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1、二、方法与例题1模的应用。例1 求证：当nN+时，方程(z+1)2n+(z-1)2n=0只有纯虚根。证明 若z是方程的根，则(z+1)2n=-(z-1)2n，所以|(z+1)2n|=|-(z-1)2n|,即|z+1|2=|z-1|2,即(z+1)(+1)=(z-1)(-1)，化简得z+=0，又z=0不是方程的根，所以z是纯虚数。例2 设f(z)=z2+az+b,a,b为复数，对一切|z|=1，有|f(z)|=1，求a,b的值。解 因为4=(1+a+b)+(1-a+b)-(-1+ai+b)-(-1-ai+b)=|f(1)+f(-1)-f(i)-f(-i)|f(1)|+|f(-1)|+|f(i)|
2、+|f(-i)|=4，其中等号成立。所以f(1),f(-1),-f(i),-f(-i)四个向量方向相同，且模相等。所以f(1)=f(-1)=-f(i)=-f(-i)，解得a=b=0.2.复数相等。例3 设R，若二次方程(1-i)x2+(+i)x+1+i=0有两个虚根，求满足的充要条件。解 若方程有实根，则方程组有实根，由方程组得(+1)x+1=0.若=-1，则方程x2-x+1=0中0无实根，所以-1。所以x=-1, =2.所以当2时，方程无实根。所以方程有两个虚根的充要条件为2。3三角形式的应用。例4 设n2000,nN，且存在满足(sin+icos)n=sinn+icosn，那么这样的n有多
3、少个？解 由题设得，所以n=4k+1.又因为0n2000，所以1k500，所以这样的n有500个。4二项式定理的应用。例5 计算：（1）；（2）解 (1+i)100=(1+i)250=(2i)50=-250,由二项式定理(1+i)100= =)+()i，比较实部和虚部，得=-250，=0。5复数乘法的几何意义。例6 以定长线段BC为一边任作ABC，分别以AB，AC为腰，B，C为直角顶点向外作等腰直角ABM、等腰直角ACN。求证：MN的中点为定点。证明 设|BC|=2a，以BC中点O为原点，BC为x轴，建立直角坐标系，确定复平面，则B，C对应的复数为-a,a,点A，M，N对应的复数为z1,z2,
4、z3,，由复数乘法的几何意义得：，由+得z2+z3=i(z1+a)-i(z1-a)=2ai.设MN的中点为P，对应的复数z=,为定值，所以MN的中点P为定点。例7 设A，B，C，D为平面上任意四点，求证：ABAD+BCADACBD。证明 用A，B，C，D表示它们对应的复数，则(A-B)(C-D)+(B-C)(A-D)=(A-C)(B-D)，因为|A-B|C-D|+|B-C|A-D|(A-B)(C-D)+(B-C)(A-D).所以|A-B|C-D|+|B-C|A-D|A-C|B-D|, “=”成立当且仅当，即=，即A，B，C，D共圆时成立。不等式得证。6复数与轨迹。例8 ABC的顶点A表示的复数
5、为3i，底边BC在实轴上滑动，且|BC|=2，求ABC的外心轨迹。解设外心M对应的复数为z=x+yi(x,yR)，B，C点对应的复数分别是b,b+2.因为外心M是三边垂直平分线的交点，而AB的垂直平分线方程为|z-b|=|z-3i|，BC的垂直平分线的方程为|z-b|=|z-b-2|，所以点M对应的复数z满足|z-b|=|z-3i|=|z-b-2|，消去b解得所以ABC的外心轨迹是轨物线。7复数与三角。例9 已知cos+cos+cos=sin+sin+sin=0，求证：cos2+cos2+cos2=0。证明 令z1=cos+isin,z2=cos+isin,z3=cos+isin，则z1+z2
