《吴赣昌编_《概率论与数理统计》(经管类三版)第一章.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《吴赣昌编_《概率论与数理统计》(经管类三版)第一章.doc（22页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、吴赣昌编 概率论与数理统计（经管类三版）复习提要及课后习题解答复习提要考试要求1. 了解样本空间的概念, 理解随机事件的概念, 掌握事件的关系与运算.2. 理解概率、条件概率的概念, 掌握概率的基本性质, 会计算古典型概率和几何型概率, 掌握概率的加法公式、减法公式、乘法公式、全概率公式, 以及贝叶斯公式.3. 理解事件独立性的概念, 掌握用事件独立性进行概率计算；理解独立重复试验的概率, 掌握计算有关事件概率的方法.一、古典概型与几何概型1随机试验，样本空间与事件.2古典概型：设样本空间为一个有限集，且每个样本点的出现具有等可能性，则 3几何概型：设为欧氏空间中的一个有界区域, 样本点的出现
2、具有等可能性，则二 事件的关系与概率的性质1. 事件之间的关系与运算律（与集合对应）, 其中特别重要的关系有： （1） A与B互斥（互不相容） （2） A与B 互逆（对立事件） ,（3） A与B相互独立 P（AB）=P（A）P（B）. P（B|A）=P（B） （P（A）0）. （0P（A）1）.P（B|A） =P（B|） （ 0 P（A） 1 ） 注: 若（0P（B）0） （0P（B）1）. P（A|B）=P（A|） （0P（B）1） P（|B）=P（|） （0P（B）0）三、乘法公式，全概率公式，Bayes公式与二项概率公式1 乘法公式：2 全概率公式：3Bayes公式：4二项概率公式: ,
3、课后习题解答习题124、设是三个事件，且，求全不发生的概率。 解 因为 ，所以，于是 5、设A，B是两事件且P (A)=0.6，P (B)=0.7. 问(1)在什么条件下P (AB)取到最大值，最大值是多少？（2）在什么条件下P (AB)取到最小值，最小值是多少？解：由P (A) = 0.6，P (B) = 0.7即知AB，（否则AB = 依互斥事件加法定理， P(AB)=P (A)+P (B)=0.6+0.7=1.31与P (AB)1矛盾）.从而由加法定理得P (AB)=P (A)+P (B)P (AB)(*)（1）从0P(AB)P(A)知，当AB=A，即AB时P(AB)取到最大值，最大值为
4、 P(AB)=P(A)=0.6，（2）从(*)式知，当AB=S时，P(AB)取最小值，最小值为 P(AB)=0.6+0.71=0.3 。习题131、袋中5个白球，3个黑球，一次取两个（1）求取到的两个球颜色不同的概率；（2）求取到的两个球中有黑球的概率；（3）求取到的两个球颜色相同的概率解：（1）设A表示“取到的两个球颜色不同”，则（2）设表示“取到i个黑球”（i1，2），A表示“两个球中有黑球”，则（3）设A表示“取到的两个球颜色不同”，B表示“取到两个白球”，C表示“取到两个黑球”，则，且，所以2、10把钥匙有3把能打开门，今取两把，求能打开门的概率。解:设A=“能打开”，则法一，取出的两
5、把钥匙，可能只有一把能打开，可能两把都能打开，则所以法二，=都打不开，即取得两把钥匙是从另7把中取得的，则，所以3、两封信投入四个信筒，求（1）前两个信筒没有信的概率，（2）第一个信筒内只有一封信的概率。解：（两封信投入四个信筒的总的方法，重复排列）（1）设A=“前两个信筒没有信”，即两封信在余下的两个信筒中重复排列，；（2）设B=“第一个信筒内只有一封信”，则应从两封信中选一封放在第一个信筒中，再把余下的一封信放入余下的三个信筒中的任一个，带入公式既得两个概率。4、一副扑克牌52张，不放回抽样，每次1张，连抽4张，求四张花色各异的概率。解：设A表示“四张花色各异”，则5、袋中有红、黄、黑色球
