P（x,y），将，代入，当时得 。 又， 代入得。 当弦斜率不存在时，其中点P（2，0）的坐标也满足上述方程。因此所求轨迹方程是。 例2 已知椭圆，通过点（1，1）引一弦，使它在这点被平分，求此弦所在的直线方程。 略解：有，代入得0，得。 从而直线方程是。 此题将椭圆变为双曲线、抛物线都是同一方法。二. 焦点三角形问题 椭圆或双曲线上一点P，与两个焦点、构成的三角形问题，常用正、余弦定理搭桥。 3 设P(x,y)为椭圆上任一点，为焦点，。 （1）
3、求证离心率例； （2）求的值； （3）求的最值。 分析：（1）设，由正弦定理得。 得 ， 。 （2），采用合分比定理得 ， 。 （3）。 当时，最小值是； 当时，最大值是。三. 存在两点关于直线对称问题 在曲线上两点关于某直线对称问题，分三步：求两点所在的直线，求这两直线的交点，使这交点在圆锥曲线形内。 例4 已知椭圆C的方程，试确定m的取值范围，使得对于直线，椭圆C上有不同两点关于直线对称。 分析：椭圆上两点，代入方程，相减得。 又，代入得。 又由解得交点。 交点在椭圆内，则有 。 得。 例5 为了使抛物线上存在两点关于直线对称，求m的取值范围。 略解：两点所在直线与联立求出交点，代入抛物线
4、内，有，解得。四. 两线段垂直问题 圆锥曲线两焦半径互相垂直问题，常用来处理。 例6 已知直线的斜率为，且过点，抛物线，直线与抛物线C有两个不同的交点（如图）。 （1）求的取值范围； （2）直线的倾斜角为何值时，A、B与抛物线C的焦点连线互相垂直。 分析：（1）直线代入抛物线方程得， 由，得。 （2）由上面方程得， ，焦点为。 由，得，或 。 例7 经过坐标原点的直线与椭圆相交于A、B两点，若以AB为直径的圆恰好通过椭圆左焦点F，求直线的倾斜角。 分析：左焦点F(1,0)， 直线y=kx代入椭圆得， ， 。 由AF知。将上述三式代入得，或。二、直线与圆锥曲线位置关系以及圆锥曲线的有关最值问题
5、基本知识点： （1）求解直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组，进而转化为一元二次方程后利用判别式，应特别注意数形结合的办法。 （2）注意韦达定理的应用。 弦长公式：斜率为k的直线被圆锥曲线截得弦AB，若A、B两点的坐标分别是A(x1，y1)，B(x2，y2)则 （3）注意斜率不存在的情况的讨论和焦半径公式的使用。 （4）有关中点弦问题 已知直线与圆锥曲线方程，求弦的中点及与中点有关的问题，常用韦达定理。 有关弦的中点轨迹，中点弦所在直线方程，中点坐标问题，有时采用“差分法”可简化运算。 （5）有关圆锥曲线的对称问题 这两个关键条件，同时要记住一些特殊的对称关系，如关于坐标轴对称，关于点
6、对称，关于直线y=x+b对称。 （6）圆锥曲线中的有关最值问题，常用代数法和几何法解决。 若命题的条件和结论具有明显的几何意义，一般可用图形性质来解决。 若命题的条件和结论体现明确的函数关系式，则可建立目标函数（通常利用二次函数，三角函数，均值不等式）求最值。【例题选讲】 例1. 已知抛物线y2=2px(p0)。过动点M（a，0）且斜率为l的直线l与该抛物线交于不同的两点A、B （2）若线段AB的垂直平分线交AB于Q，交x轴于点N，试求三角形MNQ的面积。 解： （2）设Q(x3，y3)由中点坐标公式得 又三角形MNQ为等腰直角三角形 例2. 线过C、D、E三点，且以A、B为焦点，求双曲线的离
7、心率。（2000年，全国高考） 解：以AB的垂直平分线为y轴，直线AB为x轴，建立直角坐标系xOy，则CDy轴，因为双曲线经过点C、D，且以A、B为焦点，由双曲线的对称性知C、D关于y轴对称。 h是梯形的高。 由定比分点坐标公式，得点E的坐标为 由点C、E在双曲线上，得 小结：此题涉及解析几何的最根本问题：如何建立坐标系，这也是对学生基本能力的考查，坐标系是一种工具，如果用得好，可以给解题带来方便，但考试时我们不可能对各种情况进行讨论，一般而言，可从对称的角度去考虑。 例3. （1）求证：直线与抛物线总有两个不同交点 （2）设直线与抛物线的交点为A、B，且OAOB，求p关于t的函数f(t)的表
