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1、在小学数学教学中渗透数学思想方法重庆市教育科学研究院 陈祥彬【通讯地址：重庆市渝中区桂花园路12号重庆市教育科学研究院 邮编： 电话：】【摘要】数学思想方法是数学的精髓，在数学中居于核心地位，具有深远的教育意义。学习数学不仅要学习它的知识内容，而且要学习它的精神和思想方法。在小学数学教学中应结合有关内容的教学，向学生渗透分类、转化、数形结合、归纳、集合、方程等基本的数学思想方法，促进学生对数学知识的理解和数学能力的发展，也为今后进一步学习和工作打下良好的数学基础。【关键词】数学思想方法；小学数学教学；渗透数学思想方法； 数学思想是对数学内容和方法的本质认识和进一步抽象概括，它既是在具体的数学内
2、容中提炼上升的数学观点，也是用来在具体的数学活动中解决问题的根本看法，是建立数学、发展数学和应用数学解决问题的指导思想。数学方法是从数学的角度提出问题、分析问题、解决问题所采用的各种方式、手段和途径的总和。数学思想和数学方法都是以一定的数学知识为基础，反过来又促进学生对数学知识的理解和数学能力的发展，但它们的抽象概括程度不同，数学思想带有理论性的特征，数学方法具有实践性的倾向；数学思想是内隐的，是相应的数学方法的概括和提升；数学方法是外显的，是数学思想在具体数学活动中的应用和体现，两者较难严格区分，因此人们通常把它们合称为数学思想方法。在小学数学教学中初步渗透一些基本的数学思想方法，不但可以使
3、学生更好的理解数学知识，提高数学素养，也能为学生今后在中学进一步学习数学思想方法打下良好的基础，使学生对数学思想方法的学习与掌握得到渐进式的发展。一、教学中应渗透的数学思想方法数学思想方法源于数学知识与创造，与数学知识一样丰富。根据小学数学内容的特点和小学生的认知水平，在小学数学教学中应结合有关内容的教学注意渗透分类、转化、数形结合、归纳、集合、方程、符号化、函数与对应、极限等数学思想方法。本文由于受篇幅限制，这里主要对以下四种数学思想方法进行简要讨论。1分类的思想方法分类的思想方法是指把被研究的某个数学问题看为一个整体，然后根据一定的分类标准，将整体划分为几个部分，通过对各部分的分析，实现对
4、原整体问题的解决1肖柏荣、潘娉姣 数学数学方法及其教学示例 . 南京：江苏教育出版社，2000. 68.2邵光华. 作为数学教育任务的数学思想方法.上海：上海教育出版社，2009. 301.作者简介：陈祥彬（1963年），男，重庆市教育科学研究院小学数学教研员，中学高级教师，重庆市小学数学教学专委会秘书长，主要从事小学数学教学研究。分类的思想方法在数学中非常重要，也在小学数学中大量应用，应用分类的思想方法对复杂的数学对象进行分类，能使同一类对象的相同属性和不同类对象的不同属性清楚的显示出来，从而使学生对概念、法则、定律等数学知识的本质含义理解更深刻，促进学生对问题的解决。例如，学生在学习了三角
5、形时，将三角形分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，有利于学生深刻把握这三类三角形的本质特征，弄清它们之间的区别和联系。分类必须遵循三条基本原则：一是标准统一性原则，每次分类的标准必须是同一的，不能在同一次分类中依据两个或两个以上的标准，但这个同一标准可以是一个因素，也可以是两个或两个以上的因素组成，比如在自然数中找出既是奇数又是合数的数，这个分类标准就含有奇数与合数两个因素。二是不重复、不遗漏原则，分类后的各个部分既不能重复，也不能遗漏，但在这一标准下，各个部分必须是互相排斥而不能相交。三是层级性原则，如果一次分类不能完成，应当按层级进行逐一分类，分类的小项应该是大项的最接近的下位知识。例
6、如，对小学数学中的四边形分类，首先应将四边形分成平行四边形、梯形和任意四边形，再将平行四边形分成一般的平行四边形和长方形（特殊的平行四边形），最后将长方形分成一般的长方形和正方形（特殊的长方形）。2转化的思想方法转化的思想方法也叫化归的思想方法，其基本思想是用联系、运动和发展的观点去看问题，通过变换问题的形式，把未解决的或复杂的问题归结到已经能解决的或简单的问题中去，从而获得对原问题的解决。转化的思想方法既有坚实的数学学科基础，也有坚实的哲学基础，体现了数学学科的演绎推理逻辑论证和矛盾在一定条件下可以互相转化的辩证法。转化的思想方法在小学数学中大量运用，从内容领域看，无论是对数与代数的学习，还