6、各1个，有放回取3次，求下列事件的概率：A“三次都是红球”，B“三次未取到黑球”，C“颜色全不相同”，D“颜色不全相同”解：（重复排列）；（每次都是从红或黄中任意取1个）；（全排列，第一次取是从三种球中任取1个，第二次取是从余下的两个颜色球中任取1个，最后一次只有一种色）；D的对立事件是“三个球的颜色全相同”等于“三个全红”或“全黑”或“全黄”，且这三者的概率相同都等于，所以.6、从等个数字中，任意选出不同的三个数字，试求下列事件的概率：三个数字中不含0和5，三个数字中不含0或5，三个数字中含0但不含5. 解 . ，或 ， .7、从一副52张的牌中不重复任取3张，求取出的3张牌中至少有2张花色
7、相同的概率。解：设A“取出的3张牌中至少有2张花色相同”，则“3张牌中没有同花色的”所以。另解：设A“取出的3张牌中至少有2张花色相同”，则A等价于“三张花色都相同”（）或“有两张花色相同”（），则，所以8、10个人中有一对夫妇，他们随意坐在一张圆桌周围，求该对夫妇正好坐在一起的概率。解：设“该对夫妇恰坐在一起”，则法一：个人在个座位上随意坐，则；将两个人绑在一起共种，有个位置可坐，其余八个人在个位置上随意坐，共有；法二：设夫妇中一人已经坐好，则余下的个人在个位置随意坐共！，而夫妇中的另一人只有两种坐法，余下的个人随意坐，有！种，所以法三：设其中一人已经坐好，则另一人共有9个位置可坐，而两人坐
8、在一起的位置只有2个.9、在个产品中有个次品，个正品，任取个（）求恰有个次品的概率；（）至少有个次品的概率。解：设“取到的个产品中恰好有个次品”，则（）；（）设“至少有个次品”，则，所以10、从5双不同的鞋子中任取4只，求这四只鞋子中至少有两只配对的概率。解：设A=“四只鞋子中至少有两只配对”，则其对立事件为=“四只中无配对的”法一：从10只中取1只，将与其配对的另一只排除在外，再从余下的8只中取1只，依次类推，则法二：先从5双中抽取四双，再从每一双中取一只，则法三：至少有一双配对等价于“有一双配对”=C和四只都配对”=D，有一双配对，先从5双中取1双，再从余下的8只中任取两只，但这种取法中有
9、可能出现成对的情况，应减去，成对的种类有，所以；有两双配对，从5双中取两双即可，所以11、把52张牌发给四人，求指定的某人没有得到黑桃A或黑桃K的概率。解：设C=“指定的某人没有得到黑桃A或黑桃K”，则其对立事件为=“指定的某人得到黑桃A和黑桃K”12、50只铆钉随机装入10个部件上，其中3个铆钉强度太弱。每个部件装有3个铆钉。如果3只强度太弱的铆钉都装入同一个部件，则这个部件的强度太弱，求发生一个部件强度太弱的概率。解：法一：用古典概率作：把随机试验E看作是用三个钉一组，三个钉一组去铆完10个部件（在三个钉的一组中不分先后次序。但10组钉铆完10个部件要分先后次序）对E：铆法有种，每种装法等
10、可能对A：三个次钉必须铆在一个部件上。这种铆法有10种法二：用古典概率作把试验E看作是在50个钉中任选30个钉排成一列，顺次钉下去，直到把部件铆完。（铆钉要计先后次序）对E：铆法有种，每种铆法等可能对A：三支次钉必须铆在“1，2，3”位置上或“4，5，6”位置上，或“28，29，30”位置上。这种铆法有种法三：3个强度太弱的铆钉有可能装入10个部件中的任何一个，不妨设=“第I 个部件的强度太弱”=“3个强度太弱的铆钉装入第i个部件”所以A=“发生一个部件强度太弱”，则，且两两互斥，所以13、张考签，人应试，一人抽张后放回，再由另一人抽，求抽签结束后，至少有张没有被抽到的概率。解：法一：设“第张