8、达式。 值范围。（1997年上海高考） （1）证明：抛物线的准线为 由直线x+y=t与x轴的交点（t，0）在准线右边，得 故直线与抛物线总有两个交点。 （2）解：设点A(x1，y1)，点B(x2，y2) （3）解： 例4. （1）求椭圆方程； （2）是否存在直线l，使l与椭圆交于不同的两点M、N，且线段MN恰被直线平分，若存在，求出l的倾斜角的范围；若不存在，请说明理由。 （1）解： 把(2)代入(1)式中得： 例5. 点，若以M(2，1)为焦点，椭圆E的右准线为相应准线的双曲线C和直线AB交于点N(4，-1)，且椭圆的离心率e与双曲线离心率e1之间满足ee1=1， （1）求椭圆E的离心率e；
9、 （2）求双曲线C的方程。 解：（1）因为点M(2，1)，点N(4，-1) （2）因为ee1=1 设双曲线C上一点P(x，y) 化简得双曲线C的方程： 例6. 已知抛物线y2=x上有一条长为l的动弦AB，求AB的中点M到y轴的最短距离。 解：设中点M的坐标为（x，y），利用对称性可设A(x+u，y+v)，B(x-u，y-v)，依题意有 将（4）（5）代入（3）得： 此即M点的方程 三、解析几何中减少计算量的常用方法 在教学中，学生普遍觉得解析几何问题的计算量较大。事实上，如果我们能够充分利用几何图形、韦达定理、曲线系方程，以及运用“设而不求”的策略，往往能够减少计算量。下面举例说明。一. 充分
10、利用几何图形 解析几何的研究对象就是几何图形及其性质，所以在处理解析几何问题时，除了运用代数方程外，充分挖掘几何条件，并结合平面几何知识，这往往能减少计算量。 例1. 已知直线及，求它们所围成的三角形的外接圆方程。 解：由直线与的斜率分别为和，得此两条直线互相垂直，即此三角形为直角三角形。 由及，可求得直角三角形的斜边所在的两个顶点分别为。所求三角形的外接圆，即为以A（2，2）和B（8，8）为直径端点的圆，其方程为 评注：此题若不首先利用三角形是直角三角形这一中间结论，而先求三角形的三个顶点，再解三元一次方程组求圆的一般方程，将会大大增加计算量。 例2. 已知点P（5，0）和圆O：，过P作直线
11、与圆O交于A、B两点，求弦AB中点M的轨迹方程。 解：点M是弦AB中点，点M是在以OP为直径的圆周上，此圆的圆心为，半径为，所以其方程为，即。同时，点M又在圆的内部，即，所以所求的轨迹方程为 评注：此题若不能挖掘利用几何条件，点M是在以OP为直径的圆周上，而利用参数方程等方法，计算量将很大，并且比较麻烦。 例3. 求与轴相切，圆心在直线上，且被直线截得的弦长等于的圆的方程。 解：因圆心在直线上，故可设圆心 又圆与轴相切， 此时可设圆方程为 （运用已知条件，找出间联系，尽可能把未知量的个数减少，这对简化计算很有帮助。） 又圆被直线截得的弦长为。考虑由圆半径、半弦、弦心距组成的直角三角形，只要将弦
12、心距用表示出来，便可利用勾股定理求得。 弦心距 ，解得 当时，圆方程为 当时，圆方程为 评注：此题若不充分利用圆的半径、半弦、弦心距组成的直角三角形，而用弦长公式，将会增大运算量。 例4. 设直线与圆相交于P、Q两点，O为坐标原点，若，求的值。 解： 圆过原点，并且， 是圆的直径，圆心的坐标为 又在直线上， 即为所求。 评注：此题若不充分利用一系列几何条件：该圆过原点并且，PQ是圆的直径，圆心在直线上，而是设再由和韦达定理求，将会增大运算量。二. 充分利用韦达定理及“设而不求”的策略 我们经常设出弦的端点坐标而不求它，而是结合韦达定理求解，这种方法在有关斜率、中点等问题中常常用到。 例5. 已