6、+z3=0。所以又因为|zi|=1,i=1,2,3.所以zi=1，即由z1+z2+z3=0得 又所以所以cos2+cos2+cos2+i(sin2+sin2+sin2)=0.所以cos2+cos2+cos2=0。例10 求和：S=cos200+2cos400+18cos18200.解 令w=cos200+isin200,则w18=1，令P=sin200+2sin400+18sin18200,则S+iP=w+2w2+18w18. 由w得w(S+iP)=w2+2w3+17w18+18w19，由-得(1-w)(S+iP)=w+w2+w18-18w19=，所以S+iP=，所以8复数与多项式。例11 已
7、知f(z)=c0zn+c1zn-1+cn-1z+cn是n次复系数多项式(c00).求证：一定存在一个复数z0,|z0|1，并且|f(z0)|c0|+|cn|.证明 记c0zn+c1zn-1+cn-1z=g(z),令=Arg(cn)-Arg(z0)，则方程g(Z)-c0ei=0为n次方程，其必有n个根，设为z1,z2,zn，从而g(z)-c0ei=(z-z1)(z-z2)(z-zn)c0，令z=0得-c0ei=(-1)nz1z2znc0，取模得|z1z2zn|=1。所以z1,z2,，zn中必有一个zi使得|zi|1,从而f(zi)=g(zi)+cn=c0ei=cn，所以|f(zi)|=|c0ei
8、+cn|=|c0|+|cn|.9.单位根的应用。例12 证明：自O上任意一点p到正多边形A1A2An各个顶点的距离的平方和为定值。证明 取此圆为单位圆，O为原点，射线OAn为实轴正半轴，建立复平面，顶点A1对应复数设为，则顶点A2A3An对应复数分别为2，3，n.设点p对应复数z,则|z|=1,且=2n- =2n-命题得证。10复数与几何。例13 如图15-2所示，在四边形ABCD内存在一点P，使得PAB，PCD都是以P为直角顶点的等腰直角三角形。求证：必存在另一点Q，使得QBC，QDA也都是以Q为直角顶点的等腰直角三角形。证明 以P为原点建立复平面，并用A，B，C，D，P，Q表示它们对应的复
9、数，由题设及复数乘法的几何意义知D=iC,B=iA；取，则C-Q=i(B-Q)，则BCQ为等腰直角三角形；又由C-Q=i(B-Q)得，即A-Q=i(D-Q)，所以ADQ也为等腰直角三角形且以Q为直角顶点。综上命题得证。例14 平面上给定A1A2A3及点p0，定义As=As-3,s4，构造点列p0,p1,p2,使得pk+1为绕中心Ak+1顺时针旋转1200时pk所到达的位置，k=0,1,2,若p1986=p0.证明：A1A2A3为等边三角形。证明 令u=，由题设，约定用点同时表示它们对应的复数，取给定平面为复平面，则p1=(1+u)A1-up0,p2=(1+u)A2-up1,p3=(1+u)A3
10、-up2,u2+(-u)得p3=(1+u)(A3-uA2+u2A1)+p0=w+p0,w为与p0无关的常数。同理得p6=w+p3=2w+p0,p1986=662w+p0=p0，所以w=0，从而A3-uA2+u2A1=0.由u2=u-1得A3-A1=（A2-A1）u，这说明A1A2A3为正三角形。三、基础训练题1满足(2x2+5x+2)+(y2-y-2)i=0的有序实数对(x,y)有_组。2若zC且z2=8+6i,且z3-16z-=_。3.复数z满足|z|=5，且(3+4i)z是纯虚数，则_。4已知，则1+z+z2+z1992=_。5.设复数z使得的一个辐角的绝对值为，则z辐角主值的取值范围是_
11、。6设z,w,C,|1，则关于z的方程-z=w的解为z=_。7.设0xc2是a2+b2-c20成立的_条件。10已知关于x的实系数方程x2-2x+2=0和x2+2mx+1=0的四个不同的根在复平面上对应的点共圆，则m取值的集合是_。11二次方程ax2+x+1=0的两根的模都小于2，求实数a的取值范围。12复平面上定点Z0，动点Z1对应的复数分别为z0,z1，其中z00，且满足方程|z1-z0|=|z1|，另一个动点Z对应的复数z满足z1z=-1，求点Z的轨迹，并指出它在复平面上的形状和位置。13N个复数z1,z2,zn成等比数列，其中|z1|1，公比为q,|q|=1且q1,复数w1,w2,wn