11、考签没有被抽到”，“至少有张没有被抽到”，则，因为是重复抽取，所以，所以，法二：“三张都被抽到”，则，所以14、从1-9的9个数中有放回地取3次，每次取一个，求取出的3个数之积能被10整除的概率。解：取出的3个数中应有偶数，且必须有5，才能保证三数之积能被10整除。.设A=“取出的3个数中有偶数”，B=“取出的3个数中有5”，所求概率为15、提示 如右图所示（1）带点的四个区域的面积所占的比例（2）6个黑框和4个带点区域的面积和所占的比例习题141、一批产品100件,80件正品, 20件次品, 其中甲厂生产60件,有50件正品, 10件次品,余下的40件均由乙厂生产. 现从该批产品中任取一件,
12、 记A=“正品”,=“甲厂生产的产品”.求下列概率.解： 【注】：要注意条件概率与概率之间的区别。2、假设一批产品中一、二、三等品各占60%，30%，10%，从中任取一件，发现它不是三等品，求它是一等品的概率. 解 设任取一件是等品 ，所求概率为 ，因为 所以 故 3、。解：由由乘法公式，得由加法公式，得4、设事件满足：，求 解： ，5、设事件互斥，且，试证明：。证：因为事件互斥，所以，所以 6、甲、乙两人参加乒乓球比赛，甲先发球，甲发球成功后，乙回球失误的概率为0.3；若乙回球成功，甲回球失误的概率为0.4；若甲回球成功，乙再次回球失误的概率为0.5，计算这几个回合中乙输一分的概率。解：本次
13、比赛共进行两个回合，甲发一次球，回一次球，而乙回球两次。乙输分的可能情况有：甲发球成功，乙回球失误；或甲发球成功，乙第一次回球成功，甲第一次回球成功，而乙第二次回球失误。所以设A=“甲回球失误”B=“第i次乙回球失误”，由题意，已知下列概率，则p乙输一分= 7、一个盒子中装有15个乒乓球【原题为12个球】，其中9个新球，在第一次比赛时任意抽取3只，比赛后仍放回原盒中；在第二次比赛时同样地任取3只球，求第二次取出的3个球均为新球的概率。 解 设第二次取出的均为新球， 第一次取出的3个球恰有个新球由全概公式 8、某仓库有同样规格的产品六箱，其中三箱是甲厂生产，二箱由乙厂生产，另一箱由丙厂生产，且它
14、们的次品率依次为1/10，1/15，1/20，现从中任取一件产品，试求取得的一件是正品的概率。解：设表示取到的一件产品是由第i厂生产的，B表示取到的产品是次品，由题意知，且，所以由全概率公式可得9、某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而随机的拨号，求他拨号不超过三次而接通所需的电话的概率是多少？如果已知最后一个数字是奇数，那么此概率是多少？解：记H表拨号不超过三次而能接通。Ai表第i次拨号能接通。注意：第一次拨号不通，第二拨号就不再拨这个号码。 如果已知最后一个数字是奇数（记为事件B）问题变为在B已发生的条件下，求H再发生的概率。 10、一学生接连参加同一课程的两次考试。第一次及格的概率为P，
15、若第一次及格则第二次及格的概率也为P；若第一次不及格则第二次及格的概率为（1）若至少有一次及格则他能取得某种资格，求他取得该资格的概率。（2）若已知他第二次已经及格，求他第一次及格的概率。解：Ai=他第i次及格，i=1,2 已知P (A1)=P (A2|A1)=P，（1）B=至少有一次及格所以 （2）（*）由乘法公式，有P (A1 A2)= P (A1) P (A2| A1) = P2由全概率公式，有 将以上两个结果代入（*）得11、甲、乙两个盒子各有10只螺钉，每个盒子各有一只是次品，其余均为正品。现从甲盒子中任取二只放入乙盒子中，再从乙盒子中取两只，问从乙盒子中取出的恰好是一只正品，一只次