13、知中心在原点O，焦点在轴上的椭圆与直线相交于P、Q两点，且，求此椭圆方程。 解：设椭圆方程为，直线与椭圆相交于P、两点。 由方程组消去后得 由，得 （1） 又P、Q在直线上， 把（1）代入，得， 即 化简后，得 （4） 由，得 把（2）代入，得，解得或 代入（4）后，解得或 由，得。 所求椭圆方程为 评注：此题充分利用了韦达定理及“设而不求”的策略，简化了计算。 例6. 若双曲线方程为，AB为不平行于对称轴且不过原点的弦，M为AB中点，设AB、OM的斜率分别为，则 解：设A（），B（）则M（） 又A、B分别在上，则有 由得， 即， 评注：此题充分利用了中点坐标公式斜率公式及“设而不求”的策略，
14、简化了计算。 三. 充分利用曲线系方程 利用曲线系方程可以避免求曲线的交点，因此也可以减少计算。 例7. 求经过两已知圆和0的交点，且圆心在直线：上的圆的方程。 解：设所求圆的方程为： 即， 其圆心为C（） 又C在直线上，解得，代入所设圆的方程得为所求。 评注：此题因利用曲线系方程而避免求曲线的交点，故简化了计算。四、线段长的几种简便计算方法 近几年的高考数学试题，都有运算量大的特点，解析几何部分显得尤为突出，而在解析几何题中，又着重体现在求线段的长。若求线段长的计算方法不当，就会大大增加运算量，直接影响高考成绩。经笔者多年摸索，找到几种计算线段长的简便方法，写出来，供大家参考。一. 充分利用
15、现成结果，减少运算过程 一般地，求直线与圆锥曲线相交的弦AB长的方法是： 把直线方程代入圆锥曲线方程中，得到型如的方程，方程的两根设为，判别式为，则。记住了结果 ，在计算中，直接代，就能减少配方、开方等运算过程。 例1 求直线被椭圆所截得的线段AB的长。 解：把代入椭圆方程得到。 ， 则。二. 结合图形的特殊位置关系，减少运算 1. 求直线与圆的相交弦 因圆比较特殊，故求弦长不采用方法一，可用下面的方法，使运算简单。 设直线方程为，圆的方程为，圆心为，直线与圆相交于A、B，圆心到直线的距离为，则。 例2 求圆截得直线的线段长。 解：由原方程得，圆心为（-1，-2），则，从而截得线段长。 2.
16、求过圆锥曲线焦点的弦 圆锥曲线的定义都涉及焦点，结合图形运用圆锥曲线的定义，可回避复杂运算。 例3 如图1，、是椭圆的两个焦点，AB是经过的弦，若，则_。 解：由定义可知， ， 则。 又由图可知， 因此。 注：此题如果不结合图形用定义，就很难计算出结果。 3. 运用两种曲线组合构成的特殊位置关系，巧妙简化运算 例4 已知圆F的方程，抛物线的顶点在原点，焦点是圆心F，过F引直线与抛物线和圆依次交于A、B、C、D四点，设的倾斜角为，当为何值时，线段，成等差数列。 解：依题意知圆心F(0,1)，半径为1，抛物线的方程：， （如图2）。 成等差数列， ， 即，。 设的方程为：，代入得。 由， 解得，
17、故或。 注：如果此题直接计算三段，的长，而不结合图形得关系式，会加大运算量。三. 将二元运算转化为一元运算，可简化运算 1. 用三角形相似比，把平面上两点间的距离转化为数轴上两点间的距离 例5 直线与轴不垂直，与抛物线交于A、B两点，与椭圆交于C、D两点，与轴交于点，若，求的范围。 解：设直线的方程为，又设、。 由， 得到。 当 ， （1） 由韦达定理得 ， 由 得到。 （2） 有。 要使，只需AB的中点与CD的中点坐标相同即可。由，得 （3） 把（3）分别代入（1）、（2）可求得的范围为（-2，-1）。 注：此题如果不转化，就找不到关系，花费再多时间都难以解出。 2. 利用圆锥曲线的定义，把
18、到焦点的距离转化为到准线的距离 例6 点A（3，2）为定点，点F是抛物线的焦点，点P在抛物线上移动，若取得最小值，求点P的坐标。 解：抛物线的准线方程为，设P到准线的距离为，则=。要使取得最小值，由图3可知过A点的直线与准线垂直时，取得最小值，把代入，得P（1，2）。四. 利用直线参数方程的几何意义，简便运算 利用直线参数方程的几何意义，计算直线上经过同一点的两条线段的长。 例7 过点A（-2，4）引倾斜角为的直线交抛物线于两点，若成等比数列，求P的值。 解：设直线的参数方程为 代入得 ， ， 。 由参数的几何意义，得，。 根据题意得， ， ，于是，即，又，得。五. 利用极坐标，简便运算 在过
