2021年弹性力学简明教程(第四版)_课后习题解答.docx

《2021年弹性力学简明教程(第四版)_课后习题解答.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2021年弹性力学简明教程(第四版)_课后习题解答.docx（60页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。

1、精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -弹性力学简明教程（第四版）课后习题解答徐芝纶第一章绪论【1-1】试举例说明什么为匀称的各向异性体，什么为非匀称的各向同性体？【分析】 匀称的各项异形体就为满意匀称性假定，但不满意各向同性假定；非匀称的各向异性体，就为不满意匀称性假定，但满意各向同性假定；【解答】匀称的各项异形体如：竹材，木材；非匀称的各向同性体如：混凝土；【1-2】一般的混凝土构件和钢筋混凝土构件能否作为抱负弹性体？一般的岩质地基和土质地基能否作为抱负弹性体？【分析】 能否作为抱负弹性体，要判定能否满意四个假定：连续性， 完全弹性， 匀称性，各向同性假

2、定；【解答】 一般的混凝土构件和土质地基可以作为抱负弹性体；一般的钢筋混凝土构件和岩质地基不行以作为抱负弹性体；【1-3】五个基本假定在建立弹性力学基本方程时有什么作用？【解答】（ 1）连续性假定： 假定物体为连续的，也就为假定整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满，不留下任何间隙；引用这一假定后，物体的应力.形变和位移等物理量就可以看成为连续的；因此， 建立弹性力学的基本方程时就可以用坐标的连续函数来表示 他们的变化规律；完全弹性假定： 假定物体为完全弹性的，即物体在对应形变的外力被去除后，能够完全复原原型而无任何形变；这一假定， 仍包含形变与引起形变的应力成正比的涵义，亦即两者之间为成

3、线性关系的，即引用这一假定后，应力与形变听从胡克定律，从而使物理方程成为线性的方程，其弹性常数不随应力或形变的大小而变；匀称性假定： 假定物体为匀称的，即整个物体为由同一材料组成的，引用这一假定后整个物体的全部各部分才具有相同的弹性，所讨论物体的内部各质点的物理性质都为相同的，因而物体的弹性常数不随位置坐标而变化；各向同性假定： 假定物体为各向同性的，即物体的弹性在全部各个方向都相同，引用此假定后，物体的弹性常数不随方向而变；小变形假定： 假定位移和变形为微小的；亦即， 假定物体受力以后整个物体全部各点的 位移都远远小于物体原先的尺寸，而且应变和转角都远小于1；这样在建立物体变形以后的平稳方程

4、时， 就可以便利的用变形以前的尺寸来代替变形以后的尺寸；在考察物体的位移与形变的关系时， 它们的二次幂或乘积相对于其本身都可以略去不计，使得弹性力学中的微分1第 1 页，共 40 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -方程都简化为线性的微分方程；【1-4】应力和面力的符号规定有什么区分？试画出正坐标面和负坐标面上的正的应力和正的面力的方向；【解答】应力的符号规定为：当作用面的外法线方向指向坐标轴方向时（即正面时），这个面上的应力 （不论为正应力仍为切应力）以沿坐标轴的正方向为正，沿坐标轴的负方向为负；当作用面的外法

5、线指向坐标轴的负方向时（即负面时），该面上的应力以沿坐标轴的 负方向为正，沿坐标轴的正方向为负；面力的符号规定为：当面力的指向沿坐标轴的正方向时为正，沿坐标轴的负方向为负；由下图可以看出，正面上应力重量与面力重量同号，负面上应力重量与面力重量符号相反；正的应力正的面力【1-5】试比较弹性力学和材料力学中关于切应力的符号规定；【解答】材料力学中规定切应力符号以使讨论对象顺时针转动的切应力为正，反之为负；弹性力学中规定，作用于正坐标面上的切应力以沿坐标轴的正方向为正，作用于负坐标面上的切应力以沿坐标轴负方向为正，反之为负；【1-6】试举例说明正的应力对应于正的形变；【解答】正的应力包括正的正应力与