16、品的概率。解：设表示“从甲盒子中取出的两只中次品的个数“（i0，1），则设B表示“乙盒子中取出的恰好是一只正品，一只次品“，则，所以，由全概率公式知 习题1-51、设是两个事件，若，则（ ）. （A）互不相容； （B）是不可能事件； （C）或； （D）未必是不可能事件. 解：. 选D.2、设每次试验成功的概率为，现进行独立重复试验，求直到第10次试验才取得第4次成功的概率.解：说明前9次取得了3次成功 第10次才取得第4次成功的概率为 3、甲乙两人射击，甲击中的概率为0.8，乙击中的概率为0.7，同时射击且独立，求下列概率：（1）两人都击中；（2）甲中乙不中；（3）甲不中乙中。解：设A表示甲击
17、中，B表示乙击中，则A与B独立，所以由独立性的性质知，（1）；（2）；（3）4、一个自动报警装置由雷达和计算机两部分组成，两部分有任何一个失灵，这个报警器就失灵。如果使用100小时后，雷达失灵的概率为0.1，计算机失灵的概率为0.3，独立，求这个报警器使用100小时而不失灵的概率。解：设A表示使用100小时后雷达失灵，B表示使用100小时后计算机失灵；则；所以，所求概率为。5、制造一种零件可采用两种工艺，第一种工艺有三种工序，每道工序的废品率分别为0.1、0.2、0.3；第二种工艺有二种工序，每道工序的废品率都是0.3。如果采用第一种工艺，在合格零件中，一级品率为0.9；而用第二种工艺，在合格
18、零件中，一级品率为0.8.问哪一种工艺得到的一级品的概率更大？解：设A=“第一种工艺得到合格品”，“第一种工艺的第i道工序得到合格品”， B=“第一种工艺得到合格品”，“第一种工艺的第i道工序得到合格品” ， 在每中工艺中，哪一道工序生产出合格品是相互独立的，所以，则由题意所以而在采用第一种工艺时，在合格零件中，一级品率为0.9，所以得到的一级品率为而用第二种工艺，在合格零件中，一级品率为0.8，所以第一种大。6、三人独立地破译一个密码，他们能译出的概率分别是，求他们将此密码译出的概率. 解1 设将密码译出，第个人译出 则 . 解2 事件如上所设，则7、一猎人射击野兔，第一枪距离野兔200米，
19、如果未击中，他追至离野兔150米射击第2次，如果仍未击中，他追至100米处再射击第三次，此时击中的概率为0.5，假设猎人的命中率与他离野兔的距离平方成反比，求他击中野兔的概率。解：设第i次击中野兔，B“击中野兔”则由题意，所以而，所以 8、排球竞赛规定：发球方赢球时得分，输球时对方得到发球权。甲乙两队进行比赛。根据以往的战例，已知甲队发球时，甲队赢球和输球的概率分别为0.4和0.6；当乙队发球时，甲队赢球和输球的概率都为0.5。无论哪个队先发球，比赛进行到任一队得分时为止，求甲队先发球时各队得分的概率。解：分析，只要有一队得分比赛就结束。设A=“甲队发球甲队得分”，B=“甲队发球乙队得分”。=
20、“甲队第i次发球甲队赢球”， =“甲队第i次发球乙队赢球”，=“乙队第i次发球甲队赢球”， =“乙队第i次发球乙队赢球”则由题意得：甲先发球时，可能第一次就赢球得一分，结束；可能甲第一次输球，乙得发球权，发球后乙输球，甲得发球权，发球后甲赢球得一分，结束；依次类推，得所以同理，即B与A是对立事件所以（或利用P（）的求法也能得到）。9证明若三事件相互独立，则及都与独立。 证 即与独立. 即 与相互独立.10、随机掷一颗骰子，连续6次，求下列概率：（1）恰有1次出现6点；（2）恰有两次出现6点；（3）至少有1次出现六点。解：设表示6次中出现了k次六点，则这时一个6重的伯努利实验，所以（1）；（2）
21、；（3）11、设事件A在每次实验中发生的概率为0.3，当A发生不少于3次时，指示灯发出信号。（1）进行了5次这样的实验，求指示灯发出信号的概率；（2）进行了7次这样的实验，求指示灯发出信号的概率.解：（1）这是一个5重的伯努利实验，记X表示5次实验中A发生的次数，则，所以（2）这是一个7重的伯努利实验，记Y表示7次实验中A发生的次数，则，所以12、一大楼装有5个同类型的供水设备，调查表明在任一时刻t每个设备使用的概率为0.1，问在同一时刻（1）恰有2个设备被使用的概率是多少？（2）至少有3个设备被使用的概率是多少？（3）至多有3个设备被使用的概率是多少？（4）至少有一个设备被使用的概率是多少？