7、是对空间与图形的探索，都会用到转化的思想方法；从目标领域上看，无论是知识与技能的学习，还是解决问题，也将用到转化的思想方法，比如探索小数乘法的计算方法和多边形的面积、解决复杂的分数百分数问题等都要用到转化的思想方法。转化是数学学习和解决问题常用的思想方法，它对小学生的数学学习和发展具有十分重要的作用，主要表现在：一是有利于新知识与旧知识建立起联系，让学生利用已有的识经验推动新知识的学习。二是借助问题转化的过程让学生经历知识的形成过程，有利于促进学生对知识的理解和学习能力的发展；三是有利于促进问题的解决，培养学生解决问题的能力。在小学数学教学中应用转化的思想方法，关键要让学生明确转化的方向，具体
8、应把握三条原则：一是熟悉化原则，要充分利用学生已有的知识经验，注意将新问题向已经学习过的、比较熟悉的问题转化，尽可能让学生利用已有知识经验解决新问题；二是简单化原则，要让学生树立化难为易、从繁到简的数学学习方法观，注意将复杂的、思维难度大的问题向简单的、思维难度小的问题转化；三是具体化原则，就是要遵循小学生思维的特点，注意将抽象的问题向直观化、具体化的问题转化，促进对问题的理解与解决。 3数形结合的思想方法数学研究的主要对象是现实世界的空间形式与数量关系，“空间形式”常看作“形”，“数量关系”常看作“数”，数与形是同一事物的两个方面，既是互相联系的，也是可以相互转化的。数形结合思想方法融合了“
9、抽象”和“具体”，实现了数与形优势的互补，突出了它们之间的本质联系，一方面利用图形的性质特点可以把抽象的数学概念和数量关系直观形象地表达出来，以形助数，使问题获解；另一方面将图形的性质或特点转化为具有模式化的代数问题，以数助形，使问题获解。小学生的思维具有由形象思维向抽象逻辑思维过渡的特点，数形结合的思想方法有利于学生把形象思维与抽象逻辑思维结合起来，使抽象的数与代数问题直观化、形象化，或使几何关系结构数量化、精确化。例如在数轴上表示整数、分数、小数，不但可以更容易看出数的大小，也直观的反映出三种数之间的关系；再如将圆的周长与直径的关系概括成Cd，使学生对圆的性质特点理解更深刻。在小学数学教学
10、中，数形结合的思想方法的应用具体表现在：一是用几何图形表示数学概念、计算法则、算理等数学知识，加深学生对知识的理解，比如把的算理和算法用图1表示出来更容易让学生理解。二是用几何图形表示数学问题中的信息和数量关系，帮助学生尽快找到解决问题的策略，比如“甲乙两人分别骑摩托车从相距30千米的A、B两地同时相向而行（甲的速度比乙快），30分钟后他们在距中点3千米处相遇，甲乙两人每分钟各走多少千米？”对这样的问题，如果用图2表示其中的数量关系，可以使学生很容易地找到解决问题的办法。三是将几何图形的性质、特点以及几何中的关系用数学模型表示出来，使复杂的问题简单化，让学生对几何中的问题获得精细、准确把握，比
11、如，用数对表示物体的位置，用两组对边分别相等、四个角都是直角（90）概括长方形的特征，用Sah表示三角形的面积与底和高的关系，同时也折射出三角形与平行四边形的关系。4归纳的思想方法归纳既是一种数学思维方法，也是一种数学思想方法，是指通过对特殊示例、题材的观察和分析，舍去非本质的、次要的要素，从中发现事物的本质联系，并概括普遍性的结论。简言之，就是由特殊到一般的推理方法。归纳分为完全归纳和不完全归纳，鉴于小学生的认识水平，在小学数学教学中一般都采用不完全归纳的方法。归纳的思想方法是学生进行数学学习的重要方法，通过归纳，一方是可以使学生发现数学结论，获取数学知识；另一方面学生通过观察、实验、思考，