6、正的切应力，正的形变包括正的正应变与正的切应变，此题应从两方面解答；正的正应力对应于正的正应变：轴向拉伸情形下，产生轴向拉应力为正的应力，引起轴向伸长变形，为正的应变；正的切应力对应于正的切应变：在如下列图应力状态情形下，切应力均为正的切应力，引起直角减小，故为正的切应变；2第 2 页，共 40 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -【1-7】试画出图1-4 中矩形薄板的正的体力.面力和应力的方向；【解答】正的体力.面力正的体力.应力【1-8】试画出图1-5 中三角形薄板的正的面力和体力的方向；【解答】xfxfff

7、 yxxf yf yf yf xyOz【1-9】在图 1-3 的六面体上， y 面上切应力yz 的合力与z 面上切应力zy 的合力为否相等？【解答】切应力为单位面上的力，量纲为L 1MT2 ，单位为N / m2 ；因此，应力的合力应乘以相应的面积，设六面体微元尺寸如dxdyd，z 就 y 面上切应力yz 的合力为：z 面上切应力zy的合力为：yzdxdz(a)zydxdy(b)由式（ a） (b)可见，两个切应力的合力并不相等；【分析】 作用在两个相互垂直面上并垂直于该两面交线的切应力的合力不相等，但对某点的合力矩相等，才导出切应力互等性；3第 3 页，共 40 页 - - - - - - -

8、 - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -其次章平面问题的基本理论【 2-1】试分析说明，在不受任何面力作用的空间体表面邻近的薄层中(图 2-14) 其应力状态接近于平面应力的情形；【解答】在不受任何面力作用的空间表面邻近的薄层中，可以认为在该薄层的上下表面都无面力，且在薄层内全部各点都有zxzyz0 ，只存在平面应力重量x 、y 、xy ，且它们不沿z 方向变化，仅为x，y 的函数；可以认为此问题为平面应力问题；【 2-2】试分析说明， 在板面上到处受法向约束且不受切向面力作用的等厚度薄片中（ 2-15），当板边上只受x，y 向的面力或约束，且不

9、沿厚度变化时，其应变状态接近于平面应变的情形；【解答】板上到处受法向约束时z0 ，且不受切向面力作用，就xzyz0 (相应zxzy0 )板边上只受x，y 向的面力或约束，所以仅存Oz在x 、y 、xy ，且不沿厚度变化，仅为x，y 的函数，故其应变状态接近于平面应变的情形；y【 2-3】在图2-3 的微分体中，如将对形心的力矩平很条件M C0 改为对角点的力矩平稳条件，试问将导出什么形式的方程？【解答】 将对形心的力矩平稳条件M C0 ，改为分别对四个角点A .B .D.E 的平稳条件，为运算便利，在z 方向的尺寸取为单位1；M A0dx 1 dx(x dx)dy 1 dy(xydx)dy1

10、dxdy 1 dyyxxyy2x2x2yxy(dy) dx 1 dx(dy)dx 1 dyf dxdy 1 dyf dxdy 1 dx(a)0yyxxxy2y22M B0(x dx) dy 1 dy(yxdy)dx 1 dy(dy)dx 1 dxyxyxyx2yy2(b)dy 1 dxdy 1 dydx 1 dxf dxdy 1 dyf dxdy 1 dx0xyxyxy22224第 4 页，共 40 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -M D0(y dy)dx 1 dxdy 1 dxdy 1 dydx 1 dyy

11、xyxyxy22dxdx 11 dxdx(xx ddxx)dydy 11 dydyff dxdydxdy 11 dydyf dxdy 1 dx 0(c)xxxy2 xM E0222y(dy)dx 1 dxdy 1 dydx 1 dydx 1 dxyxyxyy222(d)xy(x dx)dy 1 dy(dx)dy 1 dxf dxdy 1 dyf dxdy 1 dx0xxyxyx2x22略去 (a).(b).(c) .(d) 中的三阶小量（亦即令d 2 xdy 、 dxd 2 y 都趋于 0），并将各式都除以dxdy 后合并同类项，分别得到xyyx ；【分析】由此题可得出结论：微分体对任一点取力