22、 13、有一大批产品，其验收方案如下，先做第一次检验：从中任取10件，经验收无次品接受这批产品，次品数大于2拒收；否则作第二次检验，其做法是从中再任取5件，仅当5件中无次品时接受这批产品，若产品的次品率为10%，求（1）这批产品经第一次检验就能接受的概率（2）需作第二次检验的概率（3）这批产品按第2次检验的标准被接受的概率（4）这批产品在第1次检验未能做决定且第二次检验时被通过的概率（5）这批产品被接受的概率解：X表示10件中次品的个数，Y表示5件中次品的个数， 由于产品总数很大，故XB（10，0.1），YB（5，0.1）（近似服从）（1）P X=0=0.9100.349（2）P X2=P X
23、=2+ P X=1=（3）P Y=0=0.9 50.590（4）P 0X2，Y=0(0X2与 Y=2独立) = P 0X2P Y=0 =0.5810.5900.343（5）P X=0+ P 0X2，Y=0 0.349+0.343=0.692总复习题1、一批产品有合格品也有废品，从中有放回取三件，以表示第i次抽到废品，以事件的集合表示下列情况。（1）第一次第二次抽取至少抽到一件废品。（2）只有第一次抽到废品。（3）三次都取到废品。（4）至少有一次取到废品。（5）只有两次取到废品。2、设事件A，B，C满足，试把下列事件表示为一些互不相容的事件的并。（1）七块（2）（3）3、证明下列等式（1）证：
24、（2）证：利用差积转换（3）证：利用对偶律4、若，求。解：因为，所以5、设A，B，C是三事件，且，. 求A，B，C至少有一个发生的概率。解：P (A，B，C至少有一个发生)=P (A+B+C)= P(A)+ P(B)+ P(C)P(AB)P(BC)P(AC)+ P(ABC)= 6、已知都满足证明：，而7、某书店一天中售出数学书50本，外语书50本，理化书50本。设每位顾客每类书至多够买一本。其中，只购数学书的占顾客总数的20%，只购外语书的占25%，只购理化书占15%，三类书全购的占10%，求（1） 总共有多少顾客购书？（2）只购数学和外语书的人数占顾客总人数的比例。解：设A=“顾客购买数学书
25、”，B=“顾客购买外语书”，C=“顾客购买理化书”，则由题意知，还需要求出只购买其中两类书的顾客，设，则由所有购书的顾客共购买了150书知：，所以有0.2+0.25+0.15+0.1+x+y+z=1 （1）另外，设购买书的总人数为w，则卖出的50本数学书应该是总人数乘以只购数学、购数学和外语、购数学和理化及三种书都购所占比例之和，即 （2）同理可得： （3） （4）联立四个方程成方程组，解得w=100,x=0.05,y=0.15,z=0.1,所以（1）共有100名顾客购书，（2）只购数学和外语的占5%8、设一批产品共100件，其中98件正品，2件次品，从中任取3件（分三种抽样方式）求（1）取出
26、的三件中恰有一件是次品的概率；（2）取出的三件中至少有一件是次品的概率解：与例题相仿。9、某宾馆一楼有3部电梯，现有5人要乘坐，求每部电梯至少有一人的概率。解：设A=“每部电梯至少有一人”，其对立事件为=“有电梯中没有人”等价于至少有一部电梯中无人，设=“第I部电梯中无人”，则，所以， 有题意可知，所以另解：两种坐法（1）一部电梯有1人，另两部电梯各有2人：（2）一部电梯有3人，另两部电梯各有1人：所以10、某教研室共11名老师，其中7名男教师，现从中任选3名为优秀教师，求3名优秀者至少有一名女教师的概率。解：设A表示“3名优秀者至少有一名女教师”，则“3名优秀者没有女教师”所以11某地区电话