12、满足条件：wk=zk+h，其中k=1,2,n,h为已知实数，求证：复平面内表示w1,w2,wn的点p1,p2,pn都在一个焦距为4的椭圆上。四、高考水平训练题1复数z和cos+isin对应的点关于直线|iz+1|=|z+i|对称，则z=_。2.设复数z满足z+|z|=2+i，那么z=_。3有一个人在草原上漫步，开始时从O出发，向东行走，每走1千米后，便向左转角度，他走过n千米后，首次回到原出发点，则n=_。4.若，则|z|=_。5.若ak0,k=1,2,n，并规定an+1=a1，使不等式恒成立的实数的最大值为_。6已知点P为椭圆上任意一点，以OP为边逆时针作正方形OPQR，则动点R的轨迹方程为
13、_。7已知P为直线x-y+1=0上的动点，以OP为边作正OPQ(O，P，Q按顺时针方向排列)。则点Q的轨迹方程为_。8已知zC,则命题“z是纯虚数”是命题“”的_条件。9若nN，且n3,则方程zn+1+zn-1=0的模为1的虚根的个数为_。10设(x2006+x2008+3)2007=a0+a1x+a2x2+anxn，则+a3k-_。11.设复数z1,z2满足z1,其中A0，AC。证明：（1）|z1+A|z2+A|=|A|2； （2）12若zC,且|z|=1,u=z4-z3-3z2i-z+1.求|u|的最大值和最小值，并求取得最大值、最小值时的复数z.13.给定实数a,b,c,已知复数z1,z
14、2,z3满足求|az1+bz2+cz3|的值。三、联赛一试水平训练题1已知复数z满足则z的辐角主值的取值范围是_。2设复数z=cos+isin(0)，复数z,(1+i)z，2在复平面上对应的三个点分别是P，Q，R，当P，Q，R不共线时，以PQ，PR为两边的平行四边形第四个顶点为S，则S到原点距离的最大值为_。3设复平面上单位圆内接正20边形的20个顶点所对应的复数依次为z1,z2,z20,则复数所对应的不同点的个数是_。4已知复数z满足|z|=1，则|z+iz+1|的最小值为_。5设，z1=w-z,z2=w+z,z1,z2对应复平面上的点A，B，点O为原点，AOB=900，|AO|=|BO|，
15、则OAB面积是_。6设，则(x-w)(x-w3)(x-w7)(x-w9)的展开式为_。7已知()m=(1+i)n(m,nN+)，则mn的最小值是_。8复平面上，非零复数z1,z2在以i为圆心，1为半径的圆上，z2的实部为零，z1的辐角主值为，则z2=_。9.当nN,且1n100时，的值中有实数_个。10已知复数z1,z2满足，且，则的值是_。11集合A=z|z18=1,B=w|w48=1,C=zw|zA,wB，问：集合C中有多少个不同的元素？12证明：如果复数A的模为1，那么方程的所有根都是不相等的实根（nN+）.13.对于适合|z|1的每一个复数z，要使0|z+|2总能成立，试问：复数，应满
16、足什么条件？六、联赛二试水平训练题1设非零复数a1,a2,a3,a4,a5满足其中S为实数且|S|2，求证：复数a1,a2,a3,a4,a5在复平面上所对应的点位于同一圆周上。2求证：。3已知p(z)=zn+c1zn-1+c2zn-2+cn是复变量z的实系数多项式，且|p(i)|1，求证：存在实数a,b,使得p(a+bi)=0且(a2+b2+1)24b2+1.4运用复数证明：任给8个非零实数a1,a2,a8，证明六个数a1a3+a2a4, a1a5+a2a6, a1a7+a2a8, a3a5+a4a6, a3a7+a4a8,a5a7+a6a8中至少有一个是非负数。5已知复数z满足11z10+10iz9+10iz-11=0，求证：|z|=1.6.设z1,z2,z3为复数，求证：|z1|+|z2|+|z3|+|z1+z2+z3|z1+z2|+|z2+z3|+|z3+z1|。