12、矩平稳得到的结果都为验证了切应力互等定理；【 2-4】在图 2-3 和微分体中，如考虑每一面上的应力重量不为匀称分布的，验证将导出什么形式的平稳微分方程？【解答】微分单元体ABCD的边长dx、dy 都为微量，因此可以假设在各面上所受的应力如图a所示，忽视了二阶以上的高阶微量，而看作为线性分布的，如图（b）所示；为运算便利，单元体在z 方向的尺寸取为一个单位；Oyx Axyx DOyx Axyx Dxy Ay Ay DDx Axxy Dxy Ay Ay Dx Dx Axy DAfx Df yAf x DCf yxy BBCx Bx Cy By Cxy CBxy Bx Bx Cy By Cxy C

13、yyx Byx Cyyx Byx C各点正应力：(a)(b)(x ) Ax ；(y ) Ay(x )Bxxydy ；()y dy yy By5第 5 页，共 40 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -(x )Dxx dx ；(xy )Dyx dx x()x dxxy ；()y dxyyx Cxxyy Cyxy各点切应力：(xy ) Axy ；(yx ) Ayx()xyxy Bxyydy ；yx()yxAyxdy yxy( xy )Dxyxdx ；()yx dx xyx Dyxxy(xy )Cxydxxyyxyx；

14、()dyyx Cyxdxdyxyxy由微分单元体的平稳条件Fx0、F y0、 得1 x dydy1x dxx dxxdydydydxf xdxdy0x xxx2 y1yx2xxy1 yyxyxyxyxyx +dxdxyxdyyxdx2 x2yxy1 y dxdx1y dyy dxy dydxy yyy2 x2yxy1+xy dydy1+xy dx+xy dyxy dxdyf dxdy0xyxyxyxyy2y2xyx以上二式分别绽开并约简，再分别除以dxdy ，就得到平面问题中的平稳微分方程：xyxf0;yxyf0xyxyyx【分析】由此题可以得出结论：弹性力学中的平稳微分方程适用于任意的应力分

15、布形式；【 2-5】在导出平面问题的三套基本方程时，分别应用了哪些基本假定？这些方程的适用条件为什么？【解答】 (1)在导出平面问题的平稳微分方程和几何方程时应用的基本假设为：物体的连续性和小变形假定，这两个条件同时也为这两套方程的适用条件；(2) 在导出平面问题的物理方程时应用的基本假定为：连续性，完全弹性，匀称性和各向同性假定，即抱负弹性体假定；同样，抱负弹性体的四个假定也为物理方程的使用条件；6第 6 页，共 40 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -【摸索题】平面问题的三套基本方程推导过程中都用到了哪个假

16、定？【 2-6】在工地上技术人员发觉，当直径和厚度相同的情形下，在自重作用下的钢圆环（接近平面应力问题）总比钢圆筒（接近平面应变问题）的变形大；试依据相应的物理方程来说明这种现象；【解答】体力相怜悯形下，两类平面问题的平稳微分方程完全相同，故所求的应力重量相同；由物理方程可以看出，两类平面问题的物理方程主要的区分在于方程中含弹性常数的系数；由于E为 GPa 级别的量，而泊松比取值一般在（ 0，0.5），故主要掌握参数为含有弹性模量的系数项，比较两类平面问题的系数项，不难看出平面应力问题的系数1/ E 要大于平面应变问题的系数12/ E ；因此，平面应力问题情形下应变要大，故钢圆环变形大；【 2