27、号码由8打头的八个数字组成的八位数，求（1）八个数字全不相同的概率（2）八个数字不全相同的概率解：（1）设A表示“八个数字全不相同”，则后面的七个数字是从除8以外的九个数字中任取7个的排列。所以（2）设B表示“八个数字不全相同”，则表示八个数字全是8，所以12、甲乙两人先后从52张牌中各取13张，求甲或乙拿到四张A的概率（1）甲抽后不放回，乙再抽；（2）甲抽后放回，乙再抽解：设A=“甲抽到4张A”，B=“乙抽到4张A”（1）因为甲抽到4张A后，乙不可能抽到A，随意A与B互斥，所求概率为（B是在甲抽完13张后乙再取）（2）13包括a和b二人在内的n个人排队，问a和b间恰好有r个人的概率解：设A表
28、示“a和b间恰好有r个人”，n个人共有种站法；a和b间恰好有r个人，而a可在前也可在后，两者具有对称性。假设a在前，b在后，则a可能的站法共有（）种，a确定了，b也随着确定，其它个人在剩余的个位置上全排列0yxyxax所以14、随机地向半圆（为正常数）内掷一点，点落在园内任何区域的概率与区域的面积成正比，求原点与该点的连线与轴的夹角小于的概率. 解：半圆域如图 设原点与该点连线与轴夹角小于 由几何概率的定义 15略1610个考签中有4个难签，三个人参加抽签(无放回)甲先，乙次，丙最后，试问(1) 甲、乙、丙均抽得难签的概率为多少? (2) 甲、乙、丙抽得难签的概率各为多少?【解】令A、B、C分
29、别表示甲、乙、丙抽得难签的事件，（1）所求概率为（2）因为抽签时按甲、已、丙的次序先后抽取，所以甲抽得难签的概率为：；乙抽得难签这一事件，所以乙抽得难签的概率为同理，而因而丙抽得难签的概率为 17. 一批零件共100个，次品率为10，每次从中任取一个零件，取后不放回，如果取到一个合格品就不再取下去，求在三次能取到合格品的概率。解：设表示第i次取到合格品，A表示“三次能取到合格品”，则由题意，且互斥，所以 18、假设有两箱同种零件：第一箱内装50件，其中10件一等品；第二箱内装30件其中18件一等品，现从两箱中随意挑出一箱，然后从该箱中先后随机取出两个零件（取出的零件均不放回），试求：（1）先取
30、出的零件是一等品的概率；（2）在先取的零件是一等品的条件下，第二次取出的零件仍然是一等的概率. 解 设第次取出的零件是一等品，. 取到第箱，.则 （1）. （2） 19发报台分别以概率0.6和0.4发出信号“”和“”，由于通讯系统受到干扰，当发出信号“”时，收报台未必收到信号“.”，而是分别以0.8和0.2收到“”和“”；同样，发出“”时分别以0.9和0.1收到“”和“” 。如果收报台收到“”，问它没收错的概率？解： 设=发报台发出信号“”，=发报台发出信号“”，收报台收到“”，收报台收到“”；于是，；按贝叶斯公式，有所以没收错的概率为.20、罐子中有b只黑球，r只红球，从中任取一球，观察颜色
31、后放回，并加进同颜色的c个球，再到第二次，方法同上，如此进行下去，求：（1）第一、二次取到红球，第三次取到黑球的概率；（2）第一、三次取到红球，第二、四次取到黑球的概率.【解】令第i次取到黑球，则第j次取到红球；由题意得，（1）（2）21设口袋中装有只白球，只黑球，一次取出n只球，如果已知取出的球是同一颜色，计算该颜色是黑色的概率。解：设A表示“取出的球是同一颜色”；B表示“取出的球全是黑色”，则所求概率为22、某商场各柜台受到消费者投诉的事件数为0、1、2三种情形，其概率分别为0.6、0.3、0.1.有关部门每月抽查商场的两个柜台，规定：如果两个柜台受到的投诉之和超过1次，则给商场通报批评；
32、若一年中有三个月受到通报批评则该商场受挂牌处分一年，求该商场受处分的概率。分析：首先应该求出一月内两柜台受投诉的次数超过1次的概率，再求一年内受通报批评次数大于等于3次的概率。解：设A=“商场一月内受到通报批评”，=“第一柜台一月内受到投诉i次”（i=1，2，3）=“第二柜台一月内受到投诉i次”（i=1，2，3），则由题意得，受到通报批评的情况有一下几种：第一柜台0投诉第二柜台2次投诉或第一柜台2次投诉第二柜台0投诉或者第一柜台至少一次投诉第二柜台至少一次投诉，即（两两互斥，之间独立）所以 =0.28设X表示商场一年12个月内受到通报批评的次数，则这是一个贝努利概型，n=12，p=0.28，“