19、原点的几条线段成一定角的关系中，用极坐标会使运算简便。 例8 P、Q是双曲线上的两点，若，求证：为定值。 解：将代入 ， 有。 设，为定值。 上面五种方法及例证充分说明，灵活掌握求线段长的简便算法，会加快你的解题速度，从而提高数学成绩，以利高考。五、典型例题 例1 已知点T是半圆O的直径AB上一点，AB=2、OT=t (0t0).设A、B关于L的对称点分别为A/、B/，则利用对称性可求得它们的坐标分别为：A/（），B/（）。因为A/、B/均在抛物线上，代入，消去p，得：k2-k-1=0.解得：k=,p=.所以直线L的方程为：y=x,抛物线C的方程为y2=x.例2 (1993年全国)在面积为1的
20、PMN中，tanM=,tanN=-2,建立适当的坐标系，求出以M、N为焦点且过点P的椭圆方程。分析：此题虽然与例1一样都是求形状已知的曲线方程问题，但不同的是例1是在给M O N xPy定的坐标系下求曲线的标准方程，而此题需要自己建立坐标系。为使方程简单，应以MN所在直线为x轴，以MN的垂直平分线为y轴。这样就可设出椭圆的标准方程，其中有两个未知数。2曲线的形状未知-求轨迹方程 例3 （1994年全国）MNQO已知直角坐标平面上点Q（2，0）和圆C：x2+y2=1, 动点M到圆C的切线长与|MQ|的比等于常数（0）,求动点M的轨迹方程，并说明它是什么曲线。分析：如图，设MN切圆C于点N，则动点
21、M组成的集合是：P=M|MN|=|MQ|，由平面几何知识可知：|MN|2=|MO|2-|ON|2=|MO|2-1，将M点坐标代入，可得：(2-1)(x2+y2)-42x+(1+42)=0.当=1时它表示一条直线；当1时，它表示圆。这种方法叫做直接法。O A xBC例4 （1999年全国）给出定点A（a,0）(a0)和直线L：x=-1，B是直线L上的动点，BOA的角平分线交AB于点C，求点C的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与a值的关系。分析：设C（x,y）,B(-1,b).则直线OB的方程为：y=-bx.由题意：点C到OA、OB的距离相等，且点C在线段AB上，所以 y2(1-a)x2-2ax
22、+(1+a)y2=0若，y0,则(1-a)x2-2ax+(1+a)y2=0(0xa)；若y=0，则b=0,AOB=180,点C的坐标为（0，0），也满足上式。所以，点C的轨迹方程为(1-a)x2-2ax+(1+a)y2=0(0xa)。当a=1时，方程表示抛物线弧；当0a1时，方程表示双曲线一支的弧。一般地，如果选择了m个参数，则需要列出m+1个方程。例5 （1995年全国）已知椭圆和直线L:，P是直线L上一点，射线OP交椭圆于点R，又点Q在OP上，且满足|OQ| |OP|=|OR|2，当点P在L上移动时，求点Q的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。分析：设Q(x,y),P(xP,yP),R(xR,
23、yR), 则，代入，得：(x-1)2+(y-1)2=1.注意：若将点P、Q、R分别投影到x轴上，则式子可用|x| |xP|=|xR2|代替，这样就简单多了。.研究圆锥曲线有关的问题1有关最值问题例6 (1990年全国)设椭圆中心为坐标原点，长轴在x上，离心率，已知点P（0，）到这个椭圆上的点的最远距离是，求这个椭圆方程，并求椭圆上到点P的距离等于的点的坐标。分析：最值问题，函数思想。关键是将点P到椭圆上点的距离表示为某一变量是函数，然后利用函数的知识求其最大值。设椭圆方程为，则由e=得：a2=4b2，所以x2=4b2-4y2.设Q(x,y)是椭圆上任意一点，则:|PQ|=(-byb).若b，则