17、-7】在常体力，全部为应力边界条件和单连体的条件下，对于不同材料的问题和两类平面问题的应力重量x ，y 和xy 均相同；试问其余的应力，应变和位移为否相同？【解答】(1) 应力重量：两类平面问题的应力重量x ，y 和xy 均相同，但平面应力问题z yzxz0 ，而平面应变问题的xzyz0、 zxy；（ 2）应变重量：已知应力重量求应变重量需要应用物理方程，而两类平面问题的物理方程不相同，故应变重量xzyz0、xy 相同，而x 、y 、z 不相同；（ 3）位移重量： 由于位移重量要靠应变重量积分来求解，故位移重量对于两类平面问题也不同；【 2-8】在图 2-16 中，试导出无面力作用时AB 边界

18、上的之间的关系式x 、y 、xyxOyAxyB【解答】由题可得：gxnlcos、 mcos90 osinyfxAB0、 f yAB0图2-16将以上条件代入公式（2-15），得：xAB cossin0、yxABsin(yABxy ) ABcos0(x ) AByxtanABtan2yAB7第 7 页，共 40 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -【 2-9】试列出图2-17，图 2-18 所示问题的全部边界条件；在其端部小边界上，应用圣维南原理列出三个积分的应力边界条件；oh1xgbh2qFNh/ 2xMh/ 2

19、FSq1lyyh2b图 2-17图 2-18【分析】有约束的边界上可考虑采纳位移边界条件，如为小边界也可写成圣维南原理的三个积分形式，大边界上应精确满意公式（2-15）；【解答】图2-17：上（ y=0）左(x =0)右（ x=b）l0-11m-100f xs0gyh1gyh1f ysgh100代入公式（ 2-15）得在主要边界上x=0 ，x=b 上精确满意应力边界条件：xx 0xx bg( yh1 )、g( yh1 )、xyx 00;xyx b0;在小边界y0上，能精确满意以下应力边界条件：yy 0gh、xy y 00在小边界yh2 上，能精确满意以下位移边界条件：u y h0、 vy h0

20、22这两个位移边界条件可以应用圣维南原理，改用三个积分的应力边界条件来代替，当板厚=1时，可求得固定端约束反力分别为：Fs0、 FNgh1b、 M0由于 yh2 为正面，故应力重量与面力重量同号，就有：8第 8 页，共 40 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -b0yy h2 bdxgh1b图 2-180yb0xyy h2y h2xdx0dx0上下主要边界y=-h/2 ，y=h/2 上，应精确满意公式（2-15）lmf x(s)f y (s)yh0-10q2hy01- q102(y ) y- h/ 2q ， (y

21、x ) y-h / 20 ， (y ) y h / 20 ， (yx )y h / 2q1在 x =0 的小边界上，应用圣维南原理，列出三个积分的应力边界条件：负面上应力与面力符号相反，有h / 2(h / 2h / 2(h / 2h / 2(h / 2xy )x x )xx )x0 dxFS0 dxFN0 ydxM在 x=l 的小边界上， 可应用位移边界条件u x l0、vx l0 这两个位移边界条件也可改用三个积分的应力边界条件来代替；第一，求固定端约束反力，按面力正方向假设画反力，如下列图，列平稳方程求反力：Fx0、 FNFNq1lFNq1lFNFNMFy0、 FSFSql0FSqlFS

22、FS11q lhql 2M0、 MM F lql 2q lh0M1MF lAS1S2222由于 x=l 为正面，应力重量与面力重量同号，故h / 2(h / 2h / 2x ) x l dyFNq1lFN1q lhql 2h / 2h / 2(x ) x lydyMMFSl22(h / 2xy ) x l dyFSqlFS9第 9 页，共 40 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -qox【 2-10】试应用圣维南原理，列出图2-19 所示的两个问题中AOA 边上的三个积分的应力边界条件，并比较两者的面力为否为为b