12、经历探究发现与归纳概括的过程中，使学生的归纳概括能力、推理能力和探究发现能力得到培养。归纳的思想方法在小学数学中被广泛应用，无论是数学概念的形成，还是计算法则的概括，以及运算定律、性质和关系的发现，都要用到了归纳的思想方法。在小学数学教学中应用归纳的思想方法，要注意以下问题：一是提供的材料要具有代表性和全面性，尽量能体现同类问题共同的特点和一般的规律。二是要注意将所归纳出的结论应用到具体的数学问题中去，通过应用一方面检验结论是否正确，另一方面加深学生对结论的理解和掌握。三是要让学生明确用不完全归纳的方法得到的数学结论，一般要通过检验或证明才能进一步说明结论的正确性。在小学数学教学中，一般可以采
13、用再列举同类事例看是否具有这样的特点或规律，举反例看是否符合结论的要求，以及应用等方法加以验证。二、渗透数学思想方法的教学策略在小学数学教学中渗透数学思想方法，应坚持可接受性原则，根据小学生的接受能力把握好渗透的度，注意将抽象的数学思想方法与具体的教学内容紧密结合，使学生对数学思想方法获得初步的认识或感悟，并随着年级的升高和认知的发展，让学生对这些思想方法的认识更清晰，理解逐步深刻。1凸显知识的形成过程，让学生感悟数学思想方法数学教学内容始终反映着数学知识和数学思想方法这两条主线，数学知识与数学思想方法始终是紧密联系的，没有脱离数学知识的数学思想方法，也没有不包含数学思想方法的数学知识，数学知
14、识的发生、发展过程，也是数学思想方法发生和凸显的过程。如认识10以内的数，首先要通过大量的感性材料让学生感受这些数的意义，并在此基础上抽象概括出10以内的数，这一过程不但是学生建立10以内数概念的过程，也是学生对归纳概括的数学思想方法获得感悟的过程，只不过针对刚入学的儿童来说，这种感悟还处于萌芽状态，对归纳概括的思想方法的理解还处于潜意识阶段。新课程理念下的小学数学教学，强调让学生经历知识的自主探索过程，在这一过程中，不但要使学生获得对数学的理解，也应让学生对有关数学思想方法获得认识和感悟。因此，在小学数学教学中渗透数学思想方法，应注意凸显知识的形成过程，并在这一过程中抓住渗透数学思想方法的机
15、会，让学生对数学思想方法获得一定的认识和感悟。凸显知识的形成过程让学生感悟数学思想方法，关键是应让学生对数学知识的获取过程有所经历和体验，并在其中获得对数学思想方法的感悟。具体讲，无论是数学概念的概括与形成，还是性质、公式、法则、规律等数学命题的发现与推导，教师都不应把结果直接传授给学生，而应通过创设问题情境，激发学生探索问题的需要，引导学生联系现实生活和数学现实（学生在数学学习中积累的数学知识、方法及经验），通过观察、实验、分析、综合、归纳、概括等方式及手段，亲身经历数学知识的形成过程，在获得对问题的认识、理解和解决的同时，也获得对数学思想方法的认识和感悟。例如，在教学小数乘法时，首先应注意
16、从生活情境中引出计算问题，激发学生计算的心理需要，让学生根据问题中的数量关系列出乘法算式，再联系小数点位置移动引起小数大小变化的规律、整数乘法等数学现实，将小数乘法转化成整数乘法计算，并由此得到原小数乘法的积，最后让学生归纳概括出小数乘法的计算方法。在这样的探索过程中，学生不但掌握了小数乘法的计算方法，获得了对算理的理解，培养了学生的思维能力和应用意识，同时，在教师的点拨下，也应使学生对数学建模、转化、归纳等数学思想方法获得一定的认识和感悟。2反思学习过程，使数学思想方法明晰化反思是一种高级的认知活动，他既是对自己的思想认识和心理感受的思考，也是对自己曾经历、体验过的事件的再次认识和深度理解。
17、学生反思数学学习过程，就是让他们对经历的数学学习内容、学习方法、认知策略等多因素进行再次认识和深度理解。反思具有元认知的成分，学生通过对学习过程进行反思，一方面可以加深学生对所学知识的理解，另一方面也可以使隐含在数学知识中的数学思想方法更加明晰化，提高这些数学思想方法在学生认知结构中的清晰度。针对小学生的年龄特点和认识水平，在小学数学教学中让学生反思学习过程一般应注意三点：一是应逐步培养学生务实的反思态度，一方面要让学生认识到反思学习过程对他们的数学学习的作用，提高学生反思学习过程的自觉性和主动性；另一方面要让学生养成良好的反思习惯，在反思时要能静心、踏实地对学习过程进行回忆与思考，切忌思想浮