24、-与b0)，过M（a,0）且斜率为1的直线L与抛物线交于不同的两点A、B，|AB|2p。（1）求a的取值范围；（2）若线段AB的垂直平分线交x轴于点N，求NAB面积的最大值。分析：这是一道直线与圆锥曲线位置关系的问题，对于（1），可以设法得到关于a的不等式，通过解不等式求出a的范围，即：“求范围，找不等式”。或者将a表示为另一个变量的函数，利用求函数的值域求出a的范围；对于（2）首先要把NAB的面积表示为一个变量的函数，然后再求它的最大值,即：“最值问题，函数思想”。解：(1)直线L的方程为：y=x-a,将y=x-a 代入抛物线方程y2=2px,得：设直线L与抛物线两交点的坐标分别为A（x1,
25、y1）,B(x2,y2)，则,又y1=x1-a,y2=x2-a, 解得:(2)设AB的垂直平分线交AB与点Q，令其坐标为（x3,y3），则由中点坐标公式得：,所以|QM|2=(a+p-a)2+(p-0)2=2p2.又MNQ为等腰直角三角形，所以|QM|=|QN|=，所以SNAB=,即NAB面积的最大值为2。例8 （1992年高考题）已知椭圆，A,B是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P(x0,0)，证明：.分析：欲证x0满足关于参数a、b的不等式，须从题中找出不等关系，由椭圆的性质可知，椭圆上的点的坐标满足如下条件：-axa,因此问题转化为寻求x0与x的关系。由题设知，点P在线段
26、AB的垂直平分线上，所以|AP|=|BP|，若设A（x1,y1）,B(x2,y2),则有：(x1-x0)2-y12=(x2-x0)2-y22,因为点A、B在椭圆上，所以，从而由-ax1a,-ax2a,可得：例9 (2000年高考题)已知梯形ABCD中，|AB|=2|CD|，点E满足，双曲线过C、D、E三点，且以A、B为焦点，当时，求双曲线离心率e的取值范围。A O B xDCyE分析：显然，我们只要找到e与的关系，然后利用解不等式或求函数的值域即可求出e的范围。解：如图建立坐标系，这时CDy轴，因为双曲线经过点C、D，且以A、B为焦点，由双曲线的对称性知C、D关于y轴对称。依题意，记A(-C,
27、0)，C(h)，E(x0,y0),其中c=为双曲线的半焦距，h是梯形的高。由,即(x0+c,y0)= (-x0,h-y0)得:x0=.设双曲线的方程为,则离心率e=。由点C、E在双曲线上,将点C、E的坐标和e=代入双曲线的方程得将（1）式代入（2）式,整理得(4-4)=1+2,故=1.依题设得,解得.所以双曲线的离心率的取值范围是.例10 已知抛物线y2=2px (p0)上存在关于直线x+y=1对称的相异两点，求p的取值范围。分析：解决本题的关键是找到关于p的不等式。设抛物线上关于直线x+y=1对称的两点是M(x1,y1)、N(x2,y2)，设直线MN的方程为y=x+b.代入抛物线方程，得：x
28、2+(2b-2p)x+b2=0.则x1+x2=2p-2b,y1+y2=( x1+x2)+2b=2p.则MN的中点P的坐标为 (p-b,p).因为点P在直线x+y=1上，所以2p- b=1，即b=2p-1。又=(2b-2p)2-4b2=4p2-8bp0,将b=2p-1代入得:4p2-8p(2p-1)0,3p2-2p0.解得：0p.是否存在常数a、b、c，使函数f(x)=满足下列条件：（1）函数f(x)是奇函数；（2）；f(1)f(3) ；（3）不等式0f(x)的解集是-2,-12,4？若存在，则求出不等式f(-2+sin) m对任意R恒成立的实数m的取值范围；若不存在，说明理由。解：由函数f(x)是奇函数得：b=0。又不等式0f(x)的解集是-2,-12,4，所以-2、-1、2、4是程f(x)=0与f(x)=的根，从而:,解得：a=2，c=-4，故：f(x)= 。七、高考试题选1.已知圆的弦长为