23、o FNb/2MxFAqbb/2N22静力等效？【解答】 由于 h .l ，OA 为小边界， 故其上可用圣维南原理，hhMqb 12写出三个积分的应力边界条件：(a) 上端面 OA 面上面力f xx0、 f yqyhb、1yb由于OA 面为负面，故应力主矢.主矩与面力主矢.主矩符号相反，有ab图2-19b0yy 0 dxbyfdx0b x qdxqb0 b2bbbxbqb20yybxdx0fxdxy0q0 b2xdx12 ( 对 OA 中点取矩 )0yxy 0 dx0( )应用圣维南原理， 负面上的应力主矢和主矩与面力主矢和主矩符号相反，面力主矢y 向为正，主矩为负，就b0yybdxFN0qb

24、 2qb 20yy bxdxM0120xyy 0 dx0综上所述，在小边界OA 上，两个问题的三个积分的应力边界条件相同，故这两个问题为静力等效的；【 2-11】检验平面问题中的位移重量为否为正确解答的条件为什么？【解答】（ 1）在区域内用位移表示的平稳微分方程式（2-18）；（ 2）在 s 上用位移表示的应力边界条件式（2-19）；（ 3）在su 上的位移边界条件式（2-14）；对于平面应变问题，需将E. 作相应的变换；【分析】此问题同时也为按位移求解平面应力问题时，位移重量必需满意的条件；【 2-12】检验平面问题中的应力重量为否为正确解答的条件为什么？【解答】（ 1）在区域A 内的平稳微

25、分方程式（2-2）；10第 10 页，共 40 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -（ 2）在区域A 内用应力表示的相容方程式（2-21）或（ 2-22）；（ 3）在边界上的应力边界条件式（2-15），其中假设只求解全部为应力边界条件的问题；（ 4）对于多连体，仍需满意位移单值条件；【分析】此问题同时也为按应力求解平面问题时，应力重量必需满意的条件；【补题】检验平面问题中的应变重量为否为正确解答的条件为什么？【解答】用应变表示的相容方程式（2-20）【 2-13】检验平面问题中的应力函数为否为正确解答的条件为什么

26、？【解答】（ 1）在区域A 内用应力函数表示的相容方程式（2-25 ）；（ 2）在边界S 上的应力边界条件式（2-15 ），假设全部为应力边界条件；（ 3）如为多连体，仍需满意位移单值条件；【分析】此问题同时也为求解应力函数的条件；【 2-14】检验以下应力重量为否为图示问题的解答：qaaqbxObqh/2xOh/2qyqyll .h图 2-20图 2-21y 2（ a）图 2-20， s x =2 q ，byxy0 ；【解答】 在单连体中检验应力重量为否为图示问题的解答，必需满意：（ 1）平稳微分方程 （ 2-2）；（ 2）用应力表示的相容方程（2-21）；（ 3）应力边界条件（2-15）；

27、（ 1）将应力重量代入平稳微分方程式，且f xf y0xyx0yxy0明显满意xyyx（ 2）将应力重量代入用应力表示的相容方程式（2-21），有22等式左 = 2 q0 =右x2y2xyb2应力重量不满意相容方程；因此，该组应力重量不为图示问题的解答；M（ b）图 2-21，由材料力学公式，xy ，xyIF S* bIs(取梁的厚度b=1) ，得出所示问题的11第 11 页，共 40 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -2解 答 :xx y32q3，xy3q x22-3 ( h4 y)； 又 根 据 平 衡 微

28、 分 方 程 和 边 界 条 件 得 出 ：lh3q xyxy3q x4 lhy2q32lhlh；试导出上述公式，并检验解答的正确性；2 l【解答】（ 1）推导公式在分布荷载作用下，梁发生弯曲形变，梁横截面为宽度为1，高为 h 的矩形， 其对中性轴 （ Z 轴）h 3的 惯 性 矩I， 应 用 截 面 法 可 求 出 任 意 截 面 的 弯 矩 方 程 和 剪 力 方 程12M ( x)qqx2x3 、 Fx；6l2l所以截面内任意点的正应力和切应力分别为：Mxx3 yxy2q3Ilh3Fx4y23qx2s1.h24 y2；xy2bhh24lh 3依据平稳微分方程其次式（体力不计）；0yxyy