18、躁。二是应逐步让学生掌握反思的方法，一方面应引导学生对数学学习过程中的重要步骤、环节进行回忆与思考；另一方面要引导学生思考自己是怎样发现问题、分析问题和解决问题的，思考在发现问题、分析解决问题的活动中用了哪些思考方和知识技能，使学生明确地意识到他们在数学学习活动中用到过的数学思想方法，并对这些思想方法的本质涵义获得进一步的感悟。三是引导学生对反思的过程进行交流和总结，通过交流促进每个学生都能明确地意识到在学习中用到的数学思想方法。例如，在教学三角形的分类时，首先让学生通过观察、操作等方式对不同的三角形按角的特点进行分类，得出三角形可以分成直角三角形、锐角三角形和钝角三角形；然后引导学生回忆、交
19、流他们是怎样对三角形进行分类的，并说说为什么要这样分。通过这样的反思，一方面让学生对三角形分类的方法获得清晰认识的同时，进一步理解分类的含义，感受到每次分类必须按统一的标准、不重复、不遗漏等分类的原则，促进学生对分类的思想方法获得进一步的感悟；另一方面，让学生认识到通过分类可以对三角形获得更精确的认识，从而体验到数学思想方法的作用和价值。最后在学生反思的基础上，教师再进一步引导学生用集合图表示出直角三角形、锐角三角形和钝角三角形三者之间的关系，从而也向学生渗透集合的思想方法。3注重知识的整理与复习，总结数学思想方法学生数学能力的发展和数学素养的提升，既与他们大脑中数学认知结构的完善程度有着直接
20、的联系，也与他们对数学思想方法的理解和掌握密切相关。整理与复习是小学生学习数学的重要方式，也是促进学生数学能力发展和数学素养提升的必要手段。因此，学生在一个单元或一个阶段学习后，通过对知识进行适度的整理与复习，一方面有利于学生进一步理解和巩固所学知识，使知识在大脑中获得实质性的联系，并形成知识链乃至知识组块，获得对数学知识的整体掌握，促进认知结构的发展。另一方面，由于数学思想方法在数学知识体系中居于核心的地位，同一数学内容可以蕴含不同的数学思想方法，而同一数学思想方法又常常分布在许多不同的数学知识中，从而体现出不同的数学知识却具有内在的逻辑联系。因此，引导学生通过对数学知识进行整理与复习，既有
21、利于学生对同一数学内容中的不同数学思想方法获得全面的把握，也有利于使隐含在不同数学知识中的同一数学思想方法得到总结，让学生感受到数学思想方法的普遍实用性，提升学生的数学素养。在具体的教学中，一是要注意再现知识的形成过程，引导学生对有关知识进行回忆，在回忆时既要明确某个知识是什么，也要说一说这些知识是怎么得来的，让学生再度经历知识的形成过程，并对隐含在其中的数学思想方法获得进一步理解。二是在整理与复习时要注意强化数学知识之间的内在联系，突出数学知识形成过程中的共性，让学生感受到虽然这些学习内容有所不同，但在对这些不同的数学知识进行探索的过程中，有同一种思想方法引导着他们怎样去分析问题、解决问题，
22、体验到数学思想方法的普遍实用性和核心地位，实现对数学思想方法的总结。例如，在平面图形面积计算的整理与复习时，首先可以让学生回忆并说一说什么是面积，自己会计算哪些图形的面积，然后重点让学生交流长方形、正方形、平行四边形、三角形及梯形等平面图形的面积计算公式是怎样推导出来的。通过交流，一方面加深学生对这些面积计算公式的理解和掌握，使这些面积计算公式在学生大脑中形成联系，促进认知结构的发展；另一方面，应让学生明确在探索这些面积计算公式时都用到了同一种数学思想方法转化，即把当前不会计算面积的图形转化成已经会计算面积的图形去探索面积计算公式，从而使学生进一步感悟转化这一数学思想方法的本质，体验数学思想方
23、法普遍实用性。4解决数学问题，提炼数学思想方法解决数学问题的过程既是对数学知识和数学思想方法应用的过程，也是学生进一步巩固数学知识，培养解决问题能力，提炼数学思想方法的过程。在解决数学问题的过程中，一方面数学思想方法起着统摄、定向的作用，学生借助已有知识经验对问题情境中的信息进行重新加工，并在数学思想方法的指引下寻找解决问题思考的起点和方向，从而找到解决问题的具体思路和方法；另一方面，在解决问题后，通过对解决问题过程中所运用到的方法策略进行反思、总结和提炼，可以加深学生对数学知识的理解，让学生经历解决问题的具体方法策略向数学思想方法层面转化的过程。在具体的教学中，一是要注意引导学生潜意识地应用