33、受挂牌处分”等价于“”所以23 某人有两盒火柴，吸烟时从任一盒中取一根火柴，经过若干时间后，发现一盒火柴已用完。如果最初每盒中各有n根火柴，求这时另一盒中还有r 根火柴的概率。解：设有甲、乙两盒火柴，每次从甲还是从乙中取火柴的概率都是0.5.而用完的哪盒火柴可能是甲盒也可能是乙盒。该人总共取火柴的次数为2n-r+1 ，在最后一次即第2n-r+1次取的过程中发现火柴没有了，因此实际上取火柴的次数为2n-r 次，在这2n-r 次取火柴的过程中，有n次从其中的一个盒子里取得，另外的n-r次从另外一个盒子里取得，从哪一个盒子里取的概率都为0.5，因此这是一个贝努利概型：每次试验只有两个结果：要么从甲盒
34、取、要么从乙盒取，共进行了2n-r次试验，并且是独立的，要求的是：在2n-r 次试验中恰好从其中一个盒子里取到n只火柴的概率。所以 另解：设发现一盒已经用完另一盒还有根。 发现甲盒已经用完乙盒还有根。则 发生甲盒拿了次，乙盒拿了次，共进行了次试验，而且前次试验，甲发生次，第次试验甲发生。故 从而 24、甲乙丙3人同向一飞机射击，设击中飞机的概率分别为0.4、0.5、0.7。如果只有一人击中飞机，则飞机被击落的概率为0.2，如果有两人击中飞机，则飞机被击落的概率为0.6，如果有三人击中飞机，则飞机一定被击落。求飞机被击落的概率。解：设A“甲击中飞机”，B“乙击中飞机”，C“丙击中飞机”； “有i
35、人击中飞机”（i0，1，2，3）；D“飞机被击中”则由已知，由于A、B、C相互独立，所以而，所以所以25. “水滴石穿”、“只要功夫深，铁杵磨成针”的概率含义小概率事件原理。26. 现有编号为I、II、III的三个口袋，其中I号袋内装有两个1号球，一个2号球与一个3号球；II号口袋内有两个1号球与一个3号球；III号袋内有三个1号球与两个2号球。现先从I号袋内取一个球，放入与球的号数相同的口袋中，再从该口袋中任取一个球，计算第二次取到几号球的概率最大。解：设表示“从I号袋内取到第i号球”，表示“第二次取到的球的号码”则，由全概率公式得 27. 要验收100台微机，验收方案如下：从中任取3台测试
36、（相互独立），3台中只要有一台被认为是次品，这批微机就会被拒绝接受。由于测试条件和水平，将次品的微机误认为为正品的概率为0.05，而将正品的微机误判为次品的概率为0.01.如果已知这100台微机中恰有4台次品，试问这批微机被接受的概率。解：设A表示“这批微机被接受”，表示“抽检的3台微机中次品的台数”，则，且而（即每一件正品经检验确是正品的概率为1-0.010.99，且相互独立，所以抽取的三件正品经检验确是正品的概率为。该概率为：当抽取三件正品时，经检验确是正品。以下类似），所以，由全概率公式得28. 某仪器由三个部件组成，假设各部件质量互不影响且其优质率分别为0.8、0.7、0.9.已知：如果三个部件都是优质品，则组装后的仪器一定合格；如果有一个部件不是优质品，则组装后的仪器不合格率为0.2；如果有两个部件不是优质品，则组装后的仪器不合格率为0.6；如果三部件都不是优质品，则组装后的仪器不合格率为0.9.（1）求仪器的不合格率；（2）如果已发生一台仪器不合格，问它有几个部件不是优质品的概率最大。解：设A表示“仪器不合格”，表示“仪器内有i个不是优质品”，表示“第i个部件是优质品”则，且，因为（i1，2，3）相互独立，且上述事件之间互斥，所以， ，由题意，（1）由全概率公式可得0.1402；（2）由贝叶斯公式可得所以出现一个部件不是优质品的概率最大。