29、x33qxyxy得：依据边界条件yyy h / 20.2q3A2lhlh得Aq . x2l33qxyxyqx故y.2q3.2lhlh2l将应力重量代入平稳微分方程（2-2） 第一式：x2 yx2 y左6q.36q30右满意lhlh其次式自然满意将应力重量代入相容方程（2-23）12第 12 页，共 40 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -22xyxy左x2y2xy12q.3lh12q.30右lh应力重量不满意相容方程；故，该重量组重量不为图示问题的解答；【 2-15】试证明：在发生最大与最小切应力的面上，正应力

30、的数值都等于两个主应力的平均值；22【解答】（ 1）确定最大最小切应力发生位置24任意斜面上的切应力为nlm21 ，用关系式lm1 消去 m，得2nl1l21ll21221/ 41/ 2l21由上式可见当1l 20 时， 即 l1 时，n 为最大或最小， 为n max12 ；因此，22min2切应力的最大，最小值发生在与x 轴及 y 轴（即应力主向）成45的斜面上；（ 2）求最大，最小切应力作用面上，正应力n 的值任一斜面上的正应力为2nl122最大.最小切应力作用面上l1/ 2 ，带入上式，得11n2212212证毕；【 2-16】设已求得一点处的应力重量，试求1 、2 、1(a)x100、

31、y50、xy1050;( b)x200、y0、xy400;(c)x2000、y1000、 xy400; (d)x1000、y1500、 xy500.，得【解答】由公式（2-6）21xyxy2xy 及tan11x1arctan1x222xyxy1(a)2210050100501050 22215001arctan 150100105035 1613第 13 页，共 40 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -1(b)2220002000400 2225123121arctan 512200400arctan0.783

32、7 5721(c)22000100020001000400 222105220521arctan 10522000400arctan7.3882 3221(d)2100015001000150050022269118091arctan6911000500arctan 0.61831 43【 2-17】设有任意外形的等候厚度薄板，体力可以不计，在全部边Ox界上（包括孔口边界上）受有匀称压力q；试证s x =s y =-q 及xy0qf y能满意平稳微分方程.相容方程和应力边界条件，也能满意位移单值条件，因而就为正确的解答；xf xAqy【解答】 （ 1 ）将应力重量xyq、xy0 ，和体力重量y

33、fxf y0 分别带入平稳微分方程.相容方程xxyf x0xyyxyyxf y0（ a）02xy（ b）明显满意（ a）（ b）（ 2）对于微小的三角板A，dx，dy 都为正值， 斜边上的方向余弦lcosn、 x 、 mcosn、 y，将xy-q、xy0 ， 代 入 平 面 问 题 的 应 力 边 界 条 件 的 表 达 式 （ 2-15 ）， 且fx-q cosn、 x、 fyq cosn、 y ，就有x cosn、 xq cosn、 x 、y cosn、 yqcosn、 y所以xq、yq ；对于单连体，上述条件就为确定应力的全部条件；（ 3）对于多连体，应校核位移单值条件为否满意；14第

34、14 页，共 40 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -该题为平面应力情形，第一，将应力重量代入物理方程（2-12），得形变重量，xy(1) q、E(1)q 、xy0E（ d）将（ d）式中形变重量代入几何方程（2-8），得u(-1)=xEq、v = y(-1) Eq、vu0 xy（ e）前两式积分得到（-1）（-1）u=Eqxf1( y)、v=Eqyf 2 ( x)（ f ）其 中 f1y 、 f2x分别任意的待定函数，可以通过几何方程的第三式求出，将式（ f ）代入式（ e）的第三式，得df1 ( y)df 2 (x)dydx等式左边只为y 的函数，而等式右边只为x 的函数；因此，只可能两边都等于同一个常数， 于为有df1 ( y)、 df 2 ( x)dydx积分后得f1yyu0、 f2xxv0代入式（ f）得位移重量0u (1) qxyu Ev (1) qyxv（