24、一些数学思想方法，帮助学生在分析问题时把握思考的方向，并借助数学思想方法的概括性、迁移性对问题情境、解决问题策略等展开广泛联想，将当前新的、复杂的问题向能利用已有知识经验解决的旧问题及简单问题转化，突出数学思想方法对解决问题的指导作用。二是开展解决数学问题策略的专题教学，解决数学问题的策略是联系数学思想和解决问题具体方法的桥梁，教学中可以以解决数学问题的策略为线索开展解决问题的专题教学，让学生既感受到数学思想方法对解决问题的指导作用，也体验到解决问题的具体方法向数学思想方法的转化过程，强化学生对数学思想方法的感悟，如象人教版九年义务教育课程标准实验教科书上的“数学广角”，既是分专题对解决问题的
25、策略进行训练，也体现了对数学思想方法的分类逐步渗透，教学时可以以此为参考。三是让学生对解决问题的过程进行反思，通过反思，一方面进一步理清解决问题的思路，对解决问题过程中获得的经验进行总结，优化解决问题的过程；另一方面对解决问题用到的方法、策略进行提炼，使学生经历数学思想方法的形成过程。例如，“天港码头有一批货物，运走了，还剩240吨。这批货物原来有多少吨？”学生在解决这一的问题时，在思想意识上首先应想到象这样的分数问题，可以用线段图直观形象地表示出问题中的数量关系（如图3），并借助问题情境和线段图，联想到运走的吨数、剩下的吨数与原有吨数之间有直接的关系。进一步思考，如果能设原有吨数为X吨，则可
26、以将运走的吨数、剩下的吨数和总吨数之间的关系建立一个等式（方程），即，X240X，从而使问题得到解决。在解决问题后，通过引导学生对解决问题的过程进行反思，让学生说一说在解决问题时是怎样思考的，用到了哪些知识和方法，从而使学生感受到数形结合、转化及方程等数学思想方法对解决问题的作用，加深学生对这些数学思想方法的感悟。Infiltrating the Mathematical Way of Thinking into Mathematics Teaching in Primary SchoolsAbstract: Mathematical way of thinking is the essenc
27、e of mathematics. It takes the core position in mathematics. Moreover, it has profound educational meaning. For learning mathematics, the students should not only learn the knowledge of its contents, but also learn its spirit and way of thinking. Therefore, the teachers in mathematics teaching in pr
28、imary schools, combining with the contents of teaching, should infiltrate the basic mathematical way of thinking, such as classification, transformation, combination of number and form, induction, sets, equation and so on into the students in order to promote them to understand the knowledge of mathematics, develop their mathematical capacity and lay a good mathematical foundation for their further study and work.Key Words: mathematical way of thinking; mathematics teaching in Primary Schools; infiltrate the mathematical way of thinking